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数学概念中的一些新发现及其应用



集合是高中数学内容的起点,所以理解好集合尤为重要。经过反复讨论,结合多年学习 和教学实践,对高中数学集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解,并给出了具体的应 用,旨在与同仁切磋探讨。 空集解集不等于不属于不包含于描述法集合论在数学中占有一个独特的地位,它的基本 概念已渗透到数学的所有领域。最后一个在数学所有分支领域都造诣深厚、整个地改变了数 学科学的状况, 在一切方向上打开了新的道路、 对 20 世纪和当今的数学造成极其深远的影响 的世界著名数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家庞加莱曾说过: “借助集合论概 念,我们可以建造整个数学大厦” 。而集合论的研究对象就是集合,由此可以看出掌握好集合 非常重要。 笔者们反复讨论后, 结合多年学习和教学实践, 对集合中一些概念提出了全新的、 有趣的理解,供同仁参考。 一、空集、解集的新理解以及应用 教材中第 7 页介绍了空集的概念,即不含任何元素的集合叫做空集。笔者们结合多年教 学实践,发现很多学生总误认为空集不是集合。笔者们也看到一些资料对实数 0、空集 ?和 {0}有一些强调。比如,文献第 12 页强调:实数 0 和空集是两个不同的概念,不能把 0 和 ?混为一谈;再比如,文献第 9 页强调:不要把数 0 或集合 {0}与 ?混淆,等等。笔者 们结合多年教学实践,经过反复讨论,认为这些强调能起到一定的作用,但是我们发现仍有 一大批学生(尤其是数学基础薄弱的学生)极容易混淆 0 和?,或者时间长了,就算他们记住 了 0 和 ?不一样, 也说不出为什么不一样。 还有一部分学生, 分不清 {0} 和 ?是不是一样。 针对上述问题,我们提出一种全新的解决方案:换一个角度去理解空集这个概念。从语 文的角度看, “空集” ,这两个汉字中有一个“集”字, “集”是集合的简称,所以空集也是集 合。用这种方法,可以轻易让学生理解并记住空集也是集合,而不用死记硬背。与此同时, 既然空集是一个集合,而 0 只是一个数字,所以,很自然地,0 和 ?不一样。 按照这种思路, 还可以让学生很容易地发现并理解集合 {0} 和空集 ?不一样。 “空集” 这两个字里除了“集”字之外,还有一个“空”字。 “集”是集合的简称,再结合“空”字, 所以空集不但是一个集合,而且这个集合里面是空空的,连 0 这个元素都没有,集合 {0} 里面不是空空的,还有一个元素 0,所以很容易得出空集 ?和 {0}不一样。 我们发现上面理解空集的思维模式,还可以帮助学生理清一些题目的解题思路甚至帮助 学生提高做题答案的准确性。下面举一例进行说明。 例题:用适当的方法表示不等式 2x+6<9 的解集。 解析:此题是求解集的。按照上述理解空集的思路,我们很容易观察出“解集”也是由 “解”和“集”两个汉字组成。从“解”这个汉字的角度,我们首先要把不等式 2x+6<9 解 出来,解出结果为 x<23。但是如果结果是 x<23,肯定不对,因为“解集”这两个汉字,我 们才看了“解”字,还没看“集”字。 “集”是集合的简称。所以,这道题最终结果必须用集 合表示。即答案都必须要有花括号“ { }” ,没有花括号“ { }”就是错的。易发现,满足 x<23 的 x 有无数个,没办法把它们全部列出来,所以用描述法来表示这个集合。所以这个例 题的结果不是 x<23,而是{x|x<23}。 二、触类旁通,轻松理解并记住符号“ ≠” “? ”以及“?” 从小学到初中数学学习中, 大家都知道 “等于” 的符号是 “ =” , “不等于” 的符号是 “ ≠” 。 我仔细观察一下,


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