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福建省泉州一中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题



泉州一中 2011-2012 学年高一下学期期中数学试题
一.选择题(共 12 小题,每题 5 分共 60 分,只有一个选项正确,请把答案写在答题卷上 ) .......... 1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的( A.频率就是概率 C.概率是随机的,在试验前不能确定 接近概率 2.设集合 A ? ?( x, y) y ? ax ? 1? , B ?

?( x, y) y ? x ? b? ,且 A ? B ? ?(2,5)? ,则( A. a ? 3, b ? 2 B. a ? 2, b ? 3 C. a ? ?3, b ? ?2 D. a ? ?2, b ? ?3 ) )

B.频率是客观存在的,与试验次数无关 D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越

3. 某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家, 为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本,若采用分层抽样的方法, 抽取的中型商店数是( )

? A. 2 ?

B. 3

? C.

5?

D.

13 ? )

4.过点 P(?2,1) 且被圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得弦最长的直线 l 的方程是( A. 3x ? y ? 5 ? 0 C. 3x ? y ? 5 ? 0 B. x ? 3 y ? 5 ? 0 D. x ? 3 y ? 5 ? 0 )

1 5. 如图程序框图得到函数 y ? f ( x) ,则 f [ f ( )] 的值是( 4
A. 8 B.
2

1 8
2

C. 9

D.
2

1 9
2

6. 圆 C1: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1与圆 C2: ( x ? 2) ? ( y ? 5) ? 16 的位置 关系是( A.外离 ) B. 相交 C. 内切 D. 外切

开始

i ? 1, s ? 1
7.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.10 B.22 C.46 D. 94 ) .

i ? i ?1

s ? 2( s ? 1)
i ? 4?


8.已知直线 l1 : 2 x ? (? ? 1) y ? 2 ? 0 ,l2 : ? x ? y ? 1 ? 0 ,若 l1 ∥ l2 , 则 ? 的值是( A. ?2 ) B. ? 否

1 3

C. ?2 或 1

D.1

输出s

结束

9.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切, 第8题 则圆的方程是(
2 2

) B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

A. x ? y ? 4 x ? 0 C. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

10.有 5 件产品,其中 3 件正品,2 件次品,从中任取 2 件,则互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 B.至少有 1 件次品与都是正品 D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品

2 2 11.已知圆 C:x +y +4x-12y+24=0.若直线 l 过点 P(0,5)且被圆 C 截得的线段长为 4 3 ,

则 l 的方程为( A. 3x-4y+20=0 4x-3y+15=0

) B. 4x-3y+15=0 C.3x-4y+20=0 或 x=0 D. 3x-4y+20=0 或

2 12.已知函数 y ? 1 ? ( x ? 1) , x ? [1,2] 对于满足 1 ? x1 ? x2 ? 2 的任意 x1 , x 2 ,给出下列

结论: ① f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ③ ( x2 ② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ④ ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0

? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 .
) C.②③

其中正确结论的个数有( A. ①③ B.②④

D.①④

二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案写在答题卷上 ) ..........

13. 中国乒乓球队甲、 乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛, 甲夺得冠军的概率为 , 乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
1 4

3 7



14.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是



15.某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据:由资料显示 y 对 x 呈线性相关关系。

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

? ? bx ? a 中的 b ? 6.5 ,预测销售额为 115 万元时约需 根据上表提供的数据得到回归方程 y
万元广告费. 16.已知点 A(-1,0) 、点 B(2,0) ,动点 C 满足 AC ? AB ,则点 C 与点 P(1,4)的中点 M 的 轨迹方程为

.

三.解答题(6 题,共 74 分,要求写出解答过程或者推理步骤) : 17. (本小题满分 12 分)青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注,某校对高二 600 名学生进行了一次“心理健康”知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数, 满分 100 分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图. (Ⅰ)填写答题卡 频率分布表中的空格,并补全频率分布直方图; (Ⅱ)试估计该年段成绩 ...

在 [70,90) 段的有多少人?(Ⅲ)请你估算该年段分数的众数. 分 组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合 计 14 0.28
O

频率 组距

频 数 2 8 10

频 率 0.04 0.16

1.00

50

60

70

80

90

100

18. (本小题满分 12 分)设直线 l1 : y ? 2x 与直线 l2 : x ? y ? 3 交于 P 点. (Ⅰ)当直线 l 过 P 点,且与直线 l0 : 2 x ? y ? 0 平行时,求直线 l 的方程. (Ⅱ)当直线 l 过 P 点,且原点 O 到直线 l 的距离为 1 时,求直线 l 的方程. 19. (本小题满分 12 分)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛,比赛得分情 况记录如下(单位:分) : 甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33 乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46 (Ⅰ)根据得分情况记录,作出两名篮球运动员得分的茎叶图,并根据茎叶图,对 甲、乙两运动员得分作比较,写出两个统计结论; (Ⅱ)设甲篮球运动员 10 场比赛得分平均值 x ,将 10 场比赛得分 xi 依次输入 如图所示的程序框图进行运算,问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意 义; (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 10 场得分中,各随机抽取一场不小于 30 分的得 分,求甲的得分大于乙的得分的概率. 甲 乙
输入 xi 开始

S ?0

i ?1

S ? S ? ( xi ? x)2

i ? i ?1


i ?10?


S?

S 10

1 2 3 4

输出 S 结束

第 19 题 ABCD 是直角梯形, 20 . (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面

AB // DC ,
?ABC ? 45? , DC ? 1 , AB ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 .

(Ⅰ)求证: AB // 平面 PCD ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅲ)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M ? ACD 的体积.

21. (本小题满分 12 分)已知实数 a ???2, ?1 ,, 1 2? , b ???2, ?1 ,, 1 2? . (Ⅰ)求点(a,b)在第一象限的概率;
2 2 (Ⅱ)求直线 y ? a x ? b 与圆 x ? y ? 1有公共点的概率.

2 22. (本小题满分 14 分)已知:以点 C (t, t )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A, 与 y 轴交于点 O, B,其中 O 为原点. (Ⅰ)当 t=2 时,求圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:△OAB 的面积为定值; (Ⅲ)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程.

泉州第一中学 2011—2012 学年度高一 (下) 期中考试(数学)
一.选择题(共 12 小题,每题 5 分共 60 分,只有一个选项正确,请把答案写在答题卷上 ) .......... 1.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的( D ) A.频率就是概率 C.概率是随机的,在试验前不能确定 近概率 2.设集合 A ? ?( x, y) y ? ax ? 1? , B ? ?( x, y) y ? x ? b? ,且 A ? B ? ?(2,5)? ,则( B A. a ? 3, b ? 2 B. a ? 2, b ? 3 C. a ? ?3, b ? ?2 D. a ? ?2, b ? ?3 ). B.频率是客观存在的,与试验次数无关 D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接

3. 某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家, 为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本,若采用分层抽样的方法, 抽取的中型商店数是( C ? A. 2 ? B. 3
2 2

) ? C. 5 ? D. 13 ?

4. 过点 P(? 2,1)且被圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 截得弦最长的直线 l 的方程是 ( B ) A. 3x ? y ? 5 ? 0 B. x ? 3 y ? 5 ? 0 D. x ? 3 y ? 5 ? 0 )

C. 3x ? y ? 5 ? 0

1 5. 如图程序框图得到函数 y ? f ( x) ,则 f [ f ( )] 的值是( D 4
A. 8 B.
2

1 8
2

C. 9

D.
2

1 9
2

6. 圆 C1: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1与圆 C2: ( x ? 2) ? ( y ? 5) ? 16 的位置关系是( D ) A.外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切

开始

i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

7.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( C ) . A.10 B22. C.46 D. 94 )

8.已知直线 l1 : 2 x ? (? ? 1) y ? 2 ? 0 , l2 : ? x ? y ? 1 ? 0 ,若 l1 ∥ l2 ,则 ? 的值是( A A. ?2 B. ?

s ? 2( s ? 1)
i ? 4?

输出s

1 3

C. ?2 或 1

D.1



9.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切, 则圆的方程是( A )

结束

第8题

A. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0

B



x 2 ? y 2 ? 4x ? 0

C



x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0

10.有 5 件产品,其中 3 件正品,2 件次品,从中任取 2 件,则互斥而不对立的两个事件是 ( D ) B.至少有 1 件次品与都是正品 D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品

A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品

2 2 11.已知圆 C:x +y +4x-12y+24=0.若直线 l 过点 P(0,5)且被圆 C 截得的线段长为 4 3 ,

则 l 的方程为( C ) A. 3x-4y+20=0 4x-3y+15=0
2 12.已知函数 y ? 1 ? ( x ? 1) , x ? [1,2] 对于满足 1 ? x1 ? x2 ? 2 的任意 x1 , x 2 ,给出下列

B. 4x-3y+15=0

C.3x-4y+20=0 或 x=0

D.

3x-4y+20=0 或

结论: ① f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ③ ( x2 ② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ④ ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0

? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 .

其中正确结论的个数有( C ) A. ①③ B.②④ C.②③ D.①④

二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案写在答题卷上 ) .......... 13. 中国乒乓球队甲、 乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛, 甲夺得冠军的概率为 , 乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 14.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是 3 ?
1 4 19 28 3 7

.

2



15.某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据:由资料显示 y 对 x 呈线性相关关系。

x y
根据上表提

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70 供的数据得到回

? ? bx ? a 中的 b ? 6.5 ,预测销售额为 115 万元时约需 15 万元广告费. 归方程 y
16.已知点 A(-1,0) 、点 B(2,0) ,动点 C 满足 AC ? AB ,则点 C 与点 P(1,4)的中点 M 的 轨迹方程为

x 2 ? ( y ? 2) 2 ?

9 4

.

15. 15

16. x ? ( y ? 2) ?
2 2

9 4

三.解答题(6 题,共 74 分,要求写出解答过程或者推理步骤) : 17. (本小题满分 12 分)青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注,某校对高二 600 名学生进行了一次“心理健康”知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数, 满分 100 分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图. (Ⅰ)填写答题卡 频率分布表中的空格,并补全频率分布直方图; ... (Ⅱ)试估计该年段成绩在 [70,90) 段的有多少人? (Ⅲ)请你估算该年段分数的众数。

解: (Ⅰ)
频率 组距

分 组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合 计

频 数 2 8 10 16 14 50

频 率 0.04 0.16 0.2 0.32 0.28 1.00

0.032 0.028 0.02 0.016

0.004
O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

?????6 分 (Ⅱ) 该年段成绩在 [70,90) 段的人数为 600 ? (0.2+0.32)=600 ? 0.52=312 人 分 (Ⅲ) 该年段分数的众数为 85 分 ?12 分 ??10

18. (本小题满分 12 分)设直线 l1 : y ? 2x 与直线 l2 : x ? y ? 3 交于 P 点. (Ⅰ)当直线 l 过 P 点,且与直线 l0 : 2 x ? y ? 0 平行时,求直线 l 的方程. (Ⅱ)当直线 l 过 P 点,且原点 O 到直线 l 的距离为 1 时,求直线 l 的方程. 解: (Ⅰ)联立方程 ?

? y ? 2x 解得交点坐标 P 为(1,2) ?x ? y ? 3

设直线 l 的方程为 2 x ? y ? C ? 0 ,代入点 P(1,2)的坐标求得 C=-4,所以直线 l 的方程为:

2x ? y ? 4 ? 0 。
(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时, x ? 1 成立; 当直线 l 的斜率存在时,设为 k,则直线 l 的方程为:y-2=k(x-1),整理得 kx-y+2-k=0, 则原点到直线的距离 d ?

2?k k ?1
2

? 1 ,解得 k ?

3 ,此时直线方程为: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 4

综上:直线 l 的方程为: x ? 1 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 19. (本小题满分 12 分)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛,比赛得分情 况记录如下(单位:分) : 甲:37,21,31,20,29,19,32,23,25,33 乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46 (Ⅰ)根据得分情况记录,作出两名篮球运动员得分的茎叶图,并根据茎叶图,对甲、乙两 运动员得分作比较,写出两个统计结论; (Ⅱ)设甲篮球运动员 10 场比赛得分平均值 x ,将 10 场比赛得分 xi 依次输入如图所示的 程序框图进行运算,问输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义; (Ⅲ)如果从甲、乙两位运动员的 10 场得分中,各随机抽取一场不小于 30 分的得分,求甲的得分大于乙的得分的概率。 甲 乙
开始

S ?0
i ?1
输入 xi

1 2 3 4

S ? S ? ( xi ? x)2

i ? i ?1


i ?10?
第 19 题图 是

S?

S 10

输出 S 结束

解: (Ⅰ)茎叶图如右 统计结论:①甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值; ②甲运动员得分比乙运动员得分比较集中; ③甲运动员得分的中位数为 27,乙运动员得分的中位数为 28.5;

④甲运动员得分基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近.乙运动员得分分布较为分 散. (给分说明:写出的结论中,1 个正确得 2 分)??????5 分 (Ⅱ) x ? 27, S ? 35 .??????????????????6 分

S 表示 10 场比赛得分的方差,是描述比赛得分离散程度的量, S 值越小,表示比赛得分
比较集中, S 值 越大,表示比赛得分越参差不齐.?????????????8 分 (Ⅲ)记甲、乙两位运动员的得分为 ( a, b) , a 表示甲运动员的得分, b 表示乙运动员的得 分,则甲、乙两位运动员的 10 场得分中各随机抽取一场不小于 30 分的得分的基本事件为:

(31,30) , (31, 44) , (31, 46) ,(31, 46) ,(31, 47) ;(32,30) ,(32, 44) ,(32, 46) ,(32, 46) ,(32, 47) ;(33,30) , (33, 44) , (33, 46) , (33, 46) , (33, 47) ; (37,30) , (37, 44) , (37, 46) , (37, 46) , (37, 47) ;
共有 20 种情况,?10 分。

(31,30) , (32,30) , (33,30) , (37,30) , 其中甲的得分大于乙的得分有: 共 4 种情况. ???
11 分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为 P ?

4 1 ? .????????????12 分 20 5

20 . (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,

AB // DC ,

?ABC ? 45? , DC ? 1 , AB ? 2 , PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 .
(Ⅰ)求证: AB // 平面 PCD ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅲ)若 M 是 PC 的中点,求三棱锥 M ? ACD 的体积. 【解析】证明: (Ⅰ) AB // DC ????? 1 分 又 AB ? 平面 PCD ????? 2 分 ????? 3 分 ????? 4 分

CD ? 平面 PCD
∴ AB ∥平面 PCD

(Ⅱ)在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE ? AB 于点 E , 则四边形 ADCE 为矩形,∴ AE ? DC ? 1 ???? 5 分 ,∴

? 又 AB ? 2 , ∴ BE ? 1 , 在 Rt ?BEC 中 , ?ABC ? 45 ∴ CE ? BE ? 1, CB ? 2

A D ? C E? 1
则 AC ?

AD2 ? CD2 ? 2 , AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ∴ BC ? AC
???? 8 分 ????? 9 分

???? 7 分

又 PA ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC

PA ? AC ? A

∴ BC ? 平面 PAC

(Ⅲ)∵ M 是 PC 中点,∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半??? 10 分

VM ? ACD ?

1 1 1 1 1 1 ????? 12 分 S?ACD ? ( PA) ? ? ( ? 1 ? 1) ? ? 3 2 3 2 2 12

21. (本小题满分 12 分)已知实数 a ???2, ?1 ,, 1 2? , b ???2, ?1 ,, 1 2? 。 (Ⅰ)求点(a,b)在第一象限的概率;
2 2 (Ⅱ)求直线 y ? a x ? b 与圆 x ? y ? 1有公共点的概率。

解: 由于实数对 ? a, b ? 的所有取值为:? ?2, 1? ,? ?2, 2 ? ,? ?1, ? 2? ,? ?2, ?1? ,? ?2, ? 2? ,

1? ,? ?1, 2 ? ,?1, ? 2? ,?1, ?1? ,?1, 1? ,?1, 2 ? ,? 2, ? 2 ? ,? 2, ? 1? ,? 2, 1? , ?1? ,? ?1, ? ?1, 2? ,共 16 种. ? 2,
设“点 (a, b) 在第一象限”为事件 A , “直线 y ? ax ? b 与圆 x ? y ? 1有公共点”为事件 B .
2 2

(1)若点(a,b)在第一象限,则必须满足 ?

0, ?a>  0. ?b> 

即满足条件的实数对 ? a,b ? 有 ?1 , 1? , ?1, 2 ? , ? 2, 1? , ? 2, 2? ,共4种. ∴ P ? A? ?

1 4 1 ? ,故直线 y ? a x ? b 不经过第四象限的概率为 . 4 16 4

(2)若直线 y ? ax ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点,则必须满足

b a ?1
2

≤1,即 b ≤ a ? 1 .
2

2

? 1,, 1 2 符合要求,此时实数对( a,b )有4种不同取值; 若 a ? ?2 ,则 b ? ?2, 1 符合要求,此时实数对( a,b )有2种不同取值; 若 a ? ?1 ,则 b ? ?1, 1 符合要求,此时实数对( a,b )有2种不同取值; 若 a ? 1 ,则 b ? ?1, ? 1,, 1 2 符合要求,此时实数对( a,b )有4种不同取值.∴满足 若 a ? 2 ,则 b ? ? 2,
条件的实数对 ? a,b ? 共有 12 种不同取值.∴ P ? B ? ?

12 3 ? . 故直线 y ? ax ? b 与圆 16 4

3 x2 ? y 2 ? 1有公共点的概率为 . 4

2 22. (本小题满分 14 分)已知:以点 C (t, t )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O, B,其中 O 为原点. (Ⅰ)当 t=2 时,求圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:△OAB 的面积为定值; (Ⅲ)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程. 解 : (Ⅰ)圆 C 的方程是 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 5
2 2

( Ⅱ ) ?圆C过原点O

, ? OC ? t ?
2 2

4 t2

. 设 圆

C

的 方 程 是

2 4 (x ? t)2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t

(Ⅲ)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ?

1 1 2 1 ? ? t, t ? 2或t ? ?2 , 解得: ? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) ,OC ?

5,

此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离

d?

1 ? 5, 5



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福建省泉州一中2012-2013学年高一下学期期中考试试题
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高一历史下册期中考试试卷(3套集合)
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2011-2012学年福建省泉州一中高一下期期中考试语文卷B
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