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2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理



第2讲

平面向量基本定理及坐标表示

最新考纲

1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.掌

握平面向量的正交分解及其坐标表示; 3. 会用坐标表

示平面向量的加法、减法与数乘运算; 4. 理解用坐标
表示的平面向量共线的条件.

知识梳理<

br />1.平面向量的基本定理 不共线 向量,那么对于这 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个 _______ 一平面内的任一向量 a ,存在唯一一对实数 λ1 , λ2 ,使 a = λ1e1+λ2e2,我们把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内 所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 互相垂直

把一个向量分解为两个
分解.

的向量,叫作把向量正交

3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x2,y1+y2) ,
2 2 ( x - x , y - y ) x + y 2 1 2 ,λa=(λx1,λy1),|a|= 1 1 . a-b= 1

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= (x2-x1,y2-y1) ,
2 2 → ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 |AB|= .

4.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b? x1y2-x2y1=0 .

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( × ) (3)设 a,b 是平面内的一组基底,若实数 λ1,μ1,λ2,μ2 满 足 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2.( √ ) (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可以表 x1 y1 示成 = .( × ) x2 y2 (5)已知向量 a=(1-sin 则 θ 等于 45° .( × )
?1 θ, 1), b=?2,1+sin ? ? θ?, 若 ?

a∥ b,

2. 在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的 是( )

A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)

解析

由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两向量

均共线,都不符合基底条件,故选B(事实上,a=(3, 2)=2e1+e2). 答案 B

3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),C 为 π 坐标平面内第一象限内一点,且∠AOC= 4 ,且|OC|=2, → =λ OA → +μ OB → ,则 λ+μ=( 若OC A.2 2 B. 2 C.2 )

D.4 2 π 解析 因为|OC|=2,∠AOC= ,所以 C( 2, 2), 4
→ =λ OA → +μ OB → ,所以( 2, 2)=λ(1,0)+μ(0,1) 又OC =(λ,μ),所以 λ=μ= 2,λ+μ=2 2. 答案 A

1 4.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB, 2 → =λ AB → +λ AC → (λ ,λ 为实数),则 λ +λ 的 BE= BC.若DE 1 2 1 2 1 2 3 值为________.
1→ 2 → 1→ 2 → → → → → 解析 DE=DB+BE=2AB+3BC=2AB+3(BA+AC) 1→ 2→ =-6AB+3AC, 1 2 1 所以 λ1=- ,λ2= ,即 λ1+λ2= . 6 3 2 1 答案 2

5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B,C 三 → |AC| → 2→ 1→ 点满足OC=3OA+3OB,则 → =________. |AB|
解析 1→ 1→ → 2→ 1→ → → ∵OC=3OA+3OB, ∴OC-OA=-3OA+3OB=

→ 1 → → |AC| 1 → 1→ 3(OB-OA),∴AC=3AB,∴ → =3. |AB| 1 答案 3

考点一

平面向量基本定理的应用

【例 1】 (1)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M, → → → N 分别为 CD,BC 的中点,若AB=λAM+μAN,则 λ+μ 等于( 1 A. 5 ) 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5

→ 1→ (2)(2016· 南昌调研)如图, 在△ABC 中, AN=3NC, → → 2→ P 是 BN 上的一点, 若AP=mAB+ AC, 则实数 m 11 的值为________.

解析

→ → → → → → (1)因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+

→ → → → → → 1→ → (CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN-4AB-AM, 4 → 8→ 4 → 所以AB=5AN-5AM,所以 λ+μ=5.

→ → (2)设BP=kBN,k∈R. → → → → → → → → 因为AP=AB+BP=AB+kBN=AB+k(AN-AB)
?1 → →? → → k→ ? ? =AB+k 4AC-AB =(1-k)AB+4AC, ? ?

→ → 2→ k 2 且AP=mAB+11AC,所以 1-k=m,4=11, 8 3 解得 k=11,m=11. 3 答案 (1)D (2) 11

规律方法

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质

是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般 思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.(3)要 熟练运用平面几何的一些性质定理.

【训练 1】(1)在△ABC 中, 点 D 在边 AB 上, CD 平分∠ACB. → → → 若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=( 1 2 A.3a+3b 3 4 C. a+ b 5 5 2 1 B.3a+3b 4 3 D. a+ b 5 5 )

→ → → (2)已知△ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且CD=2DB, CD → → =rAB+sAC,则 r+s 的值是( 2 A.3 4 B.3 ) D.0

C.-3

解析 (1)法一 因为 CD 平分∠ACB,由角平分线定理, AD AC |b| → → 2→ → → 得DB=BC= =2,所以AD=2DB=3AB.所以CD=CA+ |a| → → 2→ → 2 → → 2 → 1 → 2 1 AD=CA+3AB=CA+3(CB-CA)=3CB+3CA=3a+3b.
法二 (特殊值法)构造直角三角形, 令 CB=1, CA=2, 3 → 1→ AB= 3,则∠DCB=30° ,所以 BD= 3 .故BD=3BA, 1 2 1 → → → CD=CB+BD=a+3(b-a)=3a+3b.

→ → → (2)∵DB=AB-AD, → → → → → 1→ → ∴CD=AB-DB-AC=AB- CD-AC, 2 3→ → → → 2→ 2→ ∴2CD=AB-AC,∴CD=3AB-3AC. 2 2 → → → 又CD=rAB+sAC,∴r= ,s=- , 3 3 ∴r+s=0,故选 D.

答案 (1)B (2)D

考点二

平面向量的坐标运算

【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4). → → → → → 设AB=a, BC=b, CA=c, 且CM=3c, CN=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M,N 的坐标及向量MN的坐标.

解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ? ?-6m+n=5, ?m=-1, ∴? 解得? ? ? ?-3m+8n=-5, ?n=-1.

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), → → → ∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18).

规律方法

向量的坐标运算主要是利用加、减、

数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,

则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程
思想的运用及正确使用运算法则.

【训练 2】 (1)(2016· 广东六校联考)已知 A(-3,0),B(0,2), O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=2 2,且∠AOC= π → = λOA → +OB → (λ∈R),则 λ 的值为( ,设 OC 4 A.1 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3 )

→ =(2, (2)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB → =(1,3),则BD → =( 4),AC A.(-2,-4) C.(3,5) )

B.(-3,-5) D.(2,4)

解析

(1)过 C 作 CE⊥x 轴于点 E.

π 由∠AOC= ,知|OE|=|CE|=2, 4 → → → → → → → 所以OC=OE+OB=λOA+OB,即OE=λOA, 2 所以(-2,0)=λ(-3,0),故 λ=3. → =AD → -AB → =BC → -AB → =(AC → -AB → )-AB → =AC → (2)由题意得BD → -2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).

答案 (1)D (2)B

考点三 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c =(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d 的坐标.



(1)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),

16 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得 k=- . 13 (2)设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1), 又 a+b=(2,4),|d-c|= 5,
? ? ?4(x-4)-2(y-1)=0, ?x=3, ? ?x=5, ∴? 解得? 或? 2 2 ? ? ?(x-4) +(y-1) =5, ?y=-1 ? ?y=3.

∴d 的坐标为(3,-1)或(5,3).

规律方法

(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:

①若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) ,则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb.(2)向量共线 的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求

参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应
成比例来求解.

【 训 练 3 】 (1)( 北师大 必 修 4P88 例 3 改 编 ) 已 知 梯 形 ABCD ,其中 AB∥CD ,且 DC = 2AB ,三个顶点 A(1 , 2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.

(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,
c,若p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,则 角C=________.

解析

→ → (1)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,∴DC=2AB.

→ 设点 D 的坐标为(x,y),则DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), → AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),
? ? ?4-x=2, ?x=2 即(4-x,2-y)=(2,-2),∴? 解得? ,故点 ? ? ?2-y=-2, ?y=4

D

的坐标为(2,4).
(2)因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,所以 a2+b2-
2 2 2 a + b - c 1 1 2 c =ab,所以 = ,结合余弦定理知,cos C= , 2ab 2 2

又 0° <C<180° ,所以 C=60° .

答案 (1)(2,4) (2)60°

[思想方法]

1.对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向 量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础. (2)平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有 无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a=λ1e1 +λ2e2的形式.

2.向量共线的作用
向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题,向量共 线的充要条件用坐标可表示为x1y2-x2y1=0.

[易错防范] 1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系, 向量的终点坐标 减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其 终点坐标就是向量坐标.. 2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、 终点的相对位置 有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐 标都是相同的. 3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 x1 y 1 x2=y2,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1 =0.



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