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学习·探究·诊断文科数学综合专题(二)测试



专题六

平面向量

平面向量是工具性的知识,向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式,它把 “数”和“形”很好地结合在一起,体现了重要的数学思想方法.在高考中,除了对向量本 身的概念与运算的知识进行考查外,向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等 知识综合在一起考查. 本章应该掌握向量的基本概念、 向量的运算方法与公式以及向量的

应 用.

§ 6-1
【知识要点】 1.向量的有关概念与表示

向量的概念与运算

(1)向量:既有方向又有大小的量,记作向量 AB ,a,b,c. 自由向量:数学中所研究的向量是可以平移的,与位置无关,只要是长度相等,方向相 同的向量都看成是相等的向量. (2)向量的模:向量的长度,记作: | AB | , | a | . 向量的夹角:两个非零向量 a,b,作 OA ? a, OB ? b ,则∠ AOB 称为向量 a,b 的夹角, 记作:<a,b> 零向量:模为 0,方向任意的向量,记作:0. 单位向量:模为 1,方向任意的向量,与 a 共线的单位向量是: ?

a ( a ? 0) . ? |a|

(3)相等向量:长度相等,且方向相同的向量叫相等向量. 相反向量:长度相等,方向相反的向量. 向量共线:方向相同或相反的非零向量是共线向量,零向量与任意向量共线;共线向量 也称为平行向量,记作 a∥ b. 向量垂直:<a,b>=90° 时,向量 a 与 b 垂直,规定:0 与任意向量垂直. 2.向量的几何运算(注意:运算法则、运算律) (1)加法:平行四边形法则、三角形法则、多边形法 4 则. (2)减法:三角形法则. (3)数乘:记作:λa. 它的长度是:|λa|=|λ|?|a|. 它的方向:(1)当 λ>0 时,λa 与 a 同向. (2)当 λ<0 时,λa 与 a 反向. (3)当 λ=0 时,λa=0.

(4)数量积: ① 定义:a?b=|a||b|cos<a,b> 其物理背景是力在位移方向所做的功. ② 运算律:(交换律)a?b=b?a. (实数的结合律)λ(a?b)=(λa)?b=a?(λb).

(分配律)(a+b)?c=a?c+b?c. ③ 性质:设 a,b 是非零向量,则: a?b=0 ? a⊥ b. a 与 b 同向时,a?b=|a|?|b|. a 与 b 反向时,a?b=-|a|?|b|. 特殊地: a ? a ?| a |2 或 | a |? a ? a . 夹角: cos ? a,b ??

a ?b . | a || b |

|a?b|≤|a||b|. 3.向量的坐标运算 若在平面直角坐标系下,a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)加法:a+b=(x1+x2,y1+y2). (2)减法:a-b=(x1-x2,y1-y2). (3)数乘:λa=(λx1,λy1). (4)数量积:a?b=x1x2+y1y2.
2 2 (5)若 a=(x,y),则|a|= x ? y .

(6)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 cos ? a,b ??

a ?b xx ?y y ? 2 1 22 1 2 2 2 . | a || b | x1 ? y1 ? x2 ? y2
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 .

(7)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 | AB |?

(8)a 在 b 方向上的正射影的数量为 | a | cos ? a,b ??

a ? b x1 x2 ? y1 y2 . ? 2 2 |b| x2 ? y2

4.重要定理: (1)平行向量基本定理: 若 a=λb,则 a∥ b,反之:若 a∥ b,且 b≠0,则存在唯一的实数 λ 使得 a=λb. (2)平面向量基本定理: 如果 e1 和 e2 是平面内的两个不共线的向量,那么该平面内的任一向量 a,存在唯一的 一对实数 a1,a2 使 a=a1 e1+a2 e2. (3)向量共线和垂直的充要条件: 若在平面直角坐标系下,a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥ ? x1y2-x2y1=0,a⊥ ? x1x2+y1y2=0. b b (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a=b ?
? ? 1 ? ? ? 1

x ? x2 y ? y2

【复习要求】 1.准确理解相关概念及表示,并进行简单应用; 2.掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算,了解向量的线性 运算的法则、性质;会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题;

3.熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律,会利用向量的数量积解决有关长度、 角度、垂直、平行等问题. 【例题分析】 例 1 判断下列命题的真假: (1)向量 a、b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; (2)非零向量 AB CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线; 、 (3)平行四边形 ABCD 中, AB ? CD ; (4)若 a∥ b,b∥ c,则 a∥ c. 【分析】 (1)假命题. 非零的平行向量的方向可以相同或相反, 但零向量与任意向量平行, 而且规定零向量的方向任意; (2)假命题.我们研究的向量是自由向量,可以在平面(空间)内平移,只要向量能够平移 到一条直线上就是平行向量,与平面几何中的平行定义不同; (3)假命题.正确的应该为 AB ? ?CD ? DC ; (4)假命题.若 b=0,则向量的平行性就不能传递. 解答:都是假命题. 例 2 向量 a、b、c 是非零的不共线向量,下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b?c)a-(c?a)b 与 c 垂直; (2)若 a?c=b?c,则 a=b; (3)(a?b)c=a(b?c); (4)a?b≤|a|?|b| A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】(1)真命题. 注意:向量的数量积是一个实数,因此[(b· c)a—(c· c=(b· c) a)b]· c)(a· -(c· c)=0,所以 c(b· a)(b· c)a-(c· 与 c 垂直; a)b (2)假命题.a· c=b· ? a=b;即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量,比如:向 c ? 量 a 与向量 b 都是与向量 c 垂直且模长不等的向量,可以使得左边的式子成立,但是 a、b 这两个向量不相等; (3)假命题.(a· b)c≠a(b· c),实际上(a· 是与向量 c 方向相同或相反的一个向量,a(b· b)c c) 是与 a 方向相同或相反的一个向量,向量 a、c 的方向可以不同,左右两边的向量就不等; (4)真命题.a· b=|a| |b|cos<a,b>,且 cos<a,b>≤1,所以 a?b≤|a| |b|. 解答:选 C. 【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整,比如平行向量(共线向 量)、零向量等,注意积累自己这样的容易错误的判断并纠正自己的认识; (2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量,而向量的数量积运算结果是一 个实数,要熟练掌握向量的运算法则和性质. 例 3 化简:(1) AD ? CM ? ND ? NM ; (2)已知 a=(2,1),b=(-3,4),求 a-b,3a+4b, (3)已知 A(-2,4),B(-3,-4), BM ? 3BA ,求 M 的坐标. 【分析】利用向量的相反向量以及加法的交换律与结合律进行化简; 利用向量的坐标运算公式以及向量的线性运算公式化简;

利用两点坐标求向量坐标的方法,以及待定系数法求定比分点的坐标. 解:(1)原式= AD ? DN ? NM ? MC ? AC ; (2)∵ a=(2,1),b=(-3,4), ∴ a-b=(2+3,1-4)=(5,-3); 3a+4b=(6,3)+(-12,16)=(-6,19): (3)∵ A(-2,4),B(-3,-4),设 M(x,y) ∴BM =(x+3,y+4), BA =(-2+3,4+4)=(1,8), ∵BM ? 3BA ∴ (x+3,y+4)=3(1,8), ?

?x ? 3 ? 3 ?x ? 0 即 M(0,20). ?? ? y ? 4 ? 24 ? y ? 20,

【评析】(1)向量加法满足交换律:a+b=b+a, 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c; (2)向量的数乘满足实数结合律:λ(μa)=(λμ)a,(λ、μ∈ R), (实数)分配律:λa+μa=(λ+μ)a, (向量)分配律:λ(a+b)=λa+λb; (3)会利用两点的坐标求向量的坐标,会适时地设未知点的坐标,利用相等向量求待定 系数的值,这是我们会经常遇到的问题和方法; (4)向量的加减法是向量的最基本的运算,应该做到形算迅速,数算准确;在向量的加 法形算中, 把一个向量分解成首尾相接的向量的和, 以及共起点的两个向量的差的方法在今 后的做题中很常见.即 MN ? MA ? AN ? PN ? PM ;熟练准确进行向量的坐标运算. 例 4 已知向量 a=(1, b=(2, 2), -3). 若向量 c 满足(c+a)∥ c⊥ b, (a+b), c= ( 则 A. ( , ) )

7 7 9 3

B. (? ,? )

7 3

7 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. (? ,? )

7 9

7 3

【分析】知道向量的具体坐标,可以进行向量的坐标运算;向量的平行与垂直的关系也 可以用坐标体现,因此用待定系数法通过坐标运算求解. 解:不妨设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于(c+a)∥ b,则 有-3(1+m)=2(2+n);又 c⊥ (a+b),则有 3m-n=0,则有 m= ?

7 7 ,n= ? ,故选 D. 9 3

【评析】平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现了 平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 此外, 待定系数法是在解决向量的坐标运算 中常用的方法. 例 5 (1)已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(-k,10),且 A、B、C 三点共 线,求实数 k 的值. (2)已知向量 a=(1,1),b=(2,-3),若 ka-2b 与 a 垂直,求实数 k 的值. 【解析】(1)向量 a 与 b(b≠0)共线 ? 存在实数 m 使 a=mb. 当已知向量的坐标时,a∥ ? x1y2-x2y1=0. b (2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题. a?b=0 ? a⊥ ? x1x2+y1y2=0 b 解:(1)∵OA ? (k ,12) , OB ? (4,5) , OC =(-k,10),

∴ AB =(4-k,-7), CB =(4+k,-5), ∵ A、B、C 三点共线, ∴ AB// CB ,即(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0,解得: k ? ?

2 . 3

(2)由(ka-2b)⊥ a,得(ka-2b)?a=ka2-2b?a=2k-2?(2-3)=0,所以 k=-1. 【评析】 向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 m 使 a=mb; ① 当已知向量的坐标 时,a∥ ? x1y2-x2y1=0.若判断(或证明)两个向量是否共线,只要判断(或证明)两个向量 b 之间是否具有这样的线性关系即可;反之,已知两个向量具有平行关系时,也有线性等量关 系成立. ② 利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行,以及利用向量的数 量积解决垂直问题等是常见的题型,注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式,并注 意数形结合. 例 6 已知向量 a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2). (1)若 a∥ b,求 tanθ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 解:(1)因为 a∥ b,所以 2sinθ=cosθ-2sinθ, 于是 4sinθ=cosθ,故 tan ? ?

1 . 4

(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,所以 1-2sin2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即 sin2θ+cos2θ=-1, 于是 sin(2? ?

π 2 , )?? 2 4

π π 9π π 5π π 7π ? 2? ? ? ,所以 2? ? ? ,或 2? ? ? , 4 4 4 4 4 4 4 π 3π 因此 ? ? ,或 ? ? . 2 4
又由 0<θ<π 知, 例 7 已知|a|=2,|b|=5,<a,b>=60° ,求: ① a?b;② (2a+b)?b;③ |2a+b|;④ 2a+b 与 b 的夹角 θ 的余弦值. 【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等: a?b=|a| |b| cos<a,b>=x1x2+y1y2; a?a=|a|2 ? |a|= a ? a ,若 a=(x,y),则 | a |?

x2 ? y2 ;

cos ? a,b ??

a ?b xx ?y y ? 2 1 22 1 2 2 2 . | a || b | x1 ? y1 ? x2 ? y2

解:(1)① |a|=2,|b|=5,<a,b>=60° a?b=|a| |b| cos<a,b>=5; ∵ ,∴ ② (2a+b)?b=2a?b+b?b=10+25=35; ③| 2a ? b |?

(2a ? b) 2 ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 16 ? 20 ? 25 ? 61 ;

④cos ? 2a ? b,b ??

(2a ? b) ? b (2a ? b) ? b 35 7 61 ? ? ? . 2 61 | 2a ? b || b | 61 ? 5 (2a ? b) ? | b |

【评析】①利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题,同时用向量的 数量积解决垂直相关问题也是常见的题型,注意使用正确的公式. ②向量的知识往往结合三角函数和解三角形的知识来综合解决问题.

练习 6-1
一、选择题 1.平面向量 a,b 共线的充要条件是 ( ) A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C. ? λ∈ R,b=λa D.存在不全为零的实数 λ1,λ2,λ1a+λ2b=0 2.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b= ( ) A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 3.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b 与 a 垂直,则 λ 是 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC ? 2 AD ,则顶 点 D 的坐标为( A. ? 2, ? ) B. ? 2,? ?

? ?

7? 2?

? ?

1? 2?

C.(3,2)

D.(1,3)

二、填空题 5.设 a=(2k+2,4),b=(8,k+1),若 a 与 b 共线,则 k 值为________. 6.已知向量 OA =(-1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? AB ,则 m=________. 7.已知 M(3,-2),N(-5,-1), MP ?

1 MN ,则 P 点坐标为________. 2

8.已知 a2=1,b2=2,(a-b)?a=0,则 a 和 b 的夹角是________. 三、解答题 9.已知向量 a=(x+3,x2-3x-4)与 AB 相等,其中 A(1,2),B(3,2),求实数 x 的值.

10.已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a?b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b?c)a.

11.若向量 a 与 b 的夹角为 60° ,|b|=4,(a+2b)?(a-3b)=-72,求向量 a 的模.

§6-2

向量的应用

【知识要点】 1. 向量的基本概念和运算与平面几何的联系解决有关三角形的形状、 解三角形的知识; 2.以向量为载体考查三角函数的知识; 3.在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息, 实际上还是考查向量的运算方法与公式. 【复习要求】 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其他一些实际问题, 体会向量 是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力. 【例题分析】 例 1 若 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ,求证三角形 ABC 是正三角形. 【分析】给出的是一个连等的等式,考虑移项进行向量的运算,进而得到正三角形的某 些判定的结论. 证明 AB? BC ? BC ? CA ? BC ? ( AB ? CA) ? BC ? ( AB ? AC) ? 0 ,即 BC 与 BC 边上 的中线垂直,所以 AB=AC,同理 BC=BA,可以得到该三角形是等边三角形. 例 2 已知向量 a=(2,4),b=(1,1).若向量 b⊥ (a+λb),求实数 λ 的值. 【分析】已知向量的坐标和向量的垂直关系,利用向量垂直的坐标公式代入即可. 解:∵ (a+λb),∴ b⊥ b?(a+λb)=0,即 b?a+λb2=0,∴ 2+4+2λ=0,∴ λ=-3. 另解 a=(2,4),b=(1,1),a+λb=(2+λ,4+λ),∵ (a+λb)∴ b⊥ b?(a+λb)=0, 即 2+λ+4+λ=0,∴ λ=-3. 【评析】利用数量积解决向量的垂直问题时,可以用向量的几何形式运算(如例 1),也 可以利用坐标形式进行运算(如例 2),注意选择合适的方法. 例 3 已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3 ,-1),n= (cosA,sinA).若 m⊥ n,且 acosB+bcosA=csinC,求角 A,B 的大小. 【分析】在三角形中,借助垂直向量的条件可以得到 A 角的三角方程,从而求出三角形 的内角 A,已知的等式左右两边是边的齐次式,可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知 识求三角形的其余内角. 解:∵ n,∴ m⊥ m?n= 3 cosA-sinA=0,即 tanA= 3 ,∴ 三角形内角 A ? ∵ acosB+bcosA=csinC,∴ sinAcosB+sinBcosA=sin2C, 即 sin(A+B)=sin2C,sinC=1, C ?

π ; 3

π π ,∴B ? . 2 6

【评析】 向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里, 结合相关的知识点进行

、 考查,常见的有中点的表达(比如 AM ? MB AM ?

1 OA ? OB AB OM ? 、 等都说明 M 是 2 2

AB 中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等,要注意分析并积累.

例 4 已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c=5,求 sin∠ 的值. A 【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标,利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题 进行运算求解即可.(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式,为我们沟通了更多的等 量关系, 我们不仅可以数形结合, 还可以利用解三角形的其他知识, 利用数量积 AB? AC 如① 求出 cosA,进而求 sinA;② 余弦定理正弦定理. 解:(1) AB =(-3,-4), AC =(c-3,-4), 由 AB ? AC ? 0 可得-3(c-3)+16=0,解得 c ?

25 . 3

(2)[解法一]当 c=5 时,可得 AB=5,AC= 2 5 ,BC=5,△ABC 为等腰三角形, 过 B 作 BD⊥ 交 AC 于 D,可求得 BD= 2 5 ,故 sin A ? AC

BD 2 5 . ? 5 AB

[解法二] AB =(-3,-4), AC =(2,-4),∵ | AB || AC | cos A ? AB? AC , ∴ 5? 2 5 cos A =-6+16,∴ cos A ?

5 2 5 ,∵A∈[0,π],∴ sin A ? . 5 5

【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式,为我们沟通了更多的等量关系,使 用时不仅可以数形结合, 还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、 正弦定理一起来解决 有关三角形的问题. 例 5 在△ABC,已知 2 AB ? AC ? 3 | AB | ? | AC |? 3BC ,求角 A,B,C 的大小. 【分析】熟悉向量的数量积的形式,以及结合三角公式来解决问题. 解:设 BC=a,AC=b,AB=c, 由 2 AB ? AC ? 3 | AB | ? | AC | 得 2bccosA= 3 bc,所以 cos A ? 又 A∈ (0,π),因此 A ?
2

3 , 2

π . 6
2

由 3 | AB | ? | AC |? 3BC 得 bc ? 所以 sin C ? sin(

3 3a 2 ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin 2 A ? 4 ,

5π 3 1 3 3 ? C) ? , sin C ? ( cosC ? sin C ) ? , 4 2 4 6 2
2

因此 2 sin C ? cosC ? 2 3 sin C ? 由A?

3 , sin 2C ? 3 cos2C ? 0 ,既 tan2C ? 3 .

π 5π 5π 知0 ? C ? ,所以 0 ? C ? , 6 3 6 π 4π π 2π , C ? ,或 C ? ∴ 2C ? 或 2C ? , 3 3 6 3

故A?

π 2π π π π 2π ,B ? , C ? ,或 A ? , B ? , C ? . 6 3 6 6 6 3

例 6 设向量 a=(4cos?,sin?),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ) (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(?+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan??tanβ=16,求证:a∥ b. 【解析】(1)(2)以向量的形式来考查三角函数、不等式的知识,(3)是向量平行的逆用. 解:(1)由 a 与 b-2c 垂直,a?(b-2c)=a?b-2a?c=0, 即 4sin(?+β)-8cos(?+β)=0,tan(?+β)=2; (2)b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), |b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β =17-30sinβcosβ=17-15sin2β,最大值为 32,所以|b+c|的最大值为 4 2 . (3)由 tan??tanβ=16 得 sin??sinβ=16cos??cosβ, 即 4cos??4cosβ-sin??sinβ=0, 所以 a∥ b. 例 7 已知向量 a ? (cos

3 3 x x π x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) ,其中 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2

(1)求 a?b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a?b-2|a+b|,求函数的值域. 【分析】 只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入, 继而转化为三角函数与函数的 有关知识. 解:(1) a ? b ? cos

3 x 3 x x cos ? sin x sin ? cos 2 x , 2 2 2 2 π | a ? b |? (a ? b) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos x, x ? [0, ] . 2

或 | a ? b |? (cos

3x x 3x x ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2

π ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos x, x ? [0, ] . 2
(2)f(x)=a?b-2|a+b|=cos2x-4cosx=2cos2x-4cosx-1=2(cosx-1)2-3, ∵ x ? [0, ] ∴cosx∈[0,1],∴f(x)∈[-3,-1] 【评析】向量往往是一步工具性的知识应用,继而转化为三角函数、不等式、解三角形 等知识,因此,熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质,以及灵活选择合适的 公式非常必要,使用公式时要准确,为后续解题做好准备.

π 2

练习 6-2
一、选择题 1.若 a,b,c 为任意向量,m∈ R,则下列等式不一定成立的是 ( ) A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)?c=a?c+b?c C.m(a+b)=ma+mb D.(a?b)c=a(b?c)

2、设 a ? ( , sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a∥ b,则??的值是 A. ? ? 2kπ ? C. ? ? kπ ?

3 2

1 3

(

)

π , (k ? Z) 4

π , (k ? Z) 4

π , (k ? Z) 4 π D. ? ? kπ ? , ( k ? Z) 4
B. ? ? 2kπ ? ( )

3.在△ABC 中, AB ? a, BC ? b ,且 a?b>0,则△ABC 的形状为 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 (

4.已知:设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则

)

第 4 题图 A. PA ? PB ? 0 C. PC ? PA ? 0 二、填空题 5.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为 B. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0

π ,则|a+b|=________. 3

6.已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b ? ( 3,?1) ,则|2a-b|的最大值是________. 7.若 a=(1,3), b ? ? ,1? ,且(a+2b)⊥ (2a-b),则 x=________. 8.已知向量 OA ? (4,6), OB ? (3,5) ,且 OC ? OA, AC // OB ,则向量 OC ? ________. 三、解答题 9.判断以点 O(0,0)、A(2,0)、B(1, 3 )为顶点的三角形的形状.

?x ? ?2 ?

10.P 在 y 轴上,Q 在 x 轴的正半轴上,H(-3,0),M 在直线 PQ 上, HP ? PM ? 0 ,

3 PM ? ? MQ .当点 P 在 y 轴移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程. 2

11.已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ), ? (1)若 a⊥ b,求 θ; (2)求:|a+b|的最大值.

π π ?? ? . 2 2

习题 6
一、选择题 1.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥ b,则 2a+3b= ( ) A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 2.给出下列五个命题: ① 2=a2; |a| ②

a ?b b ? ; ③ (a?b)2=a2?b2; a2 a

④ (a-b)2=a2-2a?b+b2;⑤ a?b=0,则 a=0 或 b=0. 若 其中正确命题的序号是 ( ) A.① ③ ② B.① ④ C.① ④ ③ D.② ⑤ 3.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1 则|a+2b|= ( A. 3 B. 2 3 C.4 ( D.12 ) D.90°

)

4.若 a2=1,b2=2,(a-b)?a=0,则 a 与 b 的夹角为 A.30° B.45° C.60°

5.已知在△ABC 中, OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 为△ABC 的

(

)

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 二、填空题 6.已知 p=(1,2),q=(-1,3),则 p 在 q 方向上的正射影长为________. 7.如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题:

①. AC ? AF ? 2BC ; ②. AD ? 2 AB ? 2 AF ; ③. AC ? AD ? AD ? AB ; ④. ( AD? AF) EF ? AD( AF ? EF) .

其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号). 8.如图,平面内有三个向量 OA OB OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的 、 、 夹角为 30°,且 | OA |?| OB |? 1, | OC |? 2 3 ,若 OC ? ?OA ? ?OB (? , ? ?R),则 λ +μ 的值为________.

9.已知向量 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b⊥ (a+λb),则实数 λ 的值________; 若c ? a ?(

a ?a )b ,则向量 a 与 c 的夹角为________. a ?b

10.向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)⊥ b,则 k=________. 三、解答题 11.已知 a ? (1, 3), b ? ( 3,?1) . (1)证明:a⊥ b; (2)若 ka-b 与 3a-kb 平行,求实数 k; (3)若 ka-b 与 ka+b 垂直,求实数 k.

12.设向量 a=(cos23° ,cos67° ),b=(cos68° ,cos22° ),u=a+tb(t∈ R), (1)求 a?b; (2)求 u 的模的最小值.

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,tanC=3 7 . (1)求 cosC; (2)若 CB ?CA ?

5 ,且 a+b=9,求 c. 2

14.已知函数 f(x)=kx+b 的图像与 x,y 轴相交于点 A,B, AB ? 2i ? 2 j (i,j 分别是与 x, y 轴正半轴同方向的单位向量),函数 g(x)=x2-x-6. (1)求 k,b 的值; (2)当 x 满足 f(x)>g(x)时,求函数

g ( x) ? 1 的最小值. f ( x)

15.已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若 f(x)=a?b 在区间(-1,1)上是增函数,求 t 的取值范围.

附表 向量形式 向 量 相 等 向 量 坐标形式 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 若 A(x1,y2),B(x2,y2), 运算律 自由向量 可以平移

AB ,a,b,c

则 AB =(x2—x1,y2—y1)

a=b

a=b ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y 2

加 法

AB ? AC ? AD (平行四边形法则)
AB ? BC ? AC (三角形法则)

a+b=(x1+x2,y1+y2)

交换律: a+b=b+a 结合律: a+(b+c)=(a+b)+c

减 法 实 数 与 向 量 的 积 数 量 积

a-b=(x1—x2,y1—y2)

AC ? AB ? BC (三角形法则)
λa. (1)长度是:|λa|=|λ|?|a| (2)方向: ①当 λ>0 时,λa 与 a 同向 ②当 λ<0 时,λa 与 a 反向 ③当 λ=0 时,λa=0 结合律: λ(μa)=(λμa) (λ、μεR) (实数)分配律: (λ+μ)a=λa+μa (向量)分配律: λ(a+b)=λa+λb a?b=b?a λ(a?b)= (λa)?b=a?(λb) (a+b)?c=a?c+b?c

λa=(λx1,λy1)

a?b=|a||b|cos<a,b>

a?b=x1x2+y1y2

续表 a=(x,y), 向 量 的 长 度 向 量 的 夹 角 向 量 平 行 向量 垂直 |a|= a ? a
2 2 则|a|= x ? y

| AB |?
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
cos<a,b>=

cos<a,b>=

a ?b | a |?| b |

x1x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

若有实数 λ,使 a=λb,则 a∥ b; 反之:若 a∥ b,且 b≠0,则有且 只有一个实数 λ 使 a=λb a?b=0 ? a⊥ b

a∥ ? x1y2—x2y1=0 b

a⊥ ? x1x2+y1y2=0 b

专题七

立体几何

立体几何的知识是高中数学的主干内容之一, 它主要研究简单空间几何体的位置和数量 关系.本专题内容分为两部分:一是点、直线、平面之间的位置关系;二是简单空间几何体 的结构.在本专题中,我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系,特别是对特殊 位置关系(平行与垂直)的研究;其后,我们复习空间几何体的结构,主要是柱体、锥体、台 体和球等的性质与运算.

§ 7-1

点、直线、平面之间的位置关系

【知识要点】 1.空间直线和平面的位置关系 (1)空间两条直线: ① 有公共点:相交,记作:a∩b=A,其中特殊位置关系:两直线垂直相交. ② 无公共点:平行或异面. 平行,记作:a∥ b. 异面中特殊位置关系:异面垂直. (2)空间直线与平面: ① 有公共点:直线在平面内或直线与平面相交. 直线在平面内,记作:a ? ?. 直线与平面相交,记作:a∩?=A,其中特殊位置关系:直线与平面垂直相交. ② 无公共点:直线与平面平行,记作:a∥ . ? (3)空间两个平面: ① 有公共点:相交,记作:?∩β=l,其中特殊位置关系:两平面垂直相交. ② 无公共点:平行,记作:?∥ . β 2.空间作为推理依据的公理和定理 (1)四个公理与等角定理: 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补. (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理: ① 判定定理: 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. ② 性质定理: 如果一条直线与一个平面平行, 那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平 面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理,得到下面的位置关系图:

【复习要求】 1.了解四个公理与等角定理; 2.理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理; 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 【例题分析】 例 1 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证:(1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、DA、D1F 三线共点.

【分析】对于(1)中证明“E、C、D1、F 四点共面”,可由这四点连接成两条直线,证 明它们平行或相交即可;对于(2)中证明“CE、DA、D1F 三线共点”,可证其中两条相交直 线的交点位于第三条直线上. 证明:(1)连接 D1C、A1B、EF. ∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点, ∴ EF∥ 1B, EF ? A

1 A1 B , 2

又 A1D1∥ BC,A1D1=BC, ∴ 1D1CB 是平行四边形, A ∴ 1B∥ 1C,EF∥ 1C, A D D ∴ E、C、D1、F 四点共面. (2)由(1)得 EF∥ 1, EF ? CD

1 CD1 , 2

∴ 直线 CE 与直线 D1F 必相交,记 CE∩D1F=P, ∵ D1F ? 平面 A1ADD1,P∈ P∈ CE ? 平面 ABCD, ∴ P 是平面 A1ADD1 和平面 ABCD 的一个公共点. 点 ∵ 平面 A1ADD1∩平面 ABCD=AD, ∴ AD, P∈ ∴ CE、DA、D1F 三线共点. 【评析】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据: (1)证明多点共面常用公理 2 及其推论; (2)证明多点共线常用公理 3,即证明点在两个平面内,从而点在这两个平面的交线上;

(3)证明多线共面,首先由其中两直线确定平面,再证其余直线在此平面内. 2、证明 a,b,c 三线交于一点的主要依据: (1)证明 a 与 b 相交,c 与 b 相交,再证明两交点重合; (2)先证明 a 与 b 相交于点 P,再证明 P∈ c. 例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,M,N 分别是 AB,PC 的中 点,求证:MN∥ 平面 PAD.

【分析】要证明“线面平行” ,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化;题目中 出现了中点的条件,因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明. 证明:方法一,取 PD 中点 E,连接 AE,NE. ∵ 底面 ABCD 是平行四边形,M,N 分别是 AB,PC 的中点, ∴ MA∥ CD, MA ?

1 1 CD .∵ 是 PD 的中点,∴ E NE∥ CD, NE ? CD . 2 2

∴ MA∥ NE,且 MA=NE, ∴ AENM 是平行四边形, ∴ MN∥ AE.又 AE ? 平面 PAD,MN ? 平面 PAD, ∴ MN∥ 平面 PAD. 方法二取 CD 中点 F,连接 MF,NF. ∵ MF∥ AD,NF∥ PD, ∴ 平面 MNF∥ 平面 PAD, ∴ MN∥ 平面 PAD. 【评析】关于直线和平面平行的问题,可归纳如下方法: (1)证明线线平行: a∥ c,b∥ c, a∥ ,?? ? β ?

?∥ β
γ∩?=a,γ∩β=b ? a∥b a∥ b B ? ?,a ? ?

a⊥ ,b⊥ ? ?

??∩β=b

??∥b
(2)证明线面平行:

? a∥b

? a∥b
?∥ β
a?β

? a∩?= ?

?a∥?
(3)证明面面平行:

? a∥?
a∥ β,b∥ β a,b ? ?,a∩b=A a⊥ ,a⊥ ? β

? a∥?
?∥ γ,β∥ γ

? ?∩β= ?

??∥β

??∥β

? ?∥β

? ?∥β

例 3 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AC,AB⊥ AC,求证:A1C⊥ 1. BC

【分析】要证明“线线垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明 A1C 垂 直于经过 BC1 的平面即可. 证明:连接 AC1. ∵ ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴ 1⊥ AA 平面 ABC, ∴ AB⊥ 1. AA 又 AB⊥ AC,∴ AB⊥ 平面 A1ACC1, ∴ 1C⊥ A AB.① 又 AA1=AC, ∴ 侧面 A1ACC1 是正方形, ∴ 1C⊥ 1.② A AC 由① ,② A1C⊥ 得 平面 ABC1, ∴ 1C⊥ 1. A BC 【评析】 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的. 如本 题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥ AC”都要将其向“线面垂直”进行转化. 例 4 在三棱锥 P-ABC 中, 平面 PAB⊥ 平面 ABC, AB⊥ BC, AP⊥ PB, 求证: 平面 PAC⊥ 平面 PBC.

【分析】要证明“面面垂直” ,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂直”又可以 通过“线线垂直”进行转化. 证明:∵ 平面 PAB⊥ 平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB,且 AB⊥ BC, ∴ BC⊥ 平面 PAB, ∴ AP⊥ BC. 又 AP⊥ PB, ∴ AP⊥ 平面 PBC, 又 AP ? 平面 PAC, ∴ 平面 PAC⊥ 平面 PBC. 【评析】关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下方法:

(1)证明线线垂直: a⊥ c,b∥ c, a⊥ ? b?? ? a⊥b

?a⊥b
(2)证明线面垂直: a⊥ m,a⊥ n m,n ? ?,m∩n=A a∥ b,b⊥ ?

?∥ β,a⊥ β

?⊥ ?∩β=l β,
a ? β,a⊥ l

?a⊥?
(3)证明面面垂直:

? a⊥?
a⊥ β,a ? ?

? a⊥?

? a⊥?

? ?⊥β
例 5 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥ BC,D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥ 1; BC (2)求证:AC1∥ 平面 B1CD.

证明:(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥ 平面 ABC, ∴ 1⊥ CC AC, 又 AC⊥ BC, BC∩CC1=C, ∴ AC⊥ 平面 BCC1B1, ∴ AC⊥ 1. BC (2)设 BC1 与 B1C 的交点为 O,连结 OD, ∵ BCC1B1 为平行四边形, ∴ 为 B1C 中点, O 又 D 是 AB 的中点, ∴ 是三角形 ABC1 的中位线,OD∥ 1, OD AC 又 AC1 ? 平面 B1CD,OD ? 平面 B1CD, ∴ 1∥ AC 平面 B1CD. 例 6 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 A1ABB1 是菱形,且垂直于底面 ABC, ∠ 1AB=60° A ,E,F 分别是 AB1,BC 的中点. (1)求证:直线 EF∥ 平面 A1ACC1; (2)在线段 AB 上确定一点 G,使平面 EFG⊥ 平面 ABC,并给出证明.

证明:(1)连接 A1C,A1E. ∵ 侧面 A1ABB1 是菱形, E 是 AB1 的中点, ∴ 也是 A1B 的中点, E 又 F 是 BC 的中点, ∴ EF∥ 1C. A ∵ 1C ? 平面 A1ACC1,EF ? 平面 A1ACC1, A ∴ 直线 EF∥ 平面 A1ACC1. (2)解:当

BG 1 ? 时,平面 EFG⊥ 平面 ABC,证明如下: GA 3

连接 EG,FG. ∵ 侧面 A1ABB1 是菱形,且∠ 1AB=60° A , ∴ A1AB 是等边三角形. △ ∵ 是 A1B 的中点, E

BG 1 ? , GA 3

∴ EG⊥ AB. ∵ 平面 A1ABB1⊥ 平面 ABC,且平面 A1ABB1∩平面 ABC=AB, ∴ EG⊥ 平面 ABC. 又 EG ? 平面 EFG, ∴ 平面 EFG⊥ 平面 ABC.

练习 7-1
一、选择题 1.已知 m,n 是两条不同直线,?,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是 ( A.若 m∥ ,n∥ ,则 m∥ ? ? n B.若 m⊥ ,n⊥ ,则 m∥ ? ? n C.若?⊥ γ,β⊥ γ,则?∥ β D.若 m∥ ,m∥ ? β,则?∥ β 2.已知直线 m,n 和平面?,β,且 m⊥ n,m⊥ ,?⊥ ? β,则 ( ) A.n⊥ β B.n∥ β,或 n ? β C.n⊥ ? D.n∥ ,或 n ? α ? 3.设 a,b 是两条直线,?、β 是两个平面,则 a⊥ 的一个充分条件是 b ( ) A.a⊥ ,b∥ ?⊥ ? β, β B.a⊥ ,b⊥ ?∥ ? β, β C.a ? ?,b⊥ ?∥ β, β D.a ? ?,b∥ ?⊥ β, β 4.设直线 m 与平面??相交但不垂直,则下列说法中正确的是 ( ) A.在平面??内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面??垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面??平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面??垂直 二、填空题 )

5.在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB= 6 ,平面 PAB⊥ 平面 ABC,PA⊥ PB,AB⊥ BC,∠ BAC =30° ,则 PC=________. 6. 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 当底面 ABCD 满足条件________时, A1C⊥ 1D1. 有 B (只 要求写出一种条件即可) 7.设??,β 是两个不同的平面,m,n 是平面??,β 之外的两条不同直线,给出四个论断: ① n;② ⊥ m⊥ ? β;③ β;④ ?. n⊥ m⊥ 以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出正确的一个命题________. 8.已知平面?⊥ 平面 β,?∩β=l,点 A∈ ,A ? l,直线 AB∥ ? l,直线 AC⊥ l,直线 m∥ ,m∥ ? β, 给出下列四种位置:① AB∥ m; ② AC⊥ m; ③ AB∥ β; ④ AC⊥ β. 上述四种位置关系中,不一定成立的结论的序号是________. 三、解答题 9.如图,三棱锥 P-ABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形,M,N 分别为 PA,BC 的中点. (1)求 MN 的长; (2)求证:PA⊥ BC.

10.如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥ BD,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点.求证: (1)直线 EF∥ 平面 ACD; (2)平面 EFC⊥ 平面 BCD.

11.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点. (1)求证:AC⊥ 1D; B

(2)若 B1D⊥ 平面 ACE,求

AA 1 的值. AB

12.如图,平面 ABEF⊥ 平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠ BAD=∠ FAB =90° ,BC∥ AD, BC ?

1 1 AD ,BE∥ AF, BE ? AF ,G,H 分别为 FA,FD 的中点. 2 2

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? (3)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥ 平面 CDE.

§ 7-2
【知识要点】 1.简单空间几何体的基本概念

空间几何体的结构

? ?侧棱与底面不垂直 ? 斜棱柱 ? ? ???? (1)棱柱 ? 侧棱与底面垂直 ? ?? ? ? ?? 直棱柱 ?底面是正多边形 ? 正棱柱. ???? ?
(2)特殊的四棱柱:

? 棱柱 ????? ? 平行六面体 ?????? 直平行六面体 ?? ??? 长方体
底面是平行四边形 侧棱与底面垂直 底面是矩形

?底面是正方形 ? 正四棱柱 ?侧棱与底面边长相等 ? 正方体 ??? ? ??? ?? ?

(3)其他空间几何体的基本概念: 几何体 正棱锥 正棱台 圆柱 圆锥 圆台 球面 球 几何体 基本概念 底面是正多面形,并且顶点在底面的射影是底面的中心 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面间的几何体是正棱台 以矩形的一边所在的直线为轴,将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角三角形的一边所在的直线为轴,将直角三角形旋转一周形成的曲面 围成的几何体 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴,将直角梯形旋转一周形成 的曲面围成的几何体 半圆以它的直径为轴旋转,旋转而成的曲面 球面所围成的几何体 性质 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的 多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是 平行四边形 (1)侧棱都相等,侧面是全等的等腰三角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影 组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角 形 续表 几何体 性质 (1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截面 (2)球心到截面的距离 d,球的半径 R,截 面圆的半径 r 满足 r= R2 ? d 2 补充说明 (1)过球心的截面叫球的大圆, 不过球心的截面叫球的小圆 (2)在球面上,两点之间的最短 距离,就是经过这两点的大圆 在这两点间的一段劣弧的长度 (两点的球面距离) 补充说明 (1)直棱柱的侧棱长与高相等, 侧面及对角面都是矩形 (2)长方体一条对角线的平方等 于一个顶点上三条棱长的平方 和

2.简单空间几何体的基本性质

棱柱

正棱锥



3.简单几何体的三视图与直观图 (1)平行投影: ① 概念:如图,已知图形 F,直线 l 与平面?相交,过 F 上任意一点 M 作直线 MM1 平行 于 l,交平面?于点 M1,则点 M1 叫做点 M 在平面?内关于直线 l 的平行投影.如果图形 F 上的所有点在平面?内关于直线 l 的平行投影构成图形 F1,则 F1 叫图形 F 在?内关于直线 l 的平行投影.平面?叫投射面,直线 l 叫投射线.

② 平行投影的性质: 性质 1:直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 性质 2:平行直线的平行投影是平行或重合的直线; 性质 3:平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; 性质 4:与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; 性质 5:在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. (2)直观图:斜二侧画法画简单空间图形的直观图. (3)三视图: ① 正投影:在平行投影中,如果投射线与投射面垂直,这样的平行投影叫做正投影. ② 三视图: 选取三个两两垂直的平面作为投射面. 若投射面水平放置, 叫做水平投射面, 投射到这个平面内的图形叫做俯视图;若投射面放置在正前方,叫做直立投射面,投射到这 个平面内的图形叫做主视图;和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,投 射到这个平面内的图形叫做左视图. 将空间图形向这三个平面做正投影, 然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面 内,这样构成的图形叫空间图形的三视图. ③ 画三视图的基本原则是“主左一样高,主俯一样长,俯左一样宽”.

4.简单几何体的表面积与体积 (1)柱体、锥体、台体和球的表面积: ① 直棱柱侧面积=ch,其中 c 为底面多边形的周长,h 为直棱柱的高. S

1 ch? ,其中 c 为底面多边形的周长,h'为正棱锥的斜高. 2 1 ③ 正棱台侧面积 ? (c ? c?)h? ,其中 c′,c 分别是棱台的上、下底面周长,h'为正棱台的斜 S 2
② 正棱锥侧面积= S 高. ④ 圆柱侧面积=2πRh,其中 R 是圆柱的底面半径,h 是圆柱的高. S ⑤ 圆锥侧面积=πRl,其中 R 是圆锥的底面半径,l 是圆锥的母线长. S ⑥ 球=4πR2,其中 R 是球的半径. S (2)柱体、锥体、台体和球的体积: ① 柱体=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. V

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 1 ③ 台体 ? h( S ? SS ? ? S ?) ,其中 S′,S 分别是台体的上、下底面的面积,h 为台体的 V 3
② 锥体 ? V 高. ④ 球? V

4 3 πR ,其中 R 是球的半径. 3

【复习要求】 1.了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征;

2.会画出简单几何体的三视图,会用斜二侧法画简单空间图形的直观图; 3.理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式. 【例题分析】 例 1 如图,正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 a,侧棱长为 b. (1)证明:PA⊥ BC; (2)求三棱锥 P-ABC 的表面积; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积.

【分析】对于(1)只要证明 BC(PA)垂直于经过 PA(BC)的平面即可;对于(2)则要根据正三 棱锥的基本性质进行求解. 证明:(1)取 BC 中点 D,连接 AD,PD. ∵ P-ABC 是正三棱锥, ∴ ABC 是正三角形,三个侧面 PAB,PBC,PAC 是全等的等腰三角形. △ ∵ 是 BC 的中点, D ∴ BC⊥ AD,且 BC⊥ PD, ∴ BC⊥ 平面 PAD, ∴ PA⊥ BC. (2)解:在 Rt△PBD 中, PD ? ∴S ?PBC ?

PB 2 ? BD 2 ?

1 4b 2 ? a 2 , 2

1 a BC ? PD ? 4b 2 ? a 2 . 2 4 3a 4b 2 ? a 2 . 4 3a 2 , 4

∵ 三个侧面 PAB,PBC,PAC 是全等的等腰三角形, ∴ 三棱锥 P-ABC 的侧面积是

∵ ABC 是边长为 a 的正三角形, △ ∴ 三棱锥 P-ABC 的底面积是 ∴ 三棱锥 P-ABC 的表面积为

3a 2 3a 3a ? 4b2 ? a 2 ? (a ? 12b2 ? 3a 2 ) . 4 4 4

(3)解:过点 P 作 PO⊥ 平面 ABC 于点 O,则点 O 是正△ABC 的中心, ∴OD ?

1 1 3a 3a AD ? ? ? , 3 3 2 6
PD 2 ? OD 2 ? 3 3b 2 ? a 2 , 3

在 Rt△POD 中, PO ?

1 3a 2 3 a2 2 2 ∴ 三棱锥 P-ABC 的体积为 ? ? 3b ? a ? 3b2 ? a 2 . 4 3 12 3
【评析】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形,如本题中的 Rt△POD,其中含有棱锥的高 PO;如 Rt△PBD,其中含有侧面三角形的高 PD,即正棱锥的 斜高;如果连接 OC,则在 Rt△POC 中含有侧棱.熟练运用这几个直角三角形,对解决正棱 锥的有关问题很有帮助. 2、正 n(n=3,4,6)边形中的相关数据: 正三角形 边长 对角线长 边心距 面积 外接圆半径 a 正方形 a 正六边形 a 长:2a;短: 3a

2a
3 a 6 3 2 a 4 3 a 3 a 2
a2

3 a 2 3 3 2 a 2
a

2 a 2

例 2 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是 AC 的中点. (1)求证:平面 BEC1⊥ 平面 ACC1A1; (2)求证:AB1∥ 平面 BEC1.

【分析】 本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图, 这种情况下对空间想象能力提出了 更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考.

证明:(1)∵ ABC-A1B1C1 是正三棱柱,∴ 1⊥ AA 平面 ABC, ∴ BE⊥ 1. AA ∵ ABC 是正三角形,E 是 AC 的中点,∴ △ BE⊥ AC, ∴ BE⊥ 平面 ACC1A1,又 BE ? 平面 BEC1, ∴ 平面 BEC1⊥ 平面 ACC1A1. (2)证明:连接 B1C,设 BC1∩B1C=D. ∵ BCC1B1 是矩形,D 是 B1C 的中点,

∴ DE∥ 1. AB 又 DE ? 平面 BEC1,AB1 ? 平面 BEC1, ∴ 1∥ AB 平面 BEC1. 例 3 在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,AB∥ DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5 .. (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥ 平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

【分析】本题中的数量关系较多,可考虑从“算”的角度入手分析,如从 M 是 PC 上 的动点分析可知,MB,MD 随点 M 的变动而运动,因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直 线 BD 是否垂直平面 PAD. 证明:(1)在△ABD 中, 由于 AD=4,BD=8,AB=4 5 , 所以 AD2+BD2=AB2. 故 AD⊥ BD. 又平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD ? 平面 ABCD, 所以 BD⊥ 平面 PAD, 又 BD ? 平面 MBD, 故平面 MBD⊥ 平面 PAD.

(2)解:过 P 作 PO⊥ 交 AD 于 O, AD 由于平面 PAD⊥ 平面 ABCD, 所以 PO⊥ 平面 ABCD. 因此 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高, 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形. 因此 PO ?

3 ?4 ? 2 3 . 2

在底面四边形 ABCD 中,AB∥ DC,AB=2DC,

所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 梯形 ABCD 的高, 所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

4?8 8 5 ,此即为 ? 5 4 5

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 5 2

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

例 4 如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的主 视图和左视图在下面画出(单位:cm). (1)画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ',证明:BC '∥ 平面 EFG.

【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高,主俯一样长,俯左一样宽” ,根据此原 则及相关数据可以画出三视图. 证明:(1)该几何体三视图如下图:

(主视图)

(左视图)

(俯视图)

(2)所求多面体体积 V=V 长方体-V 正三棱锥= 4 ? 4 ? 6 ?

1 1 284 ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? (cm 2 ) . 3 2 3

(3)证明:在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,连结 AD′,则 AD′∥ BC′. 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′中点,所以 AD′∥ EG, 从而 EG∥ BC′,又 BC′ ? 平面 EFG, 所以 BC′∥ 平面 EFG. 例 5 有两个相同的直三棱柱,底面三角形的三边长分别是 3a,4a,5a,高为

2 ,其 a

中 a>0.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的一个是四 棱柱,求 a 的取值范围.

解:直三棱柱 ABC-A1B1C1 的三个侧面的面积分别是 6,8,10,底面积是 6a2,因此每 个三棱柱的表面积均是 2?6a2+6+8+10=12a2+24. 情形① :将两个直三棱柱的底面重合拼在一起,只能拼成三棱柱,其表面积为: 2?(12a2+24)-2?6a2=12a2+48. 情形② :将两个直三棱柱的侧面 ABB1A1 重合拼在一起,结果可能拼成三棱柱,也可能 拼成四棱柱,但表面积一定是:2?(12a2+24)-2?8=24a2+32. 情形③ :将两个直三棱柱的侧面 ACC1A1 重合拼在一起,结果可能拼成三棱柱,也可能 拼成四棱柱,但表面积一定是:2?(12a2+24)-2?6=24a2+36. 情形④ :将两个直三棱柱的侧面 BCC1B1 重合拼在一起,只能拼成四棱柱,其表面积为: 2 2?(12a +24)-2?10=24a2+28. 在以上四种情形中, 、 的结果都比④ ② ③ 大, 所以表面积最小的情形只能在① ④ 、 中产生. 依题意“表面积最小的一个是四棱柱”,得 24a2+28<12a2+48,解得 a ?
2

5 , 3

所以 a 的取值范围是 ? 0,

? ? ?

15 ? ?. 3 ? ?

例 6 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点,求三 棱锥 F-A1ED1 的体积.

【分析】计算三棱锥 F-A1ED1 的体积时,需要确定锥体的高,即点 F 到平面 A1ED1 的 距离, 直接求解比较困难. 利用等积的方法, 调换顶点与底面的方式, VF ? A1ED1 ? VA1 ?EFD1 , 如 也不易计算,因此可以考虑使用等价转化的方法求解. 解法 1:取 AB 中点 G,连接 FG,EG,A1G. ∵ GF∥ AD∥ 1D1,∴ A GF∥ 平面 A1ED1, ∴ 到平面 A1ED1 的距离等于点 G 到平面 A1ED1 的距离. F ∴VF ? A1ED1 ? VG ? A1ED1 ? VD1 ? A1EG ?

1 1 3 1 S ?A1EG ? A1 D1 ? ? a 2 ? a ? a 3 . 3 3 8 8

解法 2:取 CC1 中点 H,连接 FA1,FD1,FH, FC1,D1H,并记 FC1∩D1H=K. ∵ 1D1∥ A EH,A1D1=EH, ∴ 1,D1,H,E 四点共面. A ∵ 1D1⊥ A 平面 C1CDD1, ∴ FC⊥ 1D1. A 又由平面几何知识可得 FC1⊥ 1H, D ∴ FC⊥ 平面 A1D1HE. ∴ 的长度是点 F 到平面 A1D1HE(A1ED1)的距离. FK 容易求得 FK ? ∴VF ? A1ED1 ?

3 5 a, 10

1 1 5 2 3 5a 1 3 S ?A1ED1 ? FK ? ? a ? ? a . 4 3 3 10 8

练习 7-2
一、选择题: 1.将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为 A.2π B.4π C.8π D.16π 2.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( )

(

)

A.9π B.10π C.11π D.12π 3.有一种圆柱体形状的笔筒,底面半径为 4cm,高为 12cm.现要为 100 个这种相同规格的 笔筒涂色(笔筒内外均要涂色,笔筒厚度忽略不计).如果所用涂料每 0.5kg 可以涂 1m2, 那么为这批笔筒涂色约需涂料 ( ) A.1.23 kg B.1.76 kg C.2.46 kg D.3.52 kg 4.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 得线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, a+b 的最 则 大值为 ( ) A. 2 2 B. 2 3 C.4 D. 2 5

二、填空题: 5.如右图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的每条棱长均为 2,E、F 分别是 BC、A1C1 的中点,则 EF 的长等于________.

6.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=1,则三棱锥 D-ABC 的体积 是________. 7.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,则这个球的体积为________. 8.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: (写出你认为正确的两个充要条 件) 充要条件① :__________________________________________; 充要条件② :__________________________________________. 三、解答题: 9.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点. (1)求证:BD1∥ 平面 ACE; (2)求证:平面 ACE⊥ 平面 B1BDD1.

10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高 为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

11.如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上, 且 AE=FC1=1. (1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上, BG ?

2 ,点 M 在 BB1 上,GM⊥ BF,求证:EM⊥ BCC1B1. 面 3

12.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的 直径,∠ ABD=60° BDC=45° ,∠ ,△ADP∽ BAD. △ (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.

习题 7
一、选择题 1.关于空间两条直线 a、b 和平面?,下列命题正确的是 ( ) A.若 a∥ b,b ? ?,则 a∥ ?? B.若 a∥ ,b ? ?,则 a∥ ? b C.若 a∥ ,b∥ ,则 a∥ ? ? b D.若 a⊥ ,b⊥ ,则 a∥ ? ? b 2.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,底面边长为 2,则该棱锥的体积为 A.8 B. ( )

8 3
( )

C.6 D.2 3.如图,在正三棱柱 A1B1C1-ABC 中,E 是 BC 中点,则下列结论正确的是

A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥ 平面 ABB1A1 C.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥ 1C1 B D.A1C1∥ 平面 AB1E 4.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,且直角 三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为 ( )

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.1

5.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 60° 的菱形, 则该棱柱的体积等于 ( ) A. 2 二、填空题 6.已知正方体的内切球的体积是 4 3 π,则这个正方体的体积是________. 7.已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为边长是 10 cm 的正方形,那么这个几何 体的体积是________. 8.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是________. 9. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、 的长度分别等于 2 7 、 CD B.2 2 C.3 2 D.4 2

4 3 ,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为________. 10.已知△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC=a,AD 是斜边 BC 上的高,以 AD 为折痕使 ∠ BDC 成直角.在折起后形成的三棱锥 A-BCD 中,有如下三个结论: ① 直线 AD⊥ 平面 BCD; ② 侧面 ABC 是等边三角形; ③ 三棱锥 A-BCD 的体积是

2 3 a . 24

其中正确结论的序号是________.(写出全部正确结论的序号) 三、解答题 11.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点. (1)求证:AD⊥ 1D; B (2)求证:A1C∥ 平面 A1BD.

12.如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ AB,PA⊥ AC,AB⊥ AC,PA=AC=2,AB=1,M 为 PC 的中点. (1)求证:平面 PCB⊥ 平面 MAB; (2)求三棱锥 P-ABC 的表面积.

13. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ABC=90° AB=BC=AA1=2, N 分别是 A1C1、 ∠ , M、 BC1 的中点. (1)求证:BC1⊥ 平面 A1B1C; (2)求证:MN∥ 平面 A1ABB1; (3)求三棱锥 M-BC1B1 的体积.

14.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,BB1=3 2 ,过点 B 作 B1C 的垂线,垂 足为 E 且交 CC1 于点 F. (1)求证:A1C⊥ BF; (2)判断直线 AC1 和平面 BDF 的位置关系,并加以证明.

专题八

解析几何

平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法.为此,我们要关注:将几何问 题代数化, 用代数语言描述几何要素及其关系, 将几何问题转化为代数问题, 处理代数问题, 分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题. 在此之中,要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法.要善于 应用初中平面几何、 高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、 圆和圆锥曲线的综合问题.

§ 8-1
【知识要点】 1.数轴上的基本公式

直角坐标系

设数轴的原点为 O, B 为数轴上任意两点, A, OB=x2,OA=x1, x2-x1 叫做向量 AB 称 的坐标或数量,即数量 AB=x2-x1;数轴上两点 A,B 的距离公式是 d(A,B)=|AB|=|x2-x1|. 2.平面直角坐标系中的基本公式 设 A,B 为直角坐标平面上任意两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点之间的距离 公式是

d ( A, B) ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 .
A,B 两点的中点 M(x,y)的坐标公式是

x?

x1 ? x2 y ?y ,y? 1 2 . 2 2

3.空间直角坐标系 在空间直角坐标系 O-xyz 中,若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),A,B 两点之间的距离 公式是

d ( A, B) ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 .
【复习要求】 1.掌握两点间的距离公式,中点坐标公式;会建立平面直角坐标系,用坐标法(也称为 解析法)解决简单的几何问题; 2.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,并掌握两点间的距离公 式. 【例题分析】 例 1 解下列方程或不等式: (1)|x-3|=1; (2)|x-3|≤4; (3)1<|x-3|≤4. 略解:(1)设直线坐标系上点 A,B 的坐标分别为 x,3, 则|x-3|=1 表示点 A 到点 B 的距离等于 1,如图所示,

所以,原方程的解为 x=4 或 x=2. (2)与(1)类似,如图所示,

则|x-3|≤4 表示直线坐标系上点 A 到点 B 的距离小于或等于 4, 所以,原不等式的解集为{x|-1≤x≤7}. (3)与(2)类似,解不等式 1<|x-3|,得解集{x|x>4,或 x<2}, 将此与不等式|x-3|≤4 的解集{x|-1≤x≤7}取交集, 得不等式 1<|x-3|≤4 的解集为{x|-1≤x<2,或 4<x≤7}. 【评析】解绝对值方程或不等式时,如果未知数 x 的次数和系数都为 1,那么可以利用 绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式. |x-a|的几何意义: 表示数轴(直线坐标系)上点 A(x)到点 B(a)的距离. 例 2 已知矩形 ABCD 及同一平面上一点 P,求证:PA2+PC2=PB2+PD2. 解:如图,以点 A 为原点,以 AB 为 x 轴,向右为正方向,以 AD 为 y 轴,向上为正方 向,建立平面直角坐标系.

设 AB=a,AD=b,则 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),设 P(x,y),
2 2 2 2 2 2 2 2 则 PA ? PC ? ( x ? y ) ? ( ( x ? a ) ? ( y ? b) )

? x2 ? y 2 ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ,
PB 2 ? PD 2 ? ( ( x ? a) 2 ? y 2 ) 2 ? ( x 2 ? ( y ? b) 2 ) 2

? x2 ? y 2 ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ,
所以 PA2+PC2=PB2+PD2. 【评析】 坐标法是解析几何的一个基本方法, 非常重要. 坐标法中要注意坐标系的建立, 理论上,可以任意建立坐标系,但是坐标系的位臵会影响问题解决的复杂程度,适当的坐标 系可以使解题过程较为简便. 例 3 已知空间直角坐标系中有两点 A(1,2,-1),B(2,0,2). (1)求 A,B 两点的距离; (2)在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|; (3)设 M(x,y,0)为 xOy 平面内的一点,若|MA|=|MB|,求 x,y 满足的方程. 解:(1)由两点间的距离公式,得 | AB |?

(1 ? 2) 2 ? (2 ? 0) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 14 .

(2)设 P(a,0,0)为 x 轴上任一点,由题意得

(a ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (a ? 2) 2 ? 0 ? 4
即 a2-2a+6=a2-4a+8,解得 a=1,所以 P(1,0,0).
2 2 2 (3)由题意,得 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? (0 ? 1) ?

( x ? 2) 2 ? ( y ? 0) 2 ? 4 ,

整理可得 x-2y-1=0. 所以,x,y 满足的方程为 x-2y-1=0. 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系,体现了方程思想的应用.

练习 8-1
一、选择题 1.数轴上三点 A,B,C 的坐标分别为 3,-1,-5,则 AC+CB 等于 A.-4 B.4 C.-12 D.12 2.若数轴上有两点 A(x),B(x2)(其中 x∈ R),则向量 AB 的数量的最小值为 A. ( )

(

)

1 2

B.0

C.

1 4

D. ?

1 4

3.在空间直角坐标系中,点(1,-2,3)关于 yOz 平面的对称点是 ( ) A.(1,-2,-3) B.(1,2,3) C.(-1,-2,3) D.(-1,2,3) 4.已知平面直角坐标内有三点 A(-2,5),B(1,-4),P(x,y),且|AP|=|BP|,则实数 x,y 满足的方程为 ( ) A.x+3y-2=0 B.x-3y+2=0 C.x+3y+2=0 D.x-3y-2=0 二、填空题 5.方程|x+2|=3 的解是________;不等式|x+3|≥2 的解为________. 6.点 A(2,3)关于点 B(-4,1)的对称点为________. 7.方程|x+2|—|x-3|=4 的解为________. 8.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,|DA|=3,|DC|=4,|DD1|=2,A1C 的中点为 M, 则点 B1 的坐标是________,点 M 的坐标是________.

三、解答题 9.设 A(x)为数轴上一点,它到点 B(2)的距离大于 3,到点 C(-2)的距离小于 3,求 x 的取值 范围.

10.求证:平行四边形 ABCD 满足 AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2.

11.求证:以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

§ 8-2

直线的方程

【知识要点】 1.直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且这条直线上点的坐标都是这个方程 的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. ..... ..... 2.直线的倾斜角和斜率 x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.并规定,与 x 轴平行或重 ... 合的直线的倾斜角为零度角.因此,倾斜角??的取值范围是 0° ≤α<180° . 我们把直线 y=kx+b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率.设 A(x1,y1),B(x2,y2)为直线 y ..
2 =kx+b 上任意两点,其中 x1≠x2,则斜率 k= x ?x 1 . 2 1

y ?y

倾斜角为 90° 的直线的斜率不存在,倾斜角为??的直线的斜率 k=tan??(?≠90° ). 3.直线方程的几种形式 点斜式:y-y1=k(x-x1); 斜截式:y=kx+b; 两点式: y ? y1 ? x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; ? ? 2 1 2 1 一般式:Ax+By+C=0(A2+B2≠0). 4.两条直线相交、平行与重合的条件 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 (1)l1 与 l2 相交 ? A1B2-A2B1≠0 或

y? y

x?x

A1 B1 ? ( A B ? 0) A2 ? B2 2 2 ?

? ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, 而B1C2 ? C1B2 ? 0或 ? (2)l1 与 l2 平行 ? ? A2C1 ? A1C2 ? 0; ? A1 B1 C1 ? 或 A ? B ? C ( A2 B2C2 ? 0). 2 2 2 ?
? A1 ? ?A2 , B1 ? ?B2 , C1 ? ?C2 (? ? 0); ? ? (3)l1 与 l2 重合 ? ? A B C 或 1 ? 1 ? 1 ( A2 B2C2 ? 0). ? ? A2 B2 C2 ?
当直线 l1 与 l2 的斜率存在时,设斜率分别为 k1,k2,截距分别为 b1,b2,则 l1 与 l2 相交 ? k1≠k2; l1∥ 2 ? k1=k2,b1≠b2; l l1 与 l2 重合 ? k1=k2,b1=b2. 5.两条直线垂直的条件 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1⊥ 2 ? A1A2+B1B2=0. l 当直线 l1 与 l2 的斜率存在时,设斜率分别为 k1,k2,则 l1⊥ 2 ? k1k2=-1. l 6.点到直线的距离

点 P(x1,y1)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d 的计算公式 d ?

| Ax1 ? By1 ? C | A2 ? B 2

.

【复习要求】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.根据确定直 线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式:点斜式、两点式及一般式,体会斜截 式与一次函数的关系. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断 两条直线的位置关系,能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 【例题分析】 例 1 (1)直线 x+ 2 y-8=0 的斜率是________,倾斜角为________; (2)设 A(2,3),B(-3,2),C(-1,-1),过点 C 且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交, 则斜率 k 的取值范围为________.

2 8 2 x? , 2 2 2 2 所以此直线的斜率为 ? ,倾斜角 ? ? π ? arc tan ; 2 2
略解:(1)直线 x+ 2 y-8=0 可以化简为 y ? ?

(2)如图所示,设直线 AC 的倾斜角为?,

4 3 ?1 4 ? ,所以 tan ? ? ; 2 ?1 3 3 2 ?1 3 ?? , 设直线 BC 的倾斜角为 β,因为此直线的斜率为 k BC ? ? 3 ?1 2 3 所以 tan ? ? ? . 2
因为此直线的斜率为 k AC ? 因为直线 l 与线段 AB 相交,所以直线 l 的倾斜角 θ 满足?≤θ≤β, 由正切函数图象,得 tanθ≥tan?或 tanθ≤tanβ, 故 l 斜率 k 的取值范围为 k ? [ ,?? ) ? (?? ,? ] . 【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种: ① 已知直线的倾斜角??,当??≠90° 时,k=tan?;
2 ② 已知直线上两点的坐标(x1,y1),(x2,y2),当 x1≠x2 时, k ? x ? x 1 ; 2 1

4 3

3 2

y ?y

③ 已知直线的方程 Ax+By+C=0,当 B≠0 时, k ? ?

A . B

(2)已知直线的斜率 k 求倾斜角??时,要注意当 k>0 时,??=arctank;当 k<0 时,??=π -arctan|k|.

例 2 根据下列条件求直线方程: (1) 过点 A(2,3),且在两坐标轴上截距相等; (2) 过点 P(-2,1),且点 Q(-1,-2)到直线的距离为 1. 解:(1)设所求直线方程为 y-3=k(x-2),或 x=2(舍),

3 (k ? 0) ;令 x=0,得 y=3-2k, ? k 3 3 由题意,得 2 ? ? 3 ? 2k ,解得 k ? 或 k=-1, 2 k
令 y=0,得 x ? 2 ? 所以,所求直线方程为 3x-2y=0 或 x+y-5=0; (2)设所求直线方程为 y-1=k(x+2)或 x=-2, 当直线为 y-1=k(x+2),即 kx-y+(2k+1)=0 时, 由点 Q(-1,-2)到直线的距离为 1,得 所以,直线 ?

| ? k ? 2 ? 2k ? 1 | k ?1
2

4 ? 1 ,解得 k ? ? , 3

4 5 x ? y ? ? 0 ,即 4x+3y+5=0 符合题意; 3 3

当直线为 x=-2 时,检验知其符合题意. 所以,所求直线方程为 4x+3y+5=0 或 x=-2. 【评析】求直线方程,应从条件出发,合理选择直线方程的形式,并注意每种形式的适 应条件.特别地,在解题过程中要注意“无斜率”“零截距”的情况. , 例 3 已知直线 l1:(m-2)x+(m+2)y+1=0,l2:(m2-4)x-my-3=0. (1)若 l1∥ 2,求实数 m 的值; l (2)若 l1⊥ 2,求实数 m 的值. l 解法一:(1)因为 l1∥ 2,所以(m-2)(-m)=(m+2)(m2-4), l 解得 m=2 或 m=-1 或 m=-4, 验证知两直线不重合, 所以 m=2 或 m=-1 或 m=-4 时,l1∥ 2. l 2 (2)因为 l1⊥ 2,所以(m-2)(m -4)+(-m)(m+2)=0, l 解得 m=-2 或 m=1 或 m=4. 解法二:当 l1 斜率不存在,即 m=-2 时,代入直线方程,知 l1⊥ 2; l 当 l2 斜率不存在,即 m=0 时,代入直线方程,知 l1 与 l2 既不平行又不垂直; 当 l1,l2 斜率存在,即 m≠0,m≠-2 时, 可求 l1,l2 的斜率分别为 k1 ? ?

1 3 m?2 m2 ? 4 , b2 ? ? , , k2 ? ,截距 b1 ? ? m?2 m m?2 m

若 l1∥ 2,由 k1=k2,b1≠b2,解得 m=2 或 m=-1 或 m=-4, l 若 l1⊥ 2,由 k1k2=-1,解得 m=1 或 m=4 l 综上,(1)当 m=2 或 m=-1 或 m=-4 时,l1∥ 2; l (2)当 m=-2 或 m=1 或 m=4 时,l1⊥ 2. l 【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个,但各有利弊.简洁的(如解法一)相互 之间易混淆,好记的要注意使用条件(如解法二,易丢“无斜率”的情况),解题过程中要注 意正确使用. 例 4 已知直线 l 过两直线 l1:3x-y-1=0 与 l2:x+y-3=0 的交点,且点 A(3,3)和 B(5,2)到 l 的距离相等,求直线 l 的方程.

【分析】所求直线 l 有两种情况:一是 l 与 AB 平行;二是点 A,B 在 l 的两侧,此时 l 过线段 AB 的中点. 解:解方程组 ?

?3x ? y ? 1 ? 0 得交点(1,2), ?x ? y ? 3 ? 0

由题意,当① 与 AB 平行;或② 过 A,B 的中点时,可以使得点 A,B 到 l 的距离相等. l l

3? 2 1 1 ? ? ,此时 l: y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 x+2y-5=0; 2 3?5 2 5 y ? 2 x ?1 ② l 过 AB 的中点时,因为 AB 的中点坐标为 M (4, ) ,所以 l: 当 , ? 5 2 ? 2 4 ?1 2
① l∥ 时,因为 k AB ? 当 AB 即 l:x-6y+11=0. 综上,所求的直线 l 的方程为 x+2y-5=0 或 l:x-6y+11=0. 例 5 已知直线 l1:y=kx+2k 与 l2:x+y=5 的交点在第一象限,求实数 k 的取值范围. 解法一:解方程组 ?

? y ? kx ? 2k 5 ? 2k 5 ? 2k ,5 ? ), ,得交点 ( k ?1 k ?1 ?x ? y ? 5

? 5 ? 2k ? k ?1 ? 0 5 ? 由题意,得 ? ,解得 0 ? k ? . ? 2 ?5 ? 5 ? 2k ? 0 ? k ?1 ?

解法二:如图所示,由 l1:y=k(x+2),知 l1 过定点 P(-2,0), 由 l2:x+y=5,知 l2 坐标轴相交于点 A(0,5),B(5,0),

5?0 5 ? ,kBP=0, 0?2 2 5 由题意,得 0 ? k ? . 2
因为 k AP ? 【评析】在例 4,例 5 中,要充分利用平面几何知识解决问题,体会数形结合的思想与 方法;要会联立两个曲线(直线)的方程,解方程得到曲线的交点,体会方程思想.

练习 8-2
一、选择题 1.若直线 l 的倾斜角的正弦为

3 ,则 l 的斜率 k 是 5

(

)

A. ?

3 4

B.

3 4

C. ?

3 3 或 4 4

D.

4 4 或? 3 3
)

2.点 P(a+b,ab)在第二象限内,则 bx+ay-ab=0 直线不经过的象限是 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. m ? “

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 2
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

( ) A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

4.若直线 l:y=kx- 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则 l 的倾角的取值范 围( )

A. ? ,

?π π ? ? ?6 3 ?

B. ?

?π π? , ? ?3 2?

C. ?

?π π? , ? ?6 2?

D. ? , ? 6 2

?π π? ? ?

二、填空题 5.已知两条直线 l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若 l1∥ 2,则 a=________. l 6.已知点 A(3,0),B(0,4),则过点 B 且与 A 的距离为 3 的直线方程为________. 7.若点 P(3,4),Q(a,b)关于直线 x-y-1=0 对称,则 a+2b=________. 8.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b),(ab≠0)共线,则

1 1 ? 的值等于________. a b

三、解答题 9.已知点 P 在直线 2x+3y-2=0 上,点 A(1,3),B(-1,-5). (1)求|PA|的最小值; (2)若|PA|=|PB|,求点 P 坐标.

10.若直线 l 夹在两条直线 l1:x-3y+10=0 与 l2:2x+y-8=0 之间的线段恰好被点 P(0, 1)平分,求直线 l 的方程.

11. 已知点 P 到两个定点 M(-1, N(1, 0)、 0)距离的比为 2 , N 到直线 PM 的距离为 1. 点 求 直线 PN 的方程.

§ 8-3

简单的线性规划问题

【知识要点】 1.二元一次不等式(组)所表示的平面区域 (1)一般的,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面区域中,表示直线 Ax+By+C=0 某 一侧的所有点组成的平面区域(开半平面),且不含边界线.不等式 Ax+By+C≥0 所表示的 平面区域包括边界线(闭半平面). (2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是指各个不等式组所表示的平面 区域的公共部分. (3)可在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正(或负)来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. C≠0 时, 当 常把原点 (0, 0)作为特殊点. (4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧: ① y>kx+b 表示直线上方的半平面区域;y<kx+b 表示直线下方的半平面区域. ② B>0 时,Ax+By+C>0 表示直线上方区域,Ax+By+C<0 表示直线下方区域. 当 2.简单线性规划 (1)基本概念: 目标函数:关于 x,y 的要求最大值或最小值的函数,如 z=x+y,z=x2+y2 等. 约束条件:目标函数中的变量所满足的不等式组. 线性目标函数:目标函数是关于变量的一次函数. 线性约束条件:约束条件是关于变量的一次不等式(或等式). 线性规划问题:在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题. 最优解:使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称为问题的最优解. 可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 可行域:由所有可行解组成的集合叫可行域. (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤: ① 分析并将已知数据列出表格; ② 确定线性约束条件; ③ 确定线性目标函数; ④ 画出可行域; ⑤ 利用线性目标函数,求出最优解; ⑥ 实际问题需要整数解时,应适当调整确定最优解. 【复习要求】 1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; 2.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 【例题分析】 例 1 (1)若点(3,1)在直线 3x-2y+a=0 的上方,则实数 a 的取值范围是________; (2)若点(3, 1)和(-4, 6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧, 则实数 a 的取值范围是________.

3 a x? , 2 2 3 a 由题意,得 1 ? ? 3 ? ,解得 a<-7. 2 2
解:(1)将直线化为 y ? (2)由题意,将两点代入直线方程的左侧所得符号相反, 则(3?3-2+a)[3?(-4)-12+a]<0,即(a+7)(a-24)<0, 所以,实数 a 的取值范围是(-7,24).

例 2 (1)如图,写出能表示图中阴影部分的不等式组; (2)如果函数 y=ax2+bx+a 的图象与 x 轴有两个交点,试在 aOb 坐标平面内画出点(a, b)表示的平面区域.

?x ? 0 ? 略解:(1) ? y ? ?1 . ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
(2)由题意,得 b2-4a2>0,即(2a+b)(2a-b)<0, 所以 ?

?2a ? b ? 0 ?2a ? b ? 0 或? , ?2a ? b ? 0 ?2a ? b ? 0

点(a,b)表示的平面区域如图所示.

【评析】 除了掌握二元一次不等式表示平面区域外, 还应关注给定平面区域如何用不等 式表示这个逆问题.

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 例 3 已知 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 求: ?3 x ? y ? 3 ? 0. ?
(1)z1=x+y 的最大值; (2)z2=x-y 的最大值; (3)z3=x2+y2 的最小值; (4) z 4 ?

y ( x ? 1) 的取值范围. ? x ?1

略解:如图,作出已知不等式组表示的平面区域. 易求得 M(2,3),A(1,0),B(0,2).

(1)作直线 x+y=0,通过平移,知在 M 点,z1 有最大值 5; (2)作直线 x-y=0,通过平移,知在 A 点,z2 有最大值 1; (3)作圆 x2+y2=r2,显然当圆与直线 2x+y-2=0 相切时,r2 有最小值 (

2 2 ) ,即 z3 有 5

最小值

4 ; 5 y (4) 可看作(1,0)与(x,y)两点连线的斜率, x ?1

所以 z4 的取值范围是(-∞,-2]∪ [3,+∞). 【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题,要充分挖掘其目标函数 z 的几何意义.z 的几何意义常见的有:直线的截距、斜率、圆的半径等. 例 4 某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须

?5 x ? 11y ? ?22, ? 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 z=10x+10y 的最大值是 ?2 x ? 11. ?
A.80 C.90 B.85 D.95

(

)

略解:由题意,根据已知不等式组及 ? 如图所示.

?x ? 0 可得到点(x,y)的可行域. ?y ? 0
11 9 , ). 2 2

作直线 x+y=0,通过平移,知在 M 点,z=10x+10y 有最大值,易得 M (

又由题意,知 x,y∈ N,作适当调整,知可行域内点(5,4)可使 z 取最大值, 所以,zmax=10?5+10?4=90,选 C. 【评析】实际问题中,要关注是否需要整数解. 例 5 某工厂用两种不同原料生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本 1000 元,运 费 500 元,可得产品 90 千克;若采用乙种原料,每吨成本 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克.今预算每日原料总成本不得超过 6000 元,运费不得超过 2000 元,问此工厂每日 采用甲、乙两种原料各多少千克,才能使产品的日产量最大?

解:设此工厂每日需甲种原料 x 吨,乙种原料 y 吨,则可得产品 z=90x+100y(千克).

, ?1000x ? 1500y ? 6000 ?2 x ? 3 y ? 12, ? ? , 由题意,得 ?500x ? 400y ? 2000 ? ?5 x ? 4 y ? 20, ? x ? 0, y ? 0. ? x ? 0, y ? 0. ? ?
上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线 l:90x+100y=0,并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交,其中有一条直 线经过可行域上的 M 点,且与直线 l 的距离最大,此时目标函数达到最大值.这里 M 点是 直线 2x+3y=12 和 5x+4y=20 的交点,容易解得 M ( 此时 z 取到最大值 90 ?

12 20 , ), 7 7

12 20 ? 100 ? ? 440 . 7 7 12 20 答:当每天提供甲原料 吨,乙原料 吨时,每日最多可生产 440 千克产品. 7 7
例 6 设函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4. (1)在平面直角坐标系 aOb 中,画出点(a,b)所表示的区域; (2)试利用(1)所得的区域,求 f(-2)的取值范围.

解:(1)∵f(-1)=a-b,f(1)=a+b,

∴?

?1 ? a ? b ? 2, ?2 ? a ? b ? 4.

?a ? b ? 1, ?a ? b ? 2, ? 即? ?a ? b ? 2, ? a ? b ? 4. ?

如图,在平面直角坐标系 aOb 中,作出满足上述不等式组的区域,阴影部分(含边界) 即为可行域. (2)目标函数 f(-2)=4a-2 B.在平面直角坐标系 aOb 中,作直线 l:4a -2b=0,并作平行于直线 l 的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 B 点,且与直线 l 的距离最大,此时目标函数达到最大值.

这里 B 点是直线 a-b=2 和 a+b=4 的交点,容易解得 B(3,1),此时 f(-2)取到最大 值 4?3-2?1=10. 同理,其中有一条直线经过可行域上的 C 点,此时目标函数达到最小值.这里 C 点是直 线 a-b=1 和 a+b=2 的交点,容易解得 C ( , ) . 此时 f(-2)取到最小值 4 ?

3 1 2 2

3 1 ? 2? ? 5 . 2 2

所以 5≤f(-2)≤10. 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见 方法之一.

练习 8-3
一、选择题 1.原点(0,0)和点(1,1)在直线 x+y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 ( A.a<0 或 a>2 B.a=0 或 a=2 C.0<a<2 D.0≤a≤2 2.若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则 z=x-y 的最大值是 ( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 )

? x ? y ? 10, ? 3.已知 x 和 y 是正整数,且满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 z=2x+3y 的最小值是 ? 2 x ? 7. ?
A.24 B.14 C.13 D.11.5

(

)

?x ? y ? 5 ? 0 ? 4.若当实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 时,z=x+3y 的最小值为-6,则实数 a 等于 ( ?x ? a ?
A.3 二、填空题 B.-3 C.

)

21 4

D. ?

21 4

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是________. ?x ? 2 ?

?x ? 2 y ? 5 ?2 x ? y ? 4 ? 6.在约束条件 ? 下,z=3x+4y 的最大值为________. ?x ? 0 ?y ? 0 ?
?x ? y ? 1 ? 0 y ? 7.若实数 x、y 满足 ? x ? 0 ,则 的取值范围是________. x ?x ? 2 ?
8.点 P(x,y)在直线 4x+3y=0 上,且满足-14≤x-y≤7,则点 P 到坐标原点距离的取值 范围是________.

三、解答题

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 9.如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 内,点 Q(2,2),求|PQ|的最小值. ?x ? y ? 1 ? 0 ?

10.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人 打算投资甲、 乙两个项目, 根据预测, 乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%, 甲、 (盈利率=

盈利额 亏损额 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%(亏损率= ?100% ), 投资额 投资额

?100%),投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元,才能使可能的盈利最大?

11.设 a,b∈R,且 b(a+b+1)<0,b(a+b-1)<0. (1)在平面直角坐标系 aOb 中,画出点(a,b)所表示的区域; (2)试利用(1)所得的区域,指出 a 的取值范围.

§ 8-4

圆的方程

【知识要点】 1.圆的方程 (1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中点(a,b)为圆心,r 为半径. (2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为 ( ? 为

D E ,? ) ,半径 2 2

1 D2 ? E 2 ? 4F 2
2.点和圆的位置关系 设圆的半径为 r,点到圆的圆心距离为 d,则 d>r ? 点在圆外; d=r ? 点在圆上; d<r ? 点在圆内. 3.直线与圆的位置关系 (1)代数法:联立直线与圆的方程,解方程组,消去字母 y,得关于 x 的一元二次方程,

则 Δ>0 ? 方程组有两解 ? 直线和圆相交; Δ=0 ? 方程组有一解 ? 直线和圆相切; Δ<0 ? 方程组无解 ? 直线和圆相离. (2)几何法(重点):计算圆心到直线的距离 d,设圆的半径为 r,则 d=r ? 直线和圆相切; d>r ? 直线和圆相离.

4.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R,r(R≥r),两圆的圆心距为 d(d>0),则 d>R+r ? 两圆相离; d=R+r ? 两圆外切; R-r<d<R+r ? 两圆相交; d=R-r ? 两圆内切; d<R-r ? 两圆内含. 【复习要求】 1.掌握圆的标准方程与一般方程,能根据条件,求出圆的方程. 2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系,解决一些简单问 题. 【例题分析】 例 1 根据下列条件,求圆的方程: (1)一条直径的端点是 A(3,2),B(-4,1); (2)经过两点 A(1,-1)和 B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上; (3)经过两点 A(4,2)和 B(-1,3),且在两坐标轴上的四个截距之和为 2. 【分析】求圆的方程,可以用待定系数法.若已知条件与圆心、半径有关,则设圆的标 准方程,如第(2)问.若已知条件与圆心、半径关系不大,则设圆的一般方程,如第(3)问. 解:(1)由题意圆心为 AB 的中点 M ( 因为 | AB |?

3 ? 4 2 ?1 1 3 , ) ,即 M (? , ) , 2 2 2 2

(3 ? 4) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 50 ,

所以圆的半径 r ?

1 50 . | AB |? 2 2
1 2
2

所以,所求圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2

3 2

25 . 2

(2)方法一:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则
? ? ? ? ? ? ? ? ?

?a ? 1 ? (1 ? a) ? (?1 ? b) ? r ,解得 ?b ? 1 , ?r ? 2 (?1? a) 2 ? (1?b) 2 ? r 2 ?
2 2 2

a?b?2 ? 0

所以,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二: 由圆的几何性质可知,圆心一定在弦 AB 的垂直平分线上.易得 AB 的垂直平分 线为 y=x. 由题意,解方程组 ?

?y ? x ,得圆心 C 为(1,1), ?x ? y ? 2 ? 0

于是,半径 r=|AC|=2, 所以,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (3)设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为圆过点 A,B,所以 4D+2E+F+20=0, -D+3E+F+10=0,

① ②

在圆的方程中,令 y=0,得 x2+Dx+F=0, 设圆在 x 轴上的截距为 x1,x2,则 x1+x2=-D. 在圆的方程中,令 x=0,得 y2+Ey+F=0, 设圆在 y 轴上的截距为 y1,y2,则 y1+y2=-E. 由题意,得-D+(-E)=2, ③ 解①②③,得 D=-2,E=0,F=-12, 所以,所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 【评析】① A(x1,y1),B(x2,y2)为一直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y 以 -y2)=0.② 求圆的方程时,要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问);③ 待定系数法求圆的 方程时,要恰当选择圆的方程(如第(3)问),这样有时能大大减少运算量. 例 2 (1)点 P(a,b)在圆 C:x2+y2=r2(r>0)上,求过点 P 的圆的切线方程; (2)若点 P(a,b)在圆 C:x2+y2=r2(r>0)内,判断直线 ax+by=r2 与圆 C 的位置关系. 解:(1)方法一:因为切线 l 与半径 OP 垂直,又可求出直线 OP 的斜率,所以可得切线 l 的斜率,再由点斜式得到切线方程.但要注意斜率是否存在(详细过程略). 方法二:设 Q(x,y)为所求切线上任一点,则 PQ ?OP ? 0 ,即(x-a,y-b)?(a,b)=0. 整理得 ax+by=a2+b2, 又因为 P 在圆上,所以 a2+b2=r2, 故所求的切线方程为 ax+by=r2. (2)由已知,得 a2+b2<r2, 则圆心 O(0,0)到直线 ax+by=r2 的距离 d ?

| r2 | a 2 ? b2

?

r2 r2

?r.

所以此直线与圆 C 相离. 【评析】随着点 P(a,b)与圆 C:x2+y2=r2 的位臵关系的变化,直线 l:ax+by=r2 与 圆 C 的位臵关系也在变化.① 当点 P 在圆 C 上时, 直线 l 与圆 C 相切; 当点 P 在圆 C 内时, ② 直线 l 与圆 C 相离;③ 当点 P 在圆外时,直线 l 与圆 C 相交. 例 3 已知点 A(a,3),圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)设 a=3,求过点 A 且与圆 C 相切的直线方程; (2)设 a=4,直线 l 过点 A 且被圆 C 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (3)设 a=2,直线 l1 过点 A,求 l1 被圆 C 截得的线段的最短长度,并求此时 l1 的方程.

解:(1)如图所示,此时 A(3,3), 设切线为 y-3=k(x-3)或 x=3, 验证知 x=3 符合题意; 当切线为 y-3=k(x-3),即 kx-y-3k+3=0 时,

圆心(1,2)到切线的距离 d ? 解得 k ? ?

| k ? 2 ? 3k ? 3 | k2 ?1

? 2,

3 , 4

所以,切线方程为 3x+4y-21=0 或 x=3.

(2)如图所示,此时 A(4,3), 设直线 l 为 y-3=k(x-4)或 x=4(舍), 设弦 PQ 的中点为 M,则|PM|= 3 ,|CP|=r=2, 所以 | CM |? 于是 d ?

| CP |2 ? | PM |2 ? 1 ,即圆心到直线 l 的距离为 1,

| k ? 2 ? 4k ? 3 | k ?1
2

3 ? 1 ,解得 k=0 或 , 4

所以,直线 l 的方程为 y=

3 x 或 y=3. 4

(3)如图所示,此时 A(2,3),设所截得的线段为 DE,圆心到直线 l1 的距离为 d, 则 ( | DE |) ? d ? r ,即 | DE |? 2 4 ? d 2 ,
2 2 2

1 2

因为直线 l1 过点 A, 所以圆心到直线 l1 的距离为 d≤|CA|= 2 , 故当 d= 2 时,|DE|min=2 2 , 此时 AC⊥l1,因为 k AC ? 所以 kl1 =-1,

3? 2 ? 1, 2 ?1

故直线 l1 方程为 y-3=-(x-2),即 x+y-5=0. 【评析】(1)用点斜式设直线方程时,要注意斜率是否存在; (2)涉及直线与圆的位臵关系问题时,用与圆有关的几何意义解题较为方便,常见的有: ① 比较圆心到直线的距离与半径的大小;② 如图 8-4-2,在由弦心距、半径及弦组成的 2 2 2 Rt△CMP 中,有|CM| +|MP| =|CP| ,CM⊥ MP 等;③ 如图 8-4-1,由切线段、半径组成 的 Rt△ABC. 例 4 两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0. (1)这两个圆的公共切线有几条? (2)求两圆公共弦所在的直线方程. 【分析】当两圆相离时,两圆有 4 条公共切线;当两圆外切时,两圆有 3 条公共切线; 当两圆相交时, 两圆有 2 条公共切线; 当两圆内切时, 两圆有 1 条公共切线; 当两圆内含时, 两圆没有公共切线.所以第(1)问只要判断两圆位臵关系即可. 解:(1)圆 C1 的圆心 O1(-1,-1),半径 r1=2. 圆 C2 的圆心 O2(2,1),半径 r2=2. 所以,圆心距 | O1O2 |?

(2 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 13 ,

又 r1+r2=4,r1-r2=0,0< 13 <4, 所以两圆相交,故两个圆的公共切线有 2 条; (2)方法一:由(1)知 r1=r2,且两圆相交, 所以两圆公共弦所在的直线为 O1O2 的垂直平分线, 因为 O1O2 的中点为 ( ,0) , kO1O2 ?

1 2

1?1 2 ? , 2 ?1 3 3 . 2

设两圆相交于点 A,B,则 kO1O2 ?kAB=-1,所以 k AB ? ?

所以,两圆公共弦所在的直线方程为 y ? 0 ? ? ( x ? ) ,即 6x+4y-3=0. 方法二:设两圆相交于点 A,B, 则 A,B 两点满足方程组 ?

3 2

1 2

?x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ?x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 ?

① ②

由①-②,得 6x+4y-3=0, 则 A,B 两点满足方程 6x+4y-3=0, 所以,两圆公共弦所在的直线方程为 6x+4y-3=0. 【评析】设圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.如果两圆 相交,那么将两圆的方程相减所得的直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 即为两圆公共 弦所在的直线方程. 例 5 已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:mx+y+m=0.求证:不论 m 取何值, 直线 l 与圆 C 恒交于两点. 【分析】要证明直线 l 与圆 C 恒交于两点,可以用圆心到直线的距离小于半径,也可以 联立直线和圆的方程,消去 y 后用判别式大于零去证明,但此题这两种方法计算量都很大. 如果能说明直线 l 恒过圆内一定点,那么直线 l 与圆 C 显然有两个交点. 解:因为直线 l:mx+y+m=0 可化为 y=-m(x+1), 所以直线 l 恒过点 A(-1,0),

又圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25 的圆心为(1,2),半径为 5,
2 2 且点 A 到圆 C 的圆心的距离等于 (?1 ? 1) ? (?2) ? 2 2 ? 5 ,

所以点 A 为圆 C 内一点,则直线 l 恒过圆内一点 A, 所以直线 l 与圆 C 恒交于两点.

练习 8-4
一、选择题 1.以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0 相切的圆的方程为 ( 2 2 2 2 A.(x-2) +(y+1) =3 B.(x+2) +(y-1) =3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9 2.圆 x2+y2-4x+4y+6=0 截直线 x-y-5=0 所得的弦长等于 ( A. 6 B. )

)

5 2 2

C.1

D.5

3.若直线

x y ? ? 1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则 a b
B.a2+b2≥1 C.

(

)

A.a2+b2≤1

1 1 1 1 ? 2 ? 1 D. 2 ? 2 ? 1 2 a b a b

4.圆(x+2)2+y2=5 关于点(1,2)对称的圆的方程为 ( ) A.(x+4)2+(y-2)2=5 B.(x-4)2+(y-4)2=5 C.(x+4)2+(y+4)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=5 二、填空题 5.由点 P(-1,4)向圆 x2+y2-4x-6y+12=0 所引的切线长是________. 6. 若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y ? _____. 7.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有________个. 8.已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程是___ _____. 三、解答题 9.已知直线 l:x-y+2=0 与圆 C:(x-a)2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点. (1)当 a=-2 时,求弦 AB 的垂直平分线方程; (2)当 l 被圆 C 截得弦长为 2 3 时,求 a 的值.

3 x (x≥0)相切, 则这个圆的方程为___ 3

10.已知圆 C:x2+y2-4x=0,动圆 M 与 y 轴相切,又与圆 C 外切. (1)若动圆 M 过点 A(4,4),求圆 M 的方程; (2)设动圆 M 的圆心坐标为(x,y),求 x,y 满足的方程.

11.已知圆满足以下三个条件: (1)截 y 轴所得的弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1; (3)圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为 求该圆的方程.

5 . 5

§ 8-5





【知识要点】 1.椭圆定义:平面内与两定点 F1,F2 的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆.这两个定点 F1,F2 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示): 标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

图形

焦点 焦距 范围 性 质 对称 顶点 轴 离心率

F1(-c,0),F2(c,0)
2 2

F1(0,-c),F2(0,c) |x|≤b,|y|≤a (0,±a),(±b,0)

|F1F2|=2c,(其中 c =a -b2,c>0) |x|≤a,|y|≤b (±a,0),(0,±b) 关于 x 轴、y 轴和原点对称 长轴长 2a,短轴长 2b

e?

c (0<e<1) a

3.对于椭圆的两种标准方程应注意如下几点: (1)在两种标准方程中,总有 a>b>0; (2)椭圆的焦点总在长轴上; (3)在方程 Ax2+By2=C 中,只要 A、B、C 同号,且 A≠B 就是椭圆方程; (4)在求椭圆的标准方程时,如果明确了焦点所在的坐标轴,方程只有一种形式;如果 不明确焦点所在的坐标轴,方程有两种形式. 【复习要求】 掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆性质的初步应用. 【例题分析】 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点(3,-2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点; (2)长轴与短轴长之和为 20,焦距为 4 5 ; (3)以边长为 4 的正△ABC 的顶点 B、C 为焦点,经过顶点 A.

x2 y2 ? ? 1 ,所以其焦点在 x 轴上, 解:(1)化简椭圆方程 4x +9y =36,得 9 4 x2 y2 故可设所求椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),且 c2=a2-b2, a b
2 2

由题意,c2=9-4=5,所以 a2-b2=5, 因为点(3,-2)在椭圆上,所以 由①②,解得 a2=15,b2=10,

① ②

9 4 ? 2 ? 1, 2 a b

所以所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 15 10

x2 y2 (2)当焦点在 x 轴上时,设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0), a b ? ? ? 2a ? 2b ? 20 ?a ? 6
由题意,得 ? 2c ? 4 5 ?
? ? 2 ? ? ?

,解得 ?b ? 4 ?
? ? ? ?

?

.

a ?b ?c
2

2

c?2 5

x2 y2 ? ? 1, 36 16 x2 y2 ? ? 1, 同理,可求焦点在 y 轴上的椭圆方程为 16 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ? 1. 因此,所求的椭圆方程为 36 16 16 36
所以,焦点在 x 轴上的椭圆方程为 (3)以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系. 设所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0),由椭圆的定义, a 2 b2

得|BC|=2c,|AB|+|AC|=2a,即 2c=4,2a=8, 因为 a2=b2+c2,所以 b2=a2-c2=12, 所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1, 16 12

x2 y2 ? ? 1, 12 16 x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ? 1. 因此,所求的椭圆方程为 16 12 12 16
同理,可求焦点在 y 轴上的椭圆方程为 【评析】求椭圆的标准方程,常用方法是待定系数法,其一般步骤是:① 根据焦点所在 位臵设椭圆的标准方程(要注意标准方程有两个);② 由已知条件求出待定的系数 a、b;③ 将 求得的系数 a、b 代入所设方程,即得所求椭圆的标准方程. 例 2 已知椭圆 C 的方程为 (1)求实数 m 的取值范围; (2)若椭圆 C 的离心率为 e ?

x2 y2 ? ? 1, 8 m?2

1 ,求实数 m 的值. 2

解:(1)由椭圆的方程知 m-2>0 且 m-2≠8,所以 m∈(2,10)∪(10,+∞). (2)当 2<m<10 时,椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 此时 a2=8,b2=m-2,c2=a2-b2=10-m, 所以 e ?
2

c 2 10 ? m 1 ? ? ,解得 m=8; a2 8 4

当 m>10 时,椭圆 C 的焦点在 y 轴上, 此时 a2=m-2,b2=8,c2=a2-b2=m-10, 所以 e ?
2

38 c 2 m ? 10 1 ? ? ,解得 m ? . 2 a 3 m?2 4

综上,可得 m=8 或 m ?

38 . 3

?m ? 0 x2 y 2 ? 【评析】这是一个含有参数的问题.曲线 m ? n ? 1 表示椭圆的充要条件是 ?n ? 0 ; ?m ? n ? ?
表示焦点在 x 轴上的椭圆的充要条件是 ?

?m ? n ;表示焦点在 y 轴上的椭圆的充要条件 ?n ? 0

是?

?n ? m . ?m ? 0
例 3 在平面直角坐标系 xOy 中,A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足 | PA | ? | PB |? 10 ,

设动点 P 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)若 C 上有一点 M 满足∠AMB=30° ,求△MAB 的面积. 解:(1)由椭圆定义,得动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 10 的椭圆,

x2 y2 设轨迹 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 a=5,c=3,b= a 2 ? c 2 =4, a b
所以轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 16

(2)在△MAB 中,由余弦定理, 得|AB|2=|MA|2+|MB|2-2|MA|?|MB|cos∠AMB, 即 36=|MA|2+|MB|2- 3 |MA|?|MB| =(|MA|+|MB|)2-2|MA|?|MB|- 3 |MA|?|MB|, 因为|MA|+|MB|=10, 所以 36=100-2|MA|?|MB|- 3 |MA|?|MB|, 解得|MA|?|MB|=64(2- 3 ), 所以△MAB 的面积 S△MAB=

1 | MA | ? | MB | sin∠AMB=16(2- 3 ). 2

【评析】要关注圆锥曲线定义在求曲线方程和“焦点三角形”(如本题中的△MAB)中的 应用. 例 4 如图甲,已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线 段 AN 的垂直平分线为 l,垂足 B,l 交 MA 于点 P.则 (1)点 B 的轨迹方程是________; (2)点 P 的轨迹方程是________.

甲 解:(1)如图甲,在△AMN 中, 因为|AB|=|BN|,|OM|=|ON|, 所以|OB|=



1 |AM|=3, 2

所以点 B 在以 O 为圆心,半径为 3 的圆上, 即其轨迹方程为 x2+y2=9. (2)如图乙,因为 PB 为线段 AN 的垂直平线,所以|PA|=|PN|, 所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=6, 由椭圆定义,得点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长为 6 的椭圆, 所以点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ?1. 5 9

【评析】① 要关注数形结合思想.数形结合思想不仅仅是画图,还要在图中标出及利用 平面几何知识找出线线间的位臵和数量关系,常用的初中平面几何知识有:中垂线性质、三 角形中位线性质、等腰三角形三线合一等. ② 在求轨迹方程、研究圆锥曲线性质时,常常要结合圆锥曲线的定义、基本性质.

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点. 例 5 已知直线 l:y=x+1 与椭圆 C: 2
(1)求 AB 的中点坐标; (2)求|AB|. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y ? x ?1 ? 联立 ? x 2 ,消去 y 得 3x2+4x=0, 2 ? 2 ? y ?1 ?
解得 x1=0, x2 ? ?

4 , 3 1 3

因为点 A、B 在直线 y=x+1 上,所以 y1=1, y2 ? ? ,

1 3 2 1 所以:(1)AB 的中点坐标为 (? , ) ; 3 3
所以交点 A(0,1), B(? ,? ) , (2) | AB |? (0 ? ) ? (1 ? ) ?
2 2

4 3

4 3

1 3

4 2. 3

【评析】 方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键.通过将直线与曲线的方程联立, 可以得到它们的交点坐标.如直线或曲线的方程中含有参数,联立它们的方程可以得到交点 横坐标(或纵坐标)满足的关系,这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便. 例 6 已知点 P 为椭圆 x2+2y2=98 上一点,A(0,5),求|PA|的最值. 解:设 P(x,y),则 | PA |?

x 2 ? ( y ? 5) 2 ?

x 2 ? y 2 ? 10 y ? 25 ,

因为点 P 为椭圆 x2+2y2=98 上一点,所以 x2=98-2y2,-7≤y≤7,
2 2 则 | PA |? 98 ? 2 y ? y ? 10 y ? 25 ?

? ( y ? 5) 2 ? 148 ,

因为-7≤y≤7, 所以当 y=-5 时, | PA|max ? 148 ? 2 37 ;当 y=7 时, | PA |min =2. 【评析】①关注函数思想的应用.构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法;② 设 点而不求点,通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段.

练习 8-5
一、选择题

x2 y2 1.已知 F(c,0)是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点,设 b=c,则椭圆的离心率为 a b
( ) B.

A. 2

2 2

C.

1 2

D.2 ( )

2.如果方程 x2+my2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 m 的取值范围是 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 3.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3
( ) D.12 C. 4 3

外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 A. 2 3 B.6

4.已知椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),P 是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差 中项,则该椭圆的方程为 ( ) A.

x2 y2 ? ?1 16 9

B.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 16 12 4 3 3 4

二、填空题 5.长轴长为 4,短轴长为 2,且焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为________. 6.若方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是________. 25 ? m 16 ? m

7.在平面 α 内,有一条线段|AB|=4,P 为??内一个动点,满足|PA|+|PB|=6.设 M 为 AB 的中点,则|PM|的最大值为________,最小值为________. 8.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,则当 PF ? PF2 ? 0 时,点 P 1 9 4

的横坐标的取值范围是________. 三、解答题 9.已知△ABC 的两个顶点为 B(-2,0),C(2,0),周长为 12. (1)求顶点 A 的轨迹方程; (2)若直线 y ?

1 x 与点 A 的轨迹交于 M,N 两点,求△BMN 的面积. 2

10.已知椭圆 C 的方程为 (1)求 k 的取值范围;

x2 y2 ? ? 1. k ?8 9 1 ,求 k 的取值范围. 2

(2)若椭圆 C 的离心率 e ?

11.设 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2 是一个 9 4

直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF1 | 的值. | PF2 |

*12.已知椭圆 C: x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、B. 4

(1)若 l 与 x 轴相交于点 P,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; (2)设点 N(0,

1 ),求 | NA ? NB | 的最大值. 2

§ 8-6

双曲线

【知识要点】 1.双曲线定义:平面内与两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的 轨迹叫做双曲线.这两个定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的 焦距. 2.双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示): 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

图形

焦点 焦距 范围 性 质 对称 顶点 轴 离心率

F1(-c,0),F2(c,0)
2 2

F1(0,-c),F2(0,c) |y|≥a,x∈ R (0,-a),(0,a)

|F1F2|=2c,(其中 c =a +b2,c>0) |x|≥a,y∈ R (-a,0),(a,0) 关于 x 轴、y 轴和原点对称 实轴长 2a,虚轴长 2b

e?

c (e ? 1) a

【复习要求】 了解双曲线的定义,几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质,并了解其性质的初 步应用. 【例题分析】 例 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)虚轴长为 12,离心率为

5 ; 4 3 x. 2
x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0), a 2 b2

(2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y ? ?

解:(1)当焦点在 x 轴上时,设所求的双曲线方程为
? ? ? ? 由题意,得 ? ? ? ? ? ? ?

2b ? 12 ?a ? 8 c 5 ? ,解得 ?b ? 6 , ? a 4 ?c ? 10 ? 2 2 2 a ?b ? c

x2 y2 ? ? 1. 64 36 y2 x2 ? ? 1. 同理,可求得当焦点在 y 轴上时,双曲线的方程为 64 36 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 因此所求的双曲线方程为 64 36 64 36
所以焦点在 x 轴上时,双曲线的方程为

(2)方法一:当焦点在 x 轴上时,设所求的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0), a 2 b2

?2 a ? 6 ?a ? 3 ? ? 由题意,得 ? b 3 ,解得 ? 9, ?a ? 2 ?b ? 2 ? ?
所以焦点在 x 轴上时,双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 81 4
y2 x2 ? ?1 9 4

同理,可求得当焦点在 y 轴上时,双曲线的方程为

因此所求的双曲线方程为

y2 x2 x2 y2 ? ? 1. ? ? 1或 9 4 9 81 4

方法二:设以 y ? ?

x2 y2 3 ? ? ( ? ? 0) , x 为渐近线的双曲线的方程为 ? ? 4 9 2

当 λ>0 时,由题意,得 2 4? ? 6 ,解得 ? ?

9 , 4

此时双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1; 9 81 4

当 λ<0 时,由题意,得 2 ? 9? ? 6 ,解得 λ=-1, 此时双曲线方程为

y2 x2 ? ? 1. 9 4

y2 x2 x2 y2 ? 1. ? ? 1或 ? 因此,所求的双曲线方程为 9 4 9 81 4
【评析】(1)求双曲线的标准方程,常用方法是待定系数法,其一般步骤是:① 根据焦点 所在位臵设双曲线的标准方程(要注意标准方程可能有两个);② 由已知条件求出待定的系数 a、b;③ 将求得的系数 a、b 代入所设方程,即得所求双曲线的标准方程. (2)已知渐近线方程为

x2 y 2 x y ? ? 1 时,可借助于共渐近线双曲线系方程 2 ? 2 ? ? (λ≠0) a b a b
x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, P 在双曲线上,且 PF ? PF2 ? 0 , 点 1 4

来求双曲线的标准方程. 例 2 设 F1, 2 是双曲线 F

则 | PF | ? | PF | 的值等于________. 1 2

解:因为 PF ? PF ? 0 ,所以 PF ⊥ PF2 1 2 1 则 | PF |2 ? | PF2 |2 ? (2 | F1F2 |) 2 ? 20 , 1 由双曲线定义,知 | PF | ? | PF2 |? 4 , 1 所以 | PF |2 ?2 | PF | ? | PF2 | ? | PF2 |2 ? 16 , 1 1 所以 | PF | ? | PF2 |? 2 . 1 例3 如图,从双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 引圆 x2+y2=9 的切线,切点为 T,延 9 25

长 F1T 交双曲线右支于 P 点.设 M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|TF1|=________; |MO|-|MT|=________.

解:连接 OT,设此双曲线的实半轴、虚半轴,半焦距的长分别为 a,b,c,则|OF1|=c, |OT|=a, 又 OT⊥TF1,所以|TF1|= c2 ? a2 ? b ? 5 ; 因为|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|MF1|,2|MO|=|PF2|, 所以|MF1|-|MO|=a,即|MT|+|TF1|-|MO|=a, 则|MO|-|MT|=|TF1|-a=2. 【评析】 ①圆锥曲线的定义反映了它的本质属性, 灵活巧妙地利用它可简捷地解决一些 问题.② 要关注数形结合思想.数形结合思想不仅仅是画图, 还要在图中标出及利用平面几何 知识找出线线间的位臵和数量关系,常用的初中平面几何知识有:中垂线性质、三角形中位 线性质、等腰三角形三线合一等. 例 4 已知点 A(- 3 , 0)和 B( 3 , 动点 C 到 A, 两点的距离之差的绝对值为 2. 0), B 记 点 C 的轨迹为 W. (1)求轨迹 W 的方程; (2)设 W 与直线 y=x-2 交于两点 D,E,求线段 DE 的长度. 解:(1)设 C(x,y),则||CA|-|CB||=2, 所以点 C 的轨迹 W 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0), a 2 b2

且 2a=2,2c=|AB|=2 3 ,则 a=1,b2=c2-a2=2,

y2 ?1. 所以轨迹 W 的方程为 x ? 2
2

? 2 y2 ?x ? ?1 (2)由 ? ,得 x2+4x-6=0, 2 ?y ? x ? 2 ?
因为判别式 ? >0,所以直线与双曲线有两个交点, 设 D(x1,y1),E(x2,y2),则 x1+x2=-4,x1x2=-6, 故 | DE |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 5 .
【评析】 方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键.通过将直线与曲线的方程联立, 可以得到它们的交点坐标, 或利用韦达定理得交点横坐标(或纵坐标)满足的关系, 这些都为 研究圆锥曲线综合问题提供方便.

y2 ? 1 右支上一点,P(m,0)为 x 轴正半轴上一点,求 例 5 设点 M 为双曲线 C: x ? 3
2

|PM|的最小值 f(m). 解:设 M(x,y),则 | MP |? 因为点 M 在 x ?
2

( x ? m) 2 ? y 2 ,

y2 ? 1( x ? 1) ,所以 y2=3x2-3, 3

2 2 所以|MP|= ( x ? m) ? 3 x ? 3

? 4x2 ? 2mx ? m2 ? 3
? 4( x ?


m 2 3m2 ) ? ?3 , 4 4

m ? 1 ,即 m<4 时, 4

当 x=1 时,|MP| min=|m-1|;

m ? 1 ,即 m≥4 时, 4 m 1 3m 2 ? 12 . 当x ? 时, | MP |min ? 2 4


0 ? m ? 4, ?| m ? 1 |, ? 所以,|PM|的最小值 f (m) ? ? 1 2 ? 2 3m ? 12, m ? 4. ?
【评析】①关注函数思想的应用.构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法;② 设 点而不求点,通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段.

练习 8-6
一、选择题 1.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为
2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

x y x y x y x y ? ?1 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 B. 4 12 12 4 10 6 6 10 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (m<6)与曲线 ? ? 1 (5<n<9)的 2.曲线 ( ) 5?n 9?n 10?m 6?m
A. A.焦距相等
2 2

B.离心率相等

C.焦点相同

D.以上都不对

3.已知双曲线 C: 圆的半径是 A.a

x y 2 ? b 2 ? 1 (a>0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的 a
( ) B.b
2

C. ab

D. a 2 ? b2

y2 ? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上, PF ? PF2 ? 0 , 4. F1, 2 分别是双曲线 x ? 设 F 且 1 9
则 | PF ? PF2 | 等于 1 A. 10 二、填空题 5.设 F1、F2 为双曲线 C: ( ) C. 2 10 D. 2 5

B. 5

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点,若其实轴的两个顶点将线 a 2 b2

段 F1F2 三等分,则此双曲线的渐近线方程为________. 6.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=________.

x2 y2 ? ? 1 共渐近线,且过点 A(2 3 ,-3)的双曲线的方程________. 7.与双曲线 16 9 y2 2 ? 1 上的一点, 1, 2 是该双曲线的两个焦点, 8. P 为双曲线 x ? 设 F F 若|PF1|∶|PF2|=3∶2, 12
则△PF1F2 的面积为________. 三、解答题 9.已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双 a 2 b2

曲线于点 P,且∠PF1F2=30° .求双曲线的渐近线方程.

10.如图,已知双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且渐近线与以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆相切,双曲线 C 的一个顶点 A′与点 A 关于直线 y=x 对称.设直线 l 过点 A, 斜率为 k. (1)求双曲线 C 的方程; (2)当 k=1 时,在双曲线 C 的上支上求点 B,使其与直线 l 的距离为 2 .

11.设 A、B 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的两点,点 N(1,2)是线段 AB 的中点. 2

(1)求直线 AB 的方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点,求|CD|.

§ 8-7

抛物线

【知识要点】 1.抛物线定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示): 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

图形

焦点 准线 范围 轴 顶点 离心率

性 质

p F ( ,0 ) 2 p x?? 2
x≥0,y∈ R

F (?

p ,0) 2 p x? 2

p F (0, ) 2 p y?? 2
x∈ R,y≥0 (0,0) e=1

p F (0,? ) 2 p y? 2
x∈ R,y≤0

x≤0,y∈ R

关于 x 轴对称

关于 y 轴对称

3.几点注意 (1)p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正数. (2)标准方程的左边是二次项,右边是一次项,且二次项的系数为 1.通过 x,y 的范围 可以判定抛物线的开口方向. (3)抛物线的焦点弦具有很多重要性质,且应用广泛. 【复习要求】 了解双曲线的定义,几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质,并了解其性质的初 步应用. 【例题分析】 例 1 (1)求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,且过点 A(2,-4)的抛物线的方程; (2)平面内一个动点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x=-6 的距离小 2 个单位,求 动点 P 的轨迹方程. 解:(1)由于点 A(2,-4)在第四象限,且坐标轴为对称轴, 所以设抛物线方程为 y2=2px(p>0)或 x2=-2py(p>0), 将 A 点的坐标代入,分别得 p=4 或 p ?

1 , 2

所以所求的抛物线方程为 y2=8x 或 x2=-y. (2)方法一:设动点 P(x,y), 所以点 P 到直线 l:x=-6 的距离为 d=|x+6|,
2 2 由题意得|PF|=d-2,即 ( x ? 4) ? y ?| x ? 6 | ?2 , 2 2 当 x>-6 时,上式化为 ( x ? 4) ? y ? x ? 4 ,即 y2=16x; 2 2 当 x≤-6 时,上式化为 ( x ? 4) ? y ? ? x ? 8 ,

2 2 因为 ( x ? 4) ? y ?

( x ? 4) 2 ? 4 ? x ? ? x ? 8 ,

2 2 所以符合 ( x ? 4) ? y ? ? x ? 8 的点 P 不存在.

所以动点 P 的轨迹方程为 y2=16x. 方法二:由图象易分析出点 P 不可能在 y 轴左侧(在此略), 设直线 l1:x=-4, 则 y 轴右侧(含 y 轴)的点 P 到直线 l1 的距离比它到直线 l:x=-6 的距离小 2, 由题意,P 到点 F(4,0)的距离等于它到直线 l1:x=-4 的距离, 根据抛物线的定义,知动点 P 的轨迹方程为 y2=16x. 【评析】求圆锥曲线的方程时,要注意:① 其标准方程的不唯一性;② 灵活使用圆锥曲 线的定义常常可以使问题简化. 例 2 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P(m,n)在抛物线上. (1)求|PF|的值(用 m,p 表示); (2)设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在抛物线上,且 2m=x1+x2,求证:2|PF|=|P1F|+|P2F|; (3)设过 F 的直线 l 与 C 相交于两点 A,B,判断以 AB 为直径的圆与 y 轴的位置关系, 并说明理由. (1)解:抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 x ? ? 由抛物线的定义,知|PF|等于 P 到准线 x ? ?

p , 2

p p 的距离,所以 | PF |? m ? . 2 2 p p p (2)证明:由(1)知 | PF |? m ? , | P F |? x1 ? , | P2 F |? x2 ? , 1 2 2 2
所以 2|PF|=2m+p,|P1F|+|P2F|=x1+x2+p, 因为 2m=x1+x2, 所以 2|PF|=|P1F|+|P2F|. (3)结论:以 AB 为直径的圆与 y 轴相交.理由如下: 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 AB 的中点为 M ( 由(1)知,|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p,

xA ? xB y A ? yB , ), 2 2

x A ? xB ? p (p>0), 2 x ? xB 因为 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 A ?r, 2
所以以 AB 为直径的圆的半径为 r ? 所以以 AB 为直径的圆与 y 轴相交. 【评析】求抛物线的焦点弦长,利用定义比利用弦长公式更为简便.即:已知抛物线 C: 2 y =2px(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 相交于两点 A,B.设 A(xA,yA),B(xB,yB), 则有|AB|=xA+xB+p. 例 3 设 F 为抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,点 P 为抛物线 C 上一点,若点 P 到点 F 的距离等于点 P 到直线 l:x=-1 的距离. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设过点 P 的直线 l1 与抛物线 C 的另一交点为 Q 点,且线段 PQ 的中点坐标为(3,2), 求|PQ|. 解:(1)由抛物线定义知:抛物线 C 的准线方程为 x=-1.

因为抛物线方程为标准方程,所以

p =1,即 p=2, 2

所以抛物线 C 的标准方程是 y2=4x. (2)设直线 PQ:y-2=k(x-3)或 x=3(舍去),P(x1,y1),Q(x2,y2),

? y2 ? 4x 解方程组 ? ? y ? 2 ? k ( x ? 3)
消去 y,得 k2x2-(6k2-4k+4)x 十(3k-2)2=0, 由题意 k≠0,得判别式 Δ=(6k2-4k+4)2-4?k2?(3k-2)2>0(*)

x1 ?

(6k 2 ? 4k ? 4) ? ? (6k 2 ? 4k ? 4) ? ? , x2 ? , 2k 2 2k 2

因为线段 PQ 的中点坐标为(3,2),所以 解得 k=1,验证知(*)成立.

x1 ? x2 3k 2 ? 2k ? 2 ? ? 3, 2 k2

所以 x1=3+2 2 ,x2=3-2 2 ,y1=2+2 2 ,y2=2-2 2 , 所以 | PQ |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 8 .

【评析】 方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键.通过将直线与曲线的方程联立, 可以得到它们的交点坐标,或利用韦达定理得交点横坐标(或纵坐标)满足的关系,这些都为 研究圆锥曲线综合问题提供方便. 例 4 已知抛物线 C:y2=4x,设 B(3,0),对 C 上的动点 M,求|BM|的最小值. 【分析】建立距离的目标函数,转化为研究函数的最值问题. 解:设动点 M 的坐标为(x0,y0), ∴ | BM |?
2 2 ( x0 ? 3) 2 ? ( y0 ? 0) 2 ? x0 ? 6 x0 ? 9 ? y0 .

2 ∵ y0 ? 4x0 ,

∴ | BM |? ∵x0≥0,

2 x0 ? 2 x0 ? 9 ? ( x0 ? 1)2 ? 8 .

∴当 x0=1 时,|BM| min=2 2 . 即 M 的坐标为(1,±2)时,|BM|取到最小值 2 2 . 【评析】① 关注函数思想的应用.构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法;② 设 点而不求点,通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段.

练习 8-7
一、选择题 1.抛物线 y2=8x 的准线方程是 ( A.x=-2 B.x=-4 ) C.y=-2 D.y=-4

2.设 a≠0,a∈R,则抛物线 y=4ax2 的焦点坐标为 A.(a,0) B.(0,a) C.(0,

(

)

1 ) 16 a
2

D.随 a 的符号而定 ( )

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 3.若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 6 2
A.-2 B.2 C.-4 D.4 2 4.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 ( A. )

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D.3

二、填空题 5.抛物线 x2=-4y 的焦点坐标是________,准线方程是________. 6.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是________. 7.已知点(-2,3)与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的距离是 5,则 p=________. 8.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
2 y12 ? y2 的最小值是________.

三、解答题 9.给定直线 l:y=2x-16,抛物线 C:y2=ax(a>0). (1)当抛物线 C 的焦点在直线 l 上时,确定抛物线 C 的方程; (2)若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线 C 上,且点 A 的纵坐标为 8,直线 BC 的 方程为 4x+y-40=0,求△ABC 的重心的坐标.

10.给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与 C 相交 A、B 两 点,求以 AB 为直径的圆的方程.

11.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4,且位于 x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直 y 轴于点 B,设 OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标.

§ 8-8

圆锥曲线综合问题

【知识要点】 1.在圆锥曲线的综合问题中,要关注数学思想与方法的渗透 (1)数形结合思想不是简单的画图,而应该要分析图形中隐含的量及位置间的关系. (2)直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部,它只是方程思想的一个重要形式. 2.直线与圆锥曲线 设直线 Ax+By+C=0 与圆锥曲线 f(x,y)=0 相交于点 A(xA,yA),B(xB,yB).将直 线 Ax+By+C=0 与圆锥曲线 f(x,y)=0 联立,得方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0 ,消去 y(或 ? f ( x, y) ? 0

x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,记为 ax2+bx+c=0(a≠0), (1)应用判别式,则有①Δ>0 ? 有两个实数解(有两个交点); ②Δ=0 ? 有一个实数解(有一个交点); ③Δ<0 ? 没有实数解(没有交点). 对于双曲线和抛物线在考虑交点个数时,还应注意到形的问题. (2)应用韦达定理,可得 x A ? xB ? ?

b c , x A ? xB ? . a a

在研究中点、弦长等问题时,利用韦达定理常可以使问题得到解决. 3.会求简单的轨迹方程问题 4.关注解析几何与数列、向量等知识的综合,注意把握它们的内在联系 【例题分析】

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)最多有________个交点; a 2 b2 x2 y2 ? ? 1 不相交,则直线 l 的斜率 k 的取 (2)若平面内与 y 不平行的直线 l 与双曲线 16 9
例 1 (1)平面内的直线 l 与双曲线 值范围是________. 解:(1)设直线 l:Ax+By+C=0.

? Ax ? By ? C ? 0 ? 则交点满足方程组 ? x 2 y 2 ,消去 y, ? 2 ?1 ? a2 b ?
得关于 x 的方程,记为 mx2+nx+r=0, 上述方程最多有两个解 x1,x2(x1≠x2), 代入直线 l:Ax+By+C=0,得两个交点, 所以直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 最多有两个交点. a 2 b2

(2)方法一:设直线 l:y=kx+b, 由 ? x2

? y ? kx ? b ? ,消去 y, y2 ? ?1 ?16 9 ?

得(9-16k2)x2-32kbx-16b2-144=0, 因为直线 l 与双曲线不相交, 所以 Δ=(32kb)2+4(9-16k2)(16b2+144)<0,

9 1 ? b2 , 16 16 9 1 9 3 2 ? b 2 ? ,即 | k |? , 所以 k ? 16 16 16 4
化简,得 k ?
2

故直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k ? (?? ,? ] ? [ ,?? ) . 方法二:数形结合可以得到 k∈ (?? ,? ] ? [ ,?? ) . 【评析】研究两个曲线的交点个数问题,可以用判别式,也可以用数形结合方法. 例 2 已知两定点 M(-1,0)、N(1,0),直线 l:y=-2x+3.在 l 上满足 |PM|+|PN|=4 的点 P 有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【分析】若设 P(x,y),利用 | PM | ? | PN |?

3 4

3 4

3 4

3 4

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,试

图解出点 P 的坐标,会发觉相当困难.如观察到|PM|+|PN|=4 的几何意义,此题迎刃而解. 解:因为定点 M(-1,0)、N(1,0),且|PM|+|PN|=4, 所以点 P 在焦距为 2,长轴长为 4 的椭圆上,即在椭圆 C:

x2 y2 ? ?1, 4 3

x2 y2 3 ? ? 1 内一点, 因为直线 l:y=-2x+3 过点 Q( ,0),且点 Q 为椭圆 4 3 2
所以直线 l 与椭圆 C 有 2 个交点, 即在 l 上满足|PM|+|PN|=4 的点 P 有 2 个,选 C. 【评析】 数形结合思想是解析几何综合题常用的数学思想方法, 利用它可以使问题得到 简化,使用它时要关注圆锥曲线定义及性质的应用. 例 3 已知椭圆

x2 +y2=1 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,并且线 2

段 AB 的中点在直线 x+y=0 上,求直线 AB 的方程. 解:因为椭圆的左焦点 F(-1,0),所以设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0), 代入

x2 +y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. 2

∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F, ∴方程有两个不等实根, 记 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0), 则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 1 2k 2 k , x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 , y0 ? k ( x0 ? 1) ? 2 , 2 ?1 2k 2k ?1 2 2k ? 1

∵线段 AB 的中点 N 在直线 x+y=0 上,

2k 2 k 1 ? 0 ,解得 k=0,或 k ? . ∴ x0 ? y0 ? ? 2 ? 2k ?1 2k 2 ? 1 2
当直线 AB 与 x 轴垂直时,线段 AB 的中点 F 不在直线 x+y=0 上. ∴直线 AB 的方程是 y=0,或 x-2y+1=0. 【评析】利用直线与圆锥曲线联立,可以解决一些与弦中点、弦长有关的综合问题.

例 4 已知双曲线 C:3x2-y2=1,过点 M(0,-1)的直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点. (1)若|AB|= 10 ,求直线 l 的方程; (2)若点 A、B 在 y 轴的同一侧,求直线 l 的斜率的取值范围. 解:(1)设直线 l:y=kx-1 或 x=0(舍去),A(x1,y1)、B(x2,y2),

?3 x 2 ? y 2 ? 1, 联立 ? ? y ? kx ? 1.
消去 y,得(3-k2)x2+2kx-2=0. 由题意,得 3-k2≠0,Δ=(2k)2-4?(3-k2)?(-2)=24-4k2>0, 且 x1 ? x2 ?

2k 2 , x1 x2 ? 2 , k ?3 k ?3
2

2 2 2 所以|AB|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? k ? | x1 ? x2 |

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .
即 1? k
2

.

(

2k 2 2 ) ? 4? 2 ? 10 , k ?3 k ?3
2

解得 k=±1,或 k=±

33 . 7

验证知 3-k2≠0 且 Δ>0, 所以直线 l 的方程为:y=±x-1,或 y=±

33 x ?1. 7

?3 ? k 2 ? 0 ? ? 2 ? ? 0, (2)由 A、B 在 y 轴的同一侧,得 ? x1.x2 ? 2 k ?3 ? ?? ? 24 ? 4k 2 ? 0 ?
解得 k∈ (? 6 ,? 3) ? ( 3, 6 ) . 【评析】在研究直线与双曲线的交点个数问题时,除了考虑判别式外,还应该注意到交 点位臵.一般的, 如果联立方程消去 y 后, 得到关于 x 的方程为 ax2+bx+c=0, 设两根为 x1, x2,那么 ① 当直线与双曲线有两个交点时,则 ?

?a ? 0 ? ; ?? ? 0

?a ? 0 ? ?? ? 0 ? ② 当直线与双曲线左支有两个交点时,则 ? ; ? x1 ? x2 ? 0 ? x1 x2 ? 0 ?

?a ? 0 ? ?? ? 0 ? ③ 当直线与双曲线右支有两个交点时,则 ? ; ? x1 ? x2 ? 0 ? x1 x2 ? 0 ?
④ 当直线与双曲线左右两支各交一点时,则 ? 别式 Δ>0) ⑤ 当直线与双曲线有一个交点时,则 ? 近线平行); ⑥ 当直线与双曲线有无交点时,则 ?

?a ? 0 ? ;(想一想,为什么不需要考虑判 ? x1 x2 ? 0

?a ? 0 ? (即直线与双曲线相切)或 a=0(即直线与渐 ?? ? 0

?a ? 0 ? . ?? ? 0
2

例 5 已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F(2,0),且离心率 e ?

?

(? ? 0) .

(1)求椭圆的方程(用 λ 表示); (2)若存在过点 A(1, 0)的直线 l, 使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上, λ 的取值范围. 求 解 : (1) 因 为 e ?

c 2 ? ,且 c=2,所以 a= a ?

? ,所以椭圆方程为

x2

?

?

y2 ? 1(? ? 4) . ? ?4

(2)设点 F 关于直线 l 的对称点 M(x0,y0), 设 l:y=k(x-1), 由点 M 在椭圆上,得 由 FM⊥l,得
2 x0

?

?

2 y0 ?1 ? ?4

① ②

y0 ? 0 1 ?? , x0 ? 2 k
y0 x ?2 ? k( 0 ? 1) 2 2

由 FM 的中点在对称轴 l 上,得

③ ④

2 2 将③代入①②,消 y0 得(λ-4)x 0 +λk2x 0 =λ(λ-4),

kx0 1 ?? x0 ? 2 k
2 将⑤代入④,消 k 得 4x 0 -2λx0+λ(λ-4)=0,





由 Δ=4λ2-16λ(λ-4)≥0,解得 ? ?

16 , 3

验证知⑥存在根 x0∈[- 所以 4 ? ? ?

? , ? ](λ>4),

16 . 3

【评析】 方程思想是解决圆锥曲线综合问题的一种重要的思想方法, 但直线与圆锥曲线 联立不是方程思想的全部. 例 6 已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在直线的斜率 为 1. (1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60° 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 【分析】建立面积的目标函数,将问题转化为研究函数的最值问题. 解:(1)由题意,得直线 BD 的方程为 y=x+1. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n.

?x2 ? 3 y 2 ? 4 由? ,得 4x2-6nx+3n2-4=0. ? y ? ?x ? n
因为 A,C 在椭圆上, 所以 Δ=-12n2+64>0,解得 ?

4 3 4 3 ?n? . 3 3

设 A,C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1 ? x2 ?

3n 3n2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n, y2 ? ? x2 ? n . 2 4
n . 2

所以 y1 ? y2 ?

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? , ?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y=x+1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ?

所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n=-2. 4 4

所以直线 AC 的方程为 y=-x-2,即 x+y+2=0. (2)因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60° , 所以| AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S ?
2 2

3 | AC |2 . 2
2

? 3n2 ? 16 由(1)可得 | AC | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? , 2
所以 S ?

3 4 3 4 3 (?3n 2 ? 16)( ? ?n? ). 4 3 3

所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 【评析】要关注函数思想在圆锥曲线综合题中的应用. 例 7 如 图 , 已 知 点 P( - 3 , 0) , 点 Q 在 x 轴 上 , 点 N 在 y 轴 上 , 且

PN ? NQ ? 0, QM ? 2 NQ .当点 N 在 y 轴上移动时,记点 M 的轨迹为 E.
(1)求 E 的方程; (2)若 F 是曲线 E 的焦点,过点 F 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,设|FA|=2|BF|,求直 线 l 的方程.

解:(1)设动点 M(x,y),N(0,b),Q(a,0), ∵P(-3,0), ∴ PN =(3,b), NQ =(a,-b), QM =(x-a,y), ∵ PN ? NQ ? 0 , ∴(3,b)?(a,-b)=0,即 3a-b2=0. ∵ QM =2 NQ , ∴(x-a,y)=2(a,-b),即 x=3a,y=-2b. 由①②,得 y2=4x. ∴轨迹 E 的方程为 y2=4x. ② ①

(2)方法一: 因为|FA|=2|BF|, 三点 A, B 共线且点 A, 在点 F 两侧, F, B 所以 FA ? 2 BF , 设 A,B 两点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 FA =(x1-1,y1), BF =(1-x2,-y2), 所以 ?

? x1 ? 1 ? 2(1 ? x2 ), ? y1 ? ?2 y 2 .



因为点 A,B 在抛物线 E 上, 所以 y 1 =4x1,y 2 =4x2, 由③④,解得 A(2,2 2 ),B(
2 2



1 1 ,? 2 ),或 A(2,-2 2 ),B( , 2 ), 2 2

故直线 l 的方程为 2 2 x-y-2 2 =0,或 2 2 x+y-2 2 =0. 方法二:因为|FA|=2|BF|,三点 A,F,B 共线且点 A,B 在点 F 两侧, 所以 FA ? 2 BF ,

设 A,B 两点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 FA =(x1-1,y1), BF =(1-x2,-y2), 所以 ?

? x1 ? 1 ? 2(1 ? x2 ), ? y1 ? ?2 y 2 .



设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)或 x=1(不符合题意,舍去). 由?

? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,消去 x 得 ky2-4y-4k=0,

因为直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,所以 k≠0, 则 Δ=16+16k2>0, y1 ? y2 ?
? ? ? 1 ? ? ? 由③④,得方程组 ? 1 2 ? ? ? 1 ? ? ?

4 ,y1y2=-4 k
? ? ? ? ? ,解得 ? 1 ? ? ? ? 2 ?



y ? y2 ? y y ? ?4 y ??2 y2

4 k

k ? ?2 2 y ? ?2 2 y? 2

? ? ? ? ? 或? 1 ? ? ? ? 2 ?

k ?2 2 y ?2 2 , y ?? 2

故直线 l 的方程为 2 2 x-y-2 2 =0,或 2 2 x+y-2 2 =0. 【评析】要关注解析几何与其他知识的综合,掌握其内在联系.

练习 8-8
一、选择题 1.设椭圆

x2 y2 1 ,右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同, 2 ? n 2 ? 1 (m>0,n>0)的离心率为 m 2
( ) B.
2

则此椭圆的方程为 A.

x y ? ?1 12 16

2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 16 12 48 64 64 48

2.双曲线 x2-y2=4 的两条渐近线与直线 x=3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式 组是 ( )

?x ? y ? 0 ? A. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?
3.已知双曲线 C:

?x ? y ? 0 ? B. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

?x ? y ? 0 ? C. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

?x ? y ? 0 ? D. ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上一点,且|PF2| 9 16
( ) C.48 D.96

=|F1F2|,则 ΔPF1F2 的面积等于 A.24 B.36

4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF ? MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 1 率的取值范围是 ( )

A.(0,1)

B.(0,

1 ] 2

C.(0,

2 ) 2

D.[

2 ,1) 2

二、填空题 5.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则实数 a=________. 6.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和 顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________. 7.已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若|F2A| 25 9

+|F2B|=12,则|AB|=________. 8.已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,A,B 是 C 上的两个点,线段 AB 的中点为 M(2,2), 则△ABF 的面积等于________. 三、解答题 9.如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点, ∠POB=30° ,曲线 C 是满足| |MA|-|MB| |为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P. (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)设过点 D 且斜率为 2 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F.求△OEF 的面积.

10.抛物线 y=ax2-1 上总有关于直线 x+y=0 对称的两点,求 a 的取值范围.

11.已知椭圆 C: x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B. 4

(1)若 l 与 x 轴相交于点 N,且 A 是 MN 的中点,求直线 l 的方程; (2)设 O 为坐标原点,若椭圆上存在一点 P 满足 OA ? OB ? ?OP ,求实数 λ 的取值范 围.

习题 8
一、选择题 1.直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,所得到的直线为 A. y ? ? ( ) D.y=-3x

1 x 3

B. y ?

1 x 3

C.y=3x-3

2.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) C. [?

3 3 3 3 , ] D. (? , ) 3 3 3 3
( )

? y ? x, ? 3.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 2, 则 z=x-3y 的最小值为 ? x ? ?2. ?
A.-2 4.设椭圆 C1 的离心率为 B.-4 C.-6 D.-8

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的任一点到椭圆 13
( )

C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为

x y ? 2 ?1 2 4 3 2 x y2 C. 2 ? 2 ? 1 3 4
A.

2

2

x y ? 2 ?1 2 13 5 2 x y2 D. 2 ? 2 ? 1 13 12
B.

2

2

5.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线 的距离之和的最小值为 ( ) A.

17 2
x2 y2

B.3

C. 5

D.

9 2

二、填空题

? 1 的离心率是 3 .则 n=________. 6.已知双曲线 n ? 12 ? n
7.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆 的标准方程是________. 8.将圆 x2+y2=1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后得到圆 C,则圆 C 的方程是________,若过 点(3,0)的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率为________. 9.如图,F1、F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 a 2 b2

3 的正三角形,则 b2 的值是________.

10.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 的一条直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则

1 1 ? 等于________. p q

三、解答题 11.设直线 l 过点 A(-1,3),且和直线 3x+4y-12=0 平行. (1)求直线 l 的方程; (2)若点 B(a,1)到直线 l 的距离小于 2,求实数 a 的取值范围.

12.一圆经过点 A(2,1),且和直线 x-y-1=0 相切,圆心在直线 2x-y=0 上. (1)求该圆的标准方程; (2)若直线 l 过点 B(

1 ,1),且被圆截得的弦长最短,求直线 l 的方程. 2

13.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3 ),(0, 3 )的距离之和等于 4,设点 P 的 轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若 OA ? OB ,求 k 的值.

x2 y2 14.如图,设离心率为 e 的双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)的右焦点为 F,斜率为 k 的直 a b
线过点 F,且与双曲线右支、y 轴及双曲线左支的交点依次为 P、Q、R.O 为坐标原点. (1)若 k ?

3 ,且 Q 是 FR 的中点,求 e 的值; 4

(2)试比较 e2 与 1+k2 的大小,并说明理由.

专题

九算法

算法是高中数学课程中的新增内容, 是中国数学课程内容的一个新特色. “算法”过程 是指机械式的按照某种确定的步骤行事,通过一系列小的简单计算操作完成复杂计算的过 程. 算法的学习内容大致可分为三个步骤: 用自然语言描述算法; 精确刻画算法(程序框图); 计算机实现执行算法(程序语言的描述过程).框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系 的图示, 它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系. 算法思想贯穿高 中数学课程的相关部分. 【知识要点】 1.算法 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤, 或者看成按照 要求设计好的有限的确切的计算序列, 并且这样的步骤或序列能够解决一类问题. 现代意义 上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤. 2.程序框图 程序框图:用一些通用的符号构成一张图来表示算法,这种图称为程序框图(程序框图 又称(程序)流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形). 用框图表示算法步骤的一些常用的图形符号:
程序框 名称 终端框(起止框) 输入、输出框 处理框(执行框) 判断框 流程线(指向线) 连接点 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处 标明“是”,不成立时标明“否” 指引流程图的方向 连接另一页或另一部分的框图

程序框图的三种基本逻辑结构: 顺序结构:描述的是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间按从上到下的顺 序进行(如图 9-1). 条件分支结构:依据指定条件选择执行不同指令的控制结构(如图 9-2). 循环结构:根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构(如图 9-3).

图 9-1

图 9-2

图 9-3

3.几种基本算法语句 任何一个程序设计语言中,都包含五种基本的算法语句,即输入语句、输出语句、赋值 语句、条件语句、循环语句. . 输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息、 输出结果的功能; 赋值语句是用来 表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句; 条件语句是处理条件分支逻辑结构的算法语 句;循环语句是用来处理算法中的循环结构的语句. 4.中国古代算法案例 更相减损之术、辗转相除法:求两个正数的最大公因数的方法. 辗转相除法算法步骤:第一步,用两数中较大数除以较小数,求商和余数;第二步,用 除数除以余数;第三步,重复第二步,直到余数为 0;第四步,得出两数的最大公约数,即 余数 0 之前的余数. 更相减损术算法步骤:第一步,用较大数减去较小数,得到差;第二步,比较减数与差 的大小,再用较大数减去较小数;第三步,重复第二步,直到差与减数相等为止;第四步, 相等数即为最大公约数. 割圆术:用正多边形的面积逐渐逼近圆面积的算法求圆周率 π.
? ? 0 秦九韶算法:求一元多项式的值的一种方法.递推关系为 ? ? ? k ?

v ? an v ?vk ?1x ? an ? k

(k=1,2,?,

n). 5、框图 工序流程图(统筹图)的画法: 将一个工作或工程从头至尾依先后顺序分为若干道工序(即 所谓自顶向下),每一道工序用矩形框表示,并在该矩形框内注明此工序的名称或代号.两 相邻矩形框之间用流程线相连. 结构图(知识结构图)的画法:对所画结构图的每一部分深刻理解和掌握,从头至尾抓住 主要脉络进行分解, 将知识点逐一写在矩形框内, 并按其内在逻辑顺序将它们排列起来并用 线段相连,这就是知识结构图 【复习要求】 1.了解算法的含义,了解算法的思想. 2.理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件分支结构、循环结构. 3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句 的含义. 4.通过具体实例,进一步认识程序框图,了解工序流程图(即统筹图),能绘制简单实 际问题的流程图.结合作出的结构图,体会结构图在揭示事物联系中的作用. 【例题分析】 例 1 如图所示,将一系列指令用框图的形式表示,箭头指向下一步的操作.请按照框 图回答问题: (1)这个框图表示了怎样的算法? (2)输出的数是多少?

【分析】 由框图中的文字及图形符号表示的操作内容可知: 此算法是“求 1 到 50 的和”, 由此可以算出输出的数. 解:(1)此框图表示的算法为:求 1+2+3+?+50 的和; (2)易知所求和为 1275 【评析】程序框图主要包括三部分:表示相应操作的框,带箭头的流程线和框外必要的 说明. 读框图时要从这三个方面研究, 流程线反映了命令执行的先后顺序, 主要看箭头方向, 框及内外的文字说明表明了操作内容.常用这种方式考察对算法的理解和应用. 例 2 (1)如图所示的是一个算法的程序框图,已知 a1=3,输出的结果为 7,则 a2 的值 为________.

(2)如图所示的是某个函数求值的程序框图,则满足该程序的函数解析式为________. (3)如图所示的是求某个数列和的程序框图,此程序输出的结果为________. 【分析】这三个小题的重点在于读懂框图.(1)只含有顺序结构;(2)含有条件分支结构, 表明函数的定义域为 R,当 x<0 时,遵从解析式 f(x)=3x-1,否则(即当 x≥0 时),遵从解 析式 f(x)=2-5x;(3)中有两个循环变量 S、I,S 是累加变量.I 是计数变量;另外还要判断 I 的奇偶性,以此决定是加还是减. 解:(1)a2=11;(2) f ( x) ? ?

?3x ? 1( x ? 0) ; ?2 ? 5x( x ? 0)

(3)S=12-22+32-42+?+992-1002=-5050. 【评析】题(1)只含有顺序结构,所表示的算法比较简单,只需按照框图箭头方向依次 读出即可; 题(2)含有条件分支结构, 这是一个与分段函数有关的算法, 框图中含有判断框. 读

包含有判断框的框图时, 要特别重视判断框内的条件和框外的文字说明, 对应的下一步操作 会依条件不同而改变;题(3)含有循环结构,当解决一些有规律的科学计算问题,尤其是累 加和累乘时,往往可以利用循环结构来实现算法.循环结构有两种,读包含有循环结构的框 图时,除关注判断框内外的说明外,一般要从开始依顺序做几次循环,观察变量的变化规律 来帮助读懂算法的含义. 例 3 (1)已知平面上的一点 P0(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P0 到直线 l 的距 离 d,并画出程序框图; (2)用条件分支结构写“已知三个数 a、b、c,找出其中最大数”的算法及框图; (3)写出求 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? 的和的算法,画出程序框图,并写出相应程序(选做). 2 3 n

【分析】正确分析“算理”,才能选择恰当的算法结构,有条理的表达算法.(1)在已 知点到直线距离公式的前提下,适合用顺序结构表示;(2)涉及比大小,必须用到条件分支 结构;(3)中分母有规律的递增,可以引入累加变量 S 和计数变量 i,且 S=S+1/i 是反复进 行的,可以用循环结构表示. 解:(1)算法及框图为:

(2)算法及框图为:

(3)算法及框图为:

程序如下; S=0 For i=1∶1∶n S=S+1/i i=i+1 end print(%io(2),S) 【评析】书写算法时,一步一步地程序化步骤,即“算则”固然重要,但这些步骤的依 据,即“算理”有着更基本的作用,“算理”是“算则”的基础,“算则”是“算理”的表 现.这三道小题由于算理不同,所蕴含的算法结构也不同.通过实例,模仿、操作、探索, 经历通过设计程序框图表达解决问题的过程, 可以更好的理解几种基本算法语句——输入语 句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,体会和理解算法的含义,了解算法语言的 基本构成.本例中涉及的“利用公式求点到直线的距离”、“实数排序求最值问题”、“求 数列的和或积的问题”, 还包括“二分法求函数零点”、 “质数的判定”、 “求 π 的近似值” 等等,都是算法的典型案例,学习时要给予充分的重视.一般算法的表示方法并不唯一. 不同的算法语言的书写形式是有差别的. 本书所采用的是 Scilab 语言, 学习时要了解赋 值语句、输入输出语句、if 语句、while 和 for 语句的基本含义及表达方式,能够读懂语句表 示的算法过程. 例 4 (1)用辗转相除法计算 56 和 264 的最大公约数时, 需要做的除法次数是________; (2)用更相减损术求 56 和 98 的最大公约数时,操作如下:(98,56)(56,42)(42,14)(28, 14)(14,14),由此可知两数的最大公约数为________; (3)用秦九韶算法求得多项式 f(x)=x6-2x5+3x3+4x2-6x+5 当 x=2 时函数值为______ ____.

264 ? 4 ? 56 ? 40 56 ? 1? 40 ? 16 解:(1) ,所以最大公约数为 8,需做的除法次数是 4; 40 ? 2 ?16 ? 8 16 ? 2 ? 8 ? 0
(2)最大公约数为 14; (3)33. 【评析】 书上所涉及的古代基本算法案例包括: 更相减损术与辗转相除法、 秦九韶算法、 割圆术. 辗转相除法与更相减损术都是求最大公约数的方法, 辗转相除法又叫欧几里得方法, 计算上以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上,前者相对较少,特别是两个整数

相差较大时区别尤其明显;辗转相除法以余数为 0 结束,更相减损术则以减数与差相等结 束. 秦九韶算法的特点是把求 n 次多项式的值转化为求 n 个一次多项式的值, 运算时只有加 法和乘法,而且运算的次数比较少,求一个 n 次多项式的值最多需要进行 n 次加法、n 次乘 法.割圆术是由中国古代数学家刘徽提出的,是当时计算圆周率比较先进的算法,“算理” 明确,即用圆内接正多边形和外切正多边形逼近圆周率,重点是确定递推关系. 例 5 (09 辽宁)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据,其中收入记为正数,支 出记为负数.该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V.那么在图中空白的判断 框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的 ( )

A.A>0,V=S-T B.A<0,V=S-T C.A>0,V=S+T D.A<0,V=S+T 【分析】本题要注意三点:ak 有正有负;S 为总收入,是所有正数的和;T 为总支出, 是所有非正数的和. 答案为 C 【评析】 本题结合实际背景, 强调算法的应用价值, 是一种比较新的题型, 应引起关注. 例 6 如图,某人拨通了电话,准确为手机充值须如下操作________.

答案:拨通 95599,按 1,按 5,按 2,按 1. 【评析】该流程图直观地表达了解决问题的步骤过程,在解读时,一般按照从左到右、 从上到下的顺序,读完也就实现了系统具有的功能.

习题 9
一、选择题 1.任何一个算法都必须有的基本结构是 ( ) A.顺序结构 B.条件分支结构 C.循环结构 D.以上三个都要有 2.下面给出对程序框图的几种说法: ①任何一个程序框图都必须有起止框; ②判断框有一个入口,有不止一个出口; ③对于一个算法来说,判断框内的条件表达方式是唯一的; 其中正确的有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.算法: S1 输入 n; S2 判断 n 是否是 2;若 n=2,则 n 满足 条件, 若 n>2,则执行 S3; S3 依次从 2 到 n-1 检验能否整除 n, 若都不能整除,则 n 满足条件; 满足上述算法的 n 是 ( ) A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 4.“x=3*5”和“x=x+1”是某个程序中的先后相邻两个语句,那么下列说法正确的有 ( ) ①“x=3*5”是将数值 15 赋给 x,而不是普通运算“x=3*5=15”; ②“x=3*5”可以写成“3*5=x” ③语句“x=x+1”在执行时,“=”右边 x 为 15,“=”左边 x 为 16; A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

二、填空题 5.阅读下面两个程序框图,框图 1 输出的结果为________;框图 2 输出的结果为________.

框图 1 框图 2 6.阅读程序框图,若输入 m=4,n=6,则输出________,________.

6 题图 7.阅读程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是________.

7 题图

8.如图是某工程的工序流程图(工时单位:天),现已知工程总时数为 10 天,则工序 C 所需 工时为________天.

8 题图 三、解答题 9.分别用辗转相除法和更相减损术求 189 和 81 的最大公约数.

10.用循环语句书写求 1+2+3+?+n>1000 的最小自然数 n 的算法,画出程序框图,并 写出相应的程序(选做).

专题十

概率统计

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,为人们制定决策提供依据.概率是 研究随机现象规律的学科,为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方 法.在义务教育的基础上,统计一章进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本 方法;概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型.在必修课程学习统计的 基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方 法解决实际问题的基本思想, 认识统计方法在决策中的作用. 概率为统计学的发展提供了理 论基础.

§ 10-1





【知识要点】 1.事件与基本事件空间 随机事件:当我们在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不 可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件;在试验中可能发生也可能 不发生的结果称为随机事件,随机事件简称为事件. 基本事件与基本事件空间:在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结 果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述,这样的事件 称为基本事件.所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间,常用 Ω 表示. 2.频率与概率 频率:在相同的条件 S 下,重复 n 次试验,观察某个事件 A 是否出现,称 n 次试验中 事件 A 的出现次数 m 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例

m 为事件 A 出现的频率. n m 概率:一般的,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率 ,当 n 很大时总是在 n

某个常数附近摆动,随着 n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的 概率,记做 P(A).显然有 0≤P(A)≤1. 不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1,随机事件的概率在(0,1)之间. 3.互斥事件的概率加法公式 事件的并:由事件 A 或 B 至少有一个发生构成的事件 C 称为事件 A 与 B 的并,记做 C =A∪B. 互斥事件:不可能同时发生的两个事件称为互斥事件. 互斥事件加法公式:如果事件 A、B 互斥,则事件 A∪B 发生的概率等于这两个事件分 别发生的概率和,即 P(A∪B)=P(A)+P(B). 如果 A1,A2,?,An 两两互斥,那么事件 A1∪A2∪?∪An 发生的概率,等于这 n 个事 件分别发生的概率和,即 P(A1∪A2∪?∪An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件 A 的对 立事件记作 A ,满足 P( A )=1-P(A). 概率的一般加法公式(选学):事件 A 和 B 同时发生构成的事件 D,称为事件 A 与 B 的 交(积),记作 D=A∩B.在古典概型中,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 4.古典概型 古典概型:一次试验有下面两个特征:(1)有限性,在一次试验中可能出现的结果只有 有限个,即只有有限个不同的基本事件;(2)等可能性,每个基本事件发生的可能性是均等 的,则称这个试验为古典概型.

古典概型的性质:对于古典概型,如果试验的 n 个基本事件为 A1,A2,…,An,则有 P(A1∪A2∪?∪An)=1 且 P ( Ai ) ?

1 . n

概率的古典定义:在古典概型中,如果试验的基本事件总数为 n(Ω),随机事件 A 包含 的基本事件数为 n(A),则 p(A)=

n( A) 事件A包含的基本事件数 ,即 P( A) ? . 试验的基本事件总数 n(?)

5.几何概型 几何概型:一次试验具有这样的特征:事件 A 理解为区域 Ω 的一个子区域 A,A 的概 率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与 A 的位置和形状无关,这样的 试验称为几何概型. 几何概型的特点:(1)无限性,一次试验中可能出现的结果有无穷多个;(2)等可能性, 每个基本事件发生的可能性相等. 几何概型中事件 A 的概率定义: P( A) ?

?A ,其中 μΩ 表示区域 Ω 的几何度量,μA 表 ??

示子区域 A 的几何度量. 随机数:就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会均 等.计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法, 可以节约大量的人力物力. 【复习要求】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率 的区别; 2.了解两个互斥事件的概率加法公式; 3.理解古典概型及其概率计算公式,会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率; 4.了解随机数的意义,了解几何概型的意义. 【例题分析】 例 1 国家射击队的某队员射击一次,命中 7-10 环的概率如下表: 命中环数 概率 10 环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12 ?

求该队员射击一次, (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)至少命中 8 环的概率; (3)命中不足 8 环的概率. 【分析】射击运动员一次射击只能命中 1 个环数,命中不同的环数是互斥事件,射中 9 环或 10 环的概率等于射中 9 环与射中 10 环的概率和. 命中不足 8 环所包含的事件较多, 而 其对立事件为“至少命中 8 环”,可先求其对立事件的概率,再通过 P(A)=1-P( A )求解. 解:设事件“射击一次,命中 k 环”为事件 Ak(k∈N,k≤10),则事件 Ak 彼此互斥. (1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,则 P(A)=P(A10)+P(A9)=0.60; (2)记“射击一次,至少命中 8 环”为事件 B,则 P(B)=P(A10)+P(A9)+P(A8)=0.78;

(3)“射击一次,命中不足 8 环”为事件 B 的对立事件,则 P( B )=1-P(B)=0.22. 【评析】解决概率问题时,要先分清所求事件由哪些事件组成,分析是否是互斥事件, 再决定用哪个公式. 当用互斥事件的概率加法公式解题时, 要学会不重不漏的将事件拆为几 个互斥事件,要善于用对立事件解题. 例 2 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B1,B2,B3 通晓俄语, C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 【分析】本题是一个古典概型的问题,可以直接用概率公式 P( A) ?

n( A) 求解. n (?)

解:(1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本 事件空间 Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2), (A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1), (A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)} 由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的 发生是等可能的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2)}. 事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P ( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(2)用 N 表示“B1, 1 不全被选中”这一事件, C 则其对立事件 N 表示“B1, 1 全被选中” C 这一事件, 由于 N ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 由 3 个基本事件组成, 所以 P ( N ) ?

3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? . 18 6 6 6

【评析】 古典概型解决概率问题时, 选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要 的一步.本题中选定“从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果” 为基本事件空间,计算时采用列举法,也可以利用乘法计数原理计算 3?3?2=18.本题第 一问还可以选定“从通晓日语的 3 人中选出 1 人的可能结果”为基本事件空间, 共有 3 个基 本事件,选出 A1 只有一种可能,故所求概率为

1 . 3

例 3 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出 一个球,摸出的球不再放回. (1)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (2)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率. 【分析】本题是一个古典概型问题,因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多,宜

用两个计数原理计数.做第二问时,要分为三个事件:“第一次摸到红球”,“第一次摸到 不是红球,第二次摸到红球”,“前两次摸到不是红球,第三次摸到红球”,显然三个事件 是互斥事件. 解:(1)从袋中依次摸出 2 个球共有 9?8=72 种结果,第一次摸出黑球且第二次摸出白 球共有 3?4=12 种结果,所求概率为

P? 1

3? 4 1 ? . 9?8 6
2 , 9

(2)设“第 i 次时第一次摸出红球”为事件 Ai(i=1、2、3),Ai 彼此互斥,则 P(A1)=

7?2 7 7?6? 2 1 ? , P( A3 ) ? ? , 9 ? 8 36 9?8? 7 6 2 7 1 7 ? ? . 所述概率为 P2=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ? 9 36 6 12 P( A2 ) ?

【评析】利用古典概率求解时,求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致,若 无序则都无序, 若有序则都有序, 分子和分母的标准要相同. 在求事件个数时常用列举法(画 树状图、列表、坐标系法),有时也与排列组合联系紧密,计算时灵活多变,但要注意分类 讨论,做到不重不漏. 例 4 (1)两根相距 6 米的木杆上系一根绳子, 并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都 大于 2 米的概率是________. (2)甲乙两人约定在 6 点到 7 点之间在某处会面,并约好先到者等候另一人一刻钟,过 时即可离去.则两人能会面的概率是________. (3)正方体内有一个内切球,则在正方体内任取一点,这个点在球内的概率为________. 【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解.分别转化为线段长度、图形面积、几 何体体积问题求解. 解:(1)本题可转化为:“在长为 6m 的线段上随机取点,恰好落在 2m 到 4m 间的概率 为多少?”易求得 P=

1 ; 3 7 ; 16

(2)本题可转化为面积问题:即“阴影部分面积占总面积的多少?”,解得 P(A)=

(3)本题可转化为体积问题:即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”.解得 P

π = . 6

【评析】几何概型也是一种概率模型,它具有等可能性和无限性两个特点.解题的关键 是要建立模型,将实际问题转化为几何概率问题.基本步骤是:把基本事件空间转化为与之 对应的区域 Ω; 把随机事件 A 转化为与之对应的区域 A; 利用概率公式 P(A)=

? ( A) 计算. 常 ? ( ?)

用的几何度量包括:长度、面积、体积. 例 5 设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求上述方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有 实根的概率. 【分析】本题第一问是古典概型问题,第二问由于 a、b 在实数区间选取,可以转化为 几何概型问题求解. 解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共 12 个: (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3, 1),(3,2).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本 事件,事件 A 发生的概率为 P(A)=

9 3 ? . 12 4

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为{(a,b)| 0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为= ? ? . 3?2 3
【评析】 几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的, 只是几何概型的 基本事件有无限个,而古典概型的基本事件有有限个.在具体问题中,不能因为古典概型的 基本事件的个数多而误认为是几何概型. 例 6 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%. 现采用随机模拟的方法估计该运动 员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1, 2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投 篮的结果, 经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 907 257 393 027 556 488 730 113 537 989. 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(B) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 【分析】 本题的 20 组模拟数中, 恰好两次命中(即含有两个 1-4)的有 5 组: 271 932 191 812 393,所得概率为 0.25. 【评析】 利用随机数模拟实验可以节约大量的人力物力. 利用计算机模拟求概率实质上 是利用统计结果近似,需要大量实验.本题若按照独立事件求得概率为 0.288,与统计结果 有差距,要正确理解这一差距的原因.

练习 10-1
一、选择题 1.下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的 ( ) A.频率就是概率 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数增加,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2. 从装有 2 个黑球 2 个白球的口袋中任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 A.至少有一个白球,都是白球

(

)

B.至少有一个白球,至少有一个红球 C.恰有一个白球,恰有两个白球 D.至少有一个白球,都是红球 3.一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其 余的是黑球.若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的 概率为( ) A.

1 22

B.

1 11

C.

3 22

D.

2 11

4.电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任 一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 ( ) A.

1 180

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480

二、填空题 5.甲、乙二人做掷骰子游戏,两人掷同一枚骰子各一次.则至少出现一个 5 点或 6 点的概 率是________;如果谁掷的点数大谁就取胜,则甲取胜的概率为________. 6.一个袋中装有 3 个红球和 n 个白球,从中任取三个,已知取出的球至少有一个是白球的 概率为

34 ,则 n 的值为________. 35

7. 在平面直角坐标系 xOy 中, D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域, 设 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率__ _______. 8.已知一组抛物线 y ?

1 2 ax ? bx ? 1 ,其中 a 为 2、4、6、8 中任取的一个数,b 为 1、3、 2

5、7 中任取的一个数.从这些抛物线中任取两条,它们在 x=1 处的切线平行的概率是 __ ______. 三、解答题 9.已知集合 A={-4,-2,0,1,3,5},在平面直角坐标系中点 M(x,y)的坐标满足 x∈A, y∈A. 计算:(1)点 M 恰在第二象限的概率; (2)点 M 不在 x 轴上的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (3)点 M 恰好落在区域 ? x ? 0 上的概率. ?y ? 0 ?

10.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位 至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

11.已知袋中有编号 1-9 的小球各一个,它们的大小相同,从中任取三个(不放回), (1)恰好有一球编号是 3 的倍数的概率; (2)至少有一球编号是 3 的倍数的概率; (3)三个小球编号之和是 3 的倍数的概率.

§ 10-2





【知识要点】 1.随机抽样 总体、个体、样本:把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体,构成 总体的每一个元素称为个体,从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本. 随机抽样:抽样时,保证每一个个体都可能被抽到,且每个个体被抽到的机会均等,满 足这样条件的抽样为随机抽样. 简单随机抽样:从元素个数为 N 的总体中,不放回的抽取容量为 n 的样本,如果每一 次抽样时,总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫简单随机抽样. 系统抽样:当总体个数很大时,可将总体分成均匀的若干部分,然后按照预先制定的规 则从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样的方式叫做系统抽样. 分层抽样: 当总体由有明显差异的几部分组成时, 将总体中各个个体按某种特征分成若 干个互不重叠的几部分, 每一部分叫做层, 在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽 样或系统抽样,这种抽样方法叫做分层抽样. 三种抽样方法的比较: 类别 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部 分,按预先制定的规 则在各部分抽取 将总体分成几层,分 层进行抽取 在起始部分抽样 时采用简单随机 抽样 分层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样 联系 适用 总体个数较少 简单 随机 (1) 抽 样 过 程 中 每 个 抽样 个体被抽到的可能性 系统 相等 抽样 (2)每次抽出个体后 不再将它放回,即不 分层 放回抽样 抽样

总体个数较多 总体由差异明显 的几部分组成

2.用样本的频率分布估计总体的频率分布 常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数 据,观察样本数据的特征,从而估计总体的分布情况. 频率分布(表)直方图的画法步骤: (1)计算极差(用样本数据的最大值减去最小值); (2)决定组数与组距(组数?组距=极差); (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)绘制频率分布直方图. 易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率,所有小长方形面积之和等于 1. 频率分布折线图: 连结频率分布直方图各个长方形上边的中点, 就得到频率分布折线图. 总体密度曲线:随着样本容量的增加,分组的组距不断缩小,相应的频率分布折线图就 会越来越接近于一条光滑曲线, 这条光滑曲线就叫做总体密度曲线. 总体密度曲线精确地反 映了一个总体在各个区域内取值的规律. 茎叶图:茎指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.在样本数据较少时,茎叶 图表示数据的效果较好.它的突出优点是:统计图中没有原始数据的损失,所有的数据信息 都可以从茎叶图中得到;茎叶图可随时记录,方便表示. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征

样本数据的平均数:如果有 n 个数 x1,x2,?,xn,那么 x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn 叫做这 n n

个数的平均数. 标准差:样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,其中

s?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ... ? ( xn ? x) 2 . n

方差:标准差的平方 s2 叫做方差. s 2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 . n

4.两个变量间的关系 散点图: 两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来, 这些点对应的图形 叫做散点图. 线性相关: 若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动, 则这两个变量 可近似看成具有线性相关关系. 回归直线方程: 从散点图上看, 如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条

? 直线附近,则这条直线叫做这些数据点的回归直线方程,记作 y =bx+a,其中称 b 为回归
系数. 最小二乘法:假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数组

? (x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),求得 b ?

?( xi ? x) ? ( yi ? y)
i ?1

n

?( x ? x )
i ?1 i

n

?

?x ? y
i ?1 i

n

i

? nx ? y


2

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

? 这时离差 Q ? ( y ? a ? bx ) 2 最小, ? ? ? 这 ? 所求回归直线方程是 y ? bx ? a . a ? y ? bx , ? i i
i ?1

n

种求回归直线的方法称为最小二乘法. 【复习要求】 1.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样方法; 2.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎 叶图,理解它们各自的特点; 3.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算样本数据平均数、标准差,并给出合理 解释; 4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征,理解用样本估计总体的思想; 5.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.了解 最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 【例题分析】 例 1 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系 统抽样法,将全体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号,…,196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是________,若 用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________人.

【分析】由已知系统抽样的组距为 5,所以相邻组间的号码相差 5;由饼形图可知 200 名职工中,50 岁以上人数;40-50 岁人数;40 岁以下人数=2∶ 5,总样本为 40 人,分 3∶ 层抽样抽取每层人数比例为 2∶ 5. 3∶ 解:37;20. 【评析】系统抽样的特征是等距,也就是只要在一组内选定号码,其余各组的号码随之 选定,所选相邻号码的间隔为组距.分层抽样的特征是按比例抽取,也就是每一层所选人数 占总选出人数的比例与每层人数占总人数的比例相等. 抽样是统计分析的重要部分, 最常用 的抽样方法是简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样, 抽样时每个个体被抽到的可能性相等. 简 单随机抽样常用抽签法和随机数表法. 例 2 对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 寿命(h) 个数(个) [100,200) 20 [200,300) 30 [300,400) 80 [400,500) 40 [500,600) 30

(1)列出频率分布表: (2)画出频率分布直方图; (3)估计电子元件寿命在[100,400)以内的概率; (4)估计电子元件寿命在 400h 以上的概率. 【分析】按要求列表、绘图,并用样本的分布估计总体的分布. 解:(1)频率分布表: 寿命(h) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) 寿命(h) [500,600) 合计 (2) 频数 20 30 80 40 频数 30 200 频率 0.10 0.15 0.40 0.20 频率 0.15 1.00

(3)P=0.10+0.15+0.40=0.65. (4)P=1-0.65=0.35. 【评析】 频率分布表和频率分布直方图是用统计的方法对样本数据加以概括和总结. 列 频数分布表时,要区分频数和频率的意义,画频率分布直方图时要注意横、纵坐标代表的意 义和单位. 频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小, 常用样本数据落 在某个范围的频率估计总体落在这个范围的概率. 频率分布直方图中众数是最高矩形中点的 横坐标,中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标. 例 3 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm),结果如下: 甲品种: 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ①_________________________________________________________________________ ; ②_________________________________________________________________________ . 【分析】抽样数据比较分散,很难观察数据的分布特征,通过茎叶图展现了样本数据的 分布.通过茎叶图可观察出平均数、众数、中位数,数据分布的对称性等,由于茎叶图保留 了原始数据,还可计算平均数、方差、标准差. 解:(可任选两个作答)(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度; (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中). (3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为

318mm; (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近),甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 【评析】茎叶图是统计图表的一种,它具有统计图表的一般功能:通过样本的数据分布 推断总体的分布, 通过样本的数字特征估计总体的数字特征. 本题中的统计结论是指用样本 的特征估计总体特征得到的结论. 例 4 图甲是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的 学生人数依次记为 A1、 2、 A …、 m(如 A2 表示身高(单位: A cm)在[150, 155)内的学生人数). 图 乙是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160~ 180cm(含 160cm,不含 180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是___ _____.

图甲 图乙 【分析】条形图的横坐标是身高,纵坐标为每个身高区间内的人数.条形图没有提供具 体的数据信息.程序框图的算法含义是统计[160,180)内学生人数,即求 A4+A5+A6+A7 的和. 解:i<8 或 i≤7. 【评析】设计算法利用计算机完成数据的统计工作,是实际统计工作中经常应用的.除 了可以完成计数工作外,还可排序、求最值,利用公式进行各种计算等.将算法和统计一起 考查是新课程的一个特色. 例 5 甲、乙两位运动员在相同的条件下分别射击 10 次,记录各次命中环数如下: 甲:8,8,6,8,6,5,9,10,7,4 乙:9,5,7,8,7,6,8,6,8,7 (1)分别计算他们射击环数的平均数及标准差; (2)判断他们射击水平谁高,谁的射击情况更稳定? 【分析】平均数、标准差分别反映了两个选手的射击水平和稳定程度,平均数越高说明 选手射击水平越高,标准差越小说明选手发挥越稳定. 解:(1)甲的平均数为 7.1,标准差为 1.758;乙的平均数为 7.1,标准差为 1.136. (2)从平均值上看,两人的水平相当;从标准差上看,乙的情况更稳定. 【评析】平均数反映的是平均水平的高低,方差和标准差反映的是数据的离散程度.如 果样本数据中每个数都增加数 a,则它的平均数也增加 a,但是它的标准差不变,因为数据 的离散程度没有变化.由于方差与原始数据的单位不同,而且可能夸大了偏离程度,实际解 决问题中常采用标准差. 例 6 假定关于某设备的使用年限 x 和所支出费用 y(万元),有如下的统计资料: 使用年限 x 2 3 4 5 6

维修费用 y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

(1)请画出上表数据的散点图;

? ? (2)根据上表数据,用最小二乘法求出线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)估计使用 10 年时,维修费用是多少?

? 【分析】利用描点法画出散点图,再用公式 b ?

?x ? y
i ?1 i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

n

? ? , a ? y ? b x 求得回归

2 i

直线方程,取 x=10 求得结果.

解:(1)散点图如右图; (2)y=0.08+1.23x; (3)12.38. 【评析】判断两个变量有无相关关系时,散点图直观简便,这是一道应用问题,通过回 归直线方程分析使用年限和维修费用的关系. 例 7 某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人),另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数). (1)A 类工人和 B 类工人各抽查多少工人? (2)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2. 表 1: 生产能力分组 人数 表 2: 生产能力分组 人数 [110,120) 6 [120,130) y [130,140) 36 [140,150) 18 [100,110) 4 [110,120) 8 [120,130) x [130,140) 5 [140,150) 3

(1)先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A 类工人 中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直 方图直接回答结论)

图 1 A 类工人生产能力的频率分布直方图

图 2 B 类工人生产能力的频率分布直方图 (2)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的 平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表). 【分析】第一问考查分层抽样,第二问考查频率分布直方图的画法和作用,同时考查样 本平均数的求法. 解:(1)A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名. (2)①由 4+8+x+5+3=25,得 x=5;6+y+36+18=75,得 y=15. 频率分布直方图如下:

A 类工人生产能力的频率分布直方图

B 类工人生产能力的频率分布直方图 从直方图可以判断:B 类工人中个体间的差异程度更小. ② xA ?

4 8 5 5 3 ?105 ? ?115 ? ?125 ? ?135 ? ?145 ? 123 , 25 25 25 25 25

xB ?

6 15 36 18 ?115 ? ?125 ? ?135 ? ?145 ? 133 .8 , 75 75 75 75 25 75 x? ?123 ? ?133 .8 ? 131 .1 . 100 100

A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均 数的估计值分别为 123,133.8 和 131.1. 【评析】本题是一道综合应用题,通过语言叙述和图表给出信息.频率分布直方图反映 了数据分布的情况,在学习中要深入理解.

练习 10-2
一、选择题 1.某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任 意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 2.从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,若采用系统抽样法,则抽样间隔为 ( ) A.

N n

B.n

C. [

N ] n

D. [

N ] +1 n

3.下图是根据《山东统计年整 2007》中的资料做成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户 家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百 位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 ( )

3 9 3 0 3 1

1 1 5 8 2 6 0 2 4 7

A.304.6 B.303.6 C.302.6 D.301.6 4.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表: 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 乙的成绩 环数 频数 7 6 8 4 丙的成绩 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4 9 4 10 6 9 5 10 5

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有 ( ) A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3 C.s1>s2>s3 D.s2>s3>s1 二、填空题 5. 要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标, 现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行 检验,将它们编号为 001,002,?,800,利用随机数表抽取样本,从第 7 行第 1 个数

开始, 依次向右, 再到下一行, 继续从左到右. 请问选出的第七袋牛奶的标号是________. (为了便于说明,下面摘取了随机数表的第 6 行至第 10 行). 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28 6. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量. 产 品数量的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到频率 分布直方图如图,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________.

7.将一个容量为 n 的样本分成若干组,已知某组的频数、频率分别为 30、0.25,则 n 的值 为________. 8.随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 a1,a2,…,an.则如图所示的程序框图输出 的 s=________,s 表示的样本的数字特征是________.

三、解答题 9.甲、乙两个车间分别制作一种零件,在自动包装传送带上每隔 10 分钟抽取一件产品,测 其质量,分别记录抽查的数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99; 乙:105,102,97,92,96,101,107. (1)这种抽样方法是什么抽样? (2)估计甲、乙两车间产品质量的平均值和方差,并分析哪个车间的产品较稳定; (3)如果产品质量在区间(95,105)内为合格,那么这个工厂生产的产品合格率为多少?

10.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产

能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据: x y (1)请画出上表数据的散点图; 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y =bx+a;
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据(2)求出的线性同归方程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3?2.5+4?3+5?4+6?4.5=66.5)

习题 10
一、选择题 1.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张中至少 有 2 张价格相同的概率为 ( ) A.

1 4

B.

79 120

C.

3 4

D.

23 24

2.ABCD 是长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到 0 的距离大于 1 的概率为 ( ) A.

π 4

B. 1 ?

π 4

C.

π 8

D.1 ?

π 8

3.为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校 100 名高中男生的体重情况,根据所 得数据画出样本的频率分布直方图如下图所示. 根据此图, 估计该校 2000 名高中男生中 体重大于 70.5 公斤的人数为 ( )

A.300 B.360 C.420 D.450 4. 将一组数据中的每一个数据都减去 10 得到一组新的数据, 如果这组新数据的平均数和方 差分别为 1.2 和 0.4,那么原来这组数据的平均数和方差分别为 ( ) A.1.2,0.4 B.2.2,1.4 C.0.2,0.4 D.2.2,0.4

? 5. 某地区调查了 2-9 岁儿童的身高, 由此建立的身高 y(cm)和年龄 x(岁)的回归模型为 y =
8.25x+60.13,下列叙述正确的是 ( ) A.该地区一个 10 岁儿童的身高为 142.63cm B.该地区 2-9 岁的儿童每年身高增长约 8.25cm C.该地区 9 岁儿童的平均身高为 134.38cm

D.利用这个模型可以准确预算出该地区每个 2-9 岁儿童的身高 二、填空题 6.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取 三个,这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示). 7.已知 AB =(k,1), AC =(2,4),若 k 为满足| AB |≤5 的一个随机整数,则△ABC 是一 个直角三角形的概率为________. 8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手,若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为________. 9.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量比为 2∶3∶5,现用分层抽样的方 法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 16 件,则样本的容量 n=________. 10.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取 20 袋,测得各袋的质量分别为(单位:g): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g~ 501.5g 之间的概率约为________. 三、解答题 11.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据 的茎叶图(1)根据茎叶图.判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差;(3)现 从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学, 求身高为 176cm 的同学 被抽中的概率.

12.为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查.6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分 看成一个总体. (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

13.某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 373 初二年级 x 初三年级 y

男生

377

370

z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.

专题十一 复 数
本专题内容主要是复数的概念、复数的运算.引入虚数,这是中学阶段对数集的最终扩 充.需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系,掌握复数代数形式的运算(包括加、减、 乘、除),了解复数的几何表示.由于向量已经单独学习,因此复数的向量形式与三角形式 就不作要求,主要解决代数形式. 【知识要点】 1.复数的概念中,重要的是复数相等的概念.明确利用“转化”的思想,


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