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七宝中学高二2014学年度第一学期高二年级数学期末考试(答案确定版)



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2014 学年度第一学期高二年级数学期末考试
命题人: 申志莲 审核人:方志翔 打印人:申志莲 (完卷时间:90 分钟 满分:100 分) 一、填空题(每小题 3 分,共 36 分): 1. 抛物线 y 2 ? 8x ? 0 的焦点坐标为 (?2,0) . 2. 双曲线 3x 2 ? y 2 ? 8 的两条渐近线所成的最小正角为 3. 直线 y ?

? 3



1 x 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 x ? 2y ? 2 ? 0 2 4. 已知 A(1,3) , B(5,?2) ,点 P 在 x 轴上,且使 AP ? BP 最大,则点 P 的坐标为
5. 已知焦点为 (0,3) 的双曲线方程是 8kx2 ? ky2 ? 8 ,则 k ? ? 1 .

(13,0)

6. 若直线 x ? 2 y ? m ? 0 ,按向量 a ? (?1, ?2) 平移后与圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则 ? 13 或 ? 3 实数 m 的值为 . 7. 已知复数 z ?

4(2 ? 5i)4 ,则 z ? 3(1 ? 3i)2

27

.

8. 在抛物线 y 2 ? 4 x 上有三点 A, B, C , ?ABC 的重心是抛物线的焦点,则 FA ? FB ? FC ?

6

. -2 或 0 或 1

9. 关于 x 的方程 x 2 ? x ? p ? 0( p ? R) 至少存在一个根 x 0 , 若 x0 ? 1 ,则 p ?

10. 已 知 两 点 M (0,?5) , N (4,3) , 给 出 下 列 曲 线 方 程 : ① x ? 2 y ? 1 ? 0 ; ②

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ; ③

| PM |?| PN | 的方程的序号是 ②、③

x2 x2 ? y2 ? 1 ; ④ ? y2 ? 1 . 则 曲 线 上 存 在 点 P 满 足 4 4
.

1 x 与所列曲线存在交点的问题. ] 2 11. 已知若动点 P 在直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 上,动点 Q 在直线 l1 : x ? y ? 6 ? 0 上,设线段 PQ 的
②、③.[提示:问题可转化为线段 MN 的垂直平分线 y ? ?
2 2

中点为 M ( x0 , y0 ) ,且 ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 2)2 ? 8 ,则 x0 ? y0 的取值范围是___ ?8,16?_____.

12. 我们可以运用下面的原理解决一 些相关图形的面积问题:如果与一固 定直线平行的直线被甲、乙两个封闭 图形所截得线段的比为定值 k ,那么 甲的面积是乙的面积的 k 倍,你可以 从给出的简单图形①(甲:大矩形 ABCD 、 乙: 小矩形 EBCF ) 、 ② (甲: 大直角三角形 ABC 乙: 小直角三角形 DBC ) 中体会这个原理, 现在图③中 的曲线分别是
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
2

与 x ? y ? a ,运用上面的原理,图③中椭圆的面积为

?ab
1

二、选择题(每小题 4 分,共 16 分): 13. 已知点 P , 1), P2 (5, 4) 到直线 l 的距离等于 1 (1 A.2 14. 设 f (n) ? ? A.1 B.3
n n

5 ,则这样的直线 l 共有( B 2
D.无数条

)条.

C.4

?1? i ? ?1? i ? ? ?? ? (n ? N ) ,则集合 ?x x ? f (n)?中元素个数是( C ?1? i ? ?1? i ?
B.2 C.3 D.无穷多个

).

15. 设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x2 ? 4 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为 半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( C A.(0,1) B.[0,1] C.(1,+∞) ) D.[1,+∞) ).

16.在平面直角坐标系中, 若 x 与 y 都是整数, 就称 ( x, y ) 为整点, 下列命题中正确的是( D ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. A.① ⑤ B.② ④ C. ④ ⑤ D.① ③ ⑤

三、解答题(共 48 分): ? 1) , B(10, 5) ,角 B 的平分线所在的直线方程为 17.(8 分) 已知 ?ABC 的顶点 A(3,

x ? 4 y ? 10 ? 0 .求 BC 边所在直线方程;
解:点 A(3, ?1) 关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 对称的点 A 的坐标为: A' (1, 7) ,
'

? 2 x ? 9 y ? 65 ? 0
18.(4+4 分) 已知:以点 C (t , )( t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A ,与 y 轴交于点

2 t

O、B ,其中 O 为原点. (1)求证: ?OAB 的面积为定值;
(2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程. 解: (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

4 . t2

设圆 C 的方程是

2 4 (x ? t)2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t

(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

2

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离

d?

1 5

? 5 ,圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点.

当 t ? ?2 时 , 圆 心 C 的 坐 标 为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此 时 C 到 直 线 y ? ?2 x ? 4 的 距 离

d?

9 5

? 5 ,圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,? t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 。
19.(4+6 分) 设 P, Q 是复平面上的点集, P ? z | z ? 3i |? 4 , Q ? (1) P, Q 分别表示什么曲线(指出形状、位置、大小)? (2)设 z1 ? P, z2 ? Q ,求 z1 ? z2 的最大值与最小值。 解:设 z ? x ? yi( x, y ? R) ,

?

?

?? ? ? 2iz, z ? P?.

P 表 示 以 (0,3) 为 圆 心 , 2 为 半 径 的 圆 ; 设 ? ? x1 ? y1i( x1, y1 ? R) , z ? x0 ? y0i ? p, ( x0 , y0 ? R) ,且 ? ? 2iz ,

1 ? ? x1 ? ?2 y0 ? x0 ? ? 2 y1 2 2 则? ,即 ? ,代入 x0 ? ( y0 ? 3)2 ? 4 ,得 ( x1 ? 6) 2 ? y1 ? 16 ,故 Q 表示 1 ? y1 ? 2 x0 ? y0 ? x1 2 ? 以 (?6,0) 为圆心, 4 为半径的圆。 (2) z1 ? z2 表示分别在圆 P, Q 上的两个动点间的距离。又圆
心距离 PQ ? 3 5 ? 2 ? 4 ,所以 z1 ? z2 的最大值为 6 ? 3 5 ,最小值 3 5 ? 6 . 20. (4+6 分)已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F 。
2

uu u r uu r P 满足 AP ? ?2FA 。当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程; (1)点 A、 (2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在, 求所有满足条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由。 uu u r y) ,点 A 的坐标为 ( xA, 解: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y A ) ,则 AP ? ( x ? xA, y ? yA ) , uur 0) ,所以 FA ? ( xA ? 1, 因为 F 的坐标为 (1, yA ) , uu u r uu r 由 AP ? ?2FA 得 ( x ? xA, y ? yA ) ? ?2( xA ?1 , yA ) 。
? x ? x A ? ?2( x A ? 1) ? xA ? 2 ? x 解得 ? ? y ? y A ? ?2 y A ? yA ? ? y 2 2 代入 y ? 4 x ,得到动点 P 的轨迹方程为 y ? 8 ? 4 x 。 y) , 0) .点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 Q?( x, (2)设点 Q 的坐标为 (t,
即?

3

1 ? y ?? ? ?x?t 2 则? ?y ? x?t ? ?2

3 ? x?? t ? ? 5 解得 ? ?y ? 4 t ? 5 ?
15 。 4

2 若 Q? 在 C 上,将 Q? 的坐标代入 y 2 ? 4 x ,得 4t ? 15t ? 0 ,即 t ? 0 或 t ? ?

所以存在满足题意的点 Q ,其坐标为 (0, 0) 和 (?

15 , 0) 。 4

21. (5+7 分 ) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,短轴的端点分别为 a 2 b2

B1, B2 ,且 FB1 ? FB2 ? ?a . (1)求椭圆 C 的方程;
(2)过点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,弦 MN 的垂直平分线与 x 轴相交 于点 D . 设弦 MN 的中点为 P ,试求

DP 的取值范围. MN

解: (1)依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? (?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) .
2 2 2 由 FB1 ? FB2 ? ?a ,得 1 ? b ? ?a . 又因为 a ? b ? 1 ,解得 a ? 2, b ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3
y ? k ( x ? 1) .

( 2 ) 依 题 意 直 线 l

的 方 程 为

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 ?1 ? ? ? 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 .
8k 2 4k 2 ? 12 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
所以弦 MN 的中点为 P ( 所以 MN ?

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
2

12(k 2 ? 1) 64k 4 4(4k 2 ?12) . ? (k ? 1)[ ? ]? 4k 2 ? 3 (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2
直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ), 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3
4

由 y ? 0 ,得 x ?

3 k 2 (k 2 ? 1) k2 k2 D ( ,0) ,则 ,所以 . DP ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) 2 DP 1 k2 1 1 4 k ? 3 ? ? 所以 . ? 1? 2 2 2 12(k ? 1) MN 4 k ?1 4 k ?1 4k 2 ? 3
又因为 k 2 ? 1 ? 1 ,所以 0 ?

DP 1 1 1 1 ? 1 . 所以 0 ? 的取值范围 1? 2 ? . 所以 k ?1 4 k ?1 4 MN
2

是 (0, ) .

1 4

5



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