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广东省仲元中学、中山一中等七校2017届高三第一次联考数学(理)



广东七校联合体 2017 届高三第一次联考试卷

理科数学
命题人:普宁二中 审题人:普宁二中

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
(1)如果全集U=R,A={x|x2-2x>0},B={x|y=ln(x-1)},则A ? CU B ? ( (A

) (2,+∞) (B) (-∞,0)∪(2, +∞) (C) (-∞,1]∪(2, +∞) (D) (-∞,0) )

(2)复数 z 满足 z=(5+2i)2 其中 i 为虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数.则在复平面上复 数 z 对应的点位于( (A) 第一象限 ) (C) 第三象限 (D) 第四象限 )

(B) 第二象限

(3)已知等比数列{an }的 S3 ? 7 ,若 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,则 a1 ? ( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 )
2 2

(4)执行右图的程序框图,输出的 S 的值为( (A) ?1 (B) 0 (C) 1

(D) ?1 ?

(5)下面是关于向量的四个命题,其中的真命题为(



p1 : 同一组基底下的同一向 量的表现形式是唯一的 。

p2: a // b是(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)的充分条件。 p3 : 在?ABC中,若AB ? BC ? 0,则?ABC为钝角三角形。
3 p4 : 已知 a ? 2 ,向量 a 与 b 的夹角是 ? ,则 a 在 b 上的投影是 2 。 4
(A) p1 , p2 (B) p2 , p3 (C) p? , p? (D) p? , p?

(6)如图,网格纸上小正方形的边长为

1 ,粗线画出的是 2
) (D) 6

某几何体的三视图,则该几何体的体积为( (A)

? x ? y ? 2 ? 0, ? (7)若函数 y ? ln(ax ? x ? 1 ( ) a ? 0) 为奇函数,设变量 x,y 满足约束条件 ?x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 1, ? 则目标函数 z=ax+2y 的最小值为( )
2

20 3

(B)

25 3

(C) 4

-1-

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(8)甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛没有平局,在 每一场比赛中,甲胜乙的概率为 且丙获第二名的概率;( (A) ) (C)

2 1 1 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 .则甲获第一名 3 4 5
1 30 2 15

11 12
5

(B)

1 6

(D)

(9) ( x ? y ? 3) 展开式中不含 y 的各项系数之和为( ) (A) 2
5

(B) 3

5

(C) 4

5

(D)(x ? 3) 5

(10)在平面直角坐标系中,点 A(0,1)和点 B(4,5)到直线 ? 的距离分别为 1 和 2,则符合 条件的直线 ? 的条数为( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(11)如图,将绘有函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ( ? ? 0,

?
2

? ? ? ? )部分图象的纸片沿 x 轴折


成直二面角,若 AB 之间的空间距离为 15 ,则 f ? ?1? ? ( (A) ? 1 (B) 1 (C) ? 3 (D)

3

(12)若函数 f ( x) ? e ( x ? 2x ? 1 ? 2a) ? x 恒有两个零点,则 a 的取值范围为(
x 2



(A) ?0,1?

(B)

?? ?,1?

(C) ( ?? ,

1 ) 2e

(D) (

1 ,?? ) 2e

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
(13)如图,在正方形 OABC 内,阴影部分是由两曲线 y ?

x , y ? x 2 (0 ? x ? 1)

围成,在正方形内随机取一点,且此点取自阴影部分的概率是 a, 则函数 f ? x ? ? ? 1

?log3 x( x ? a) ? 的值域为 x ( ) ( x ? a ) ? ? 3

.

(14)在四面体 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC ,AB=AC=2,BC=PC= 2 2 ,则该四面体外 接球的表面积为 .
-2-

(15)设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 仅有两个交点,则 2 a b
.

该双曲线的离心率为

(16)已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? a n ? ( ) n ?1 ? 2(n ? N * ) ,设数列{cn}满足:

1 2

a n (c n ? 3 n ) ? (?1) n ?1 ?n ( ? 为非零常数, n ? N * ),存在整数 ? ,使得对任意 n ? N * ,
都有 c n ?1 ? c n ,则 ? ? ________.
A

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 且 sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C .(1)求 B 的大小;
2 2 2

B

D

C

(第 17 题)
图)

(2)设 ?BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D , AD ? 2 3 , BD ? 1 ,求 sin ?BAC 的值. (18)(本小题满分 12 分) 自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使 得“要不要再生一个”, “生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开 的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有 生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 有生育意愿家庭数 14 4 15 8 16 16 17 20 18 26

(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意 愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位 根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ? 表示两种方案休假周数之和.求随机变量 ? 的分布列及数学期望. (19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中, 面PAB ? 面ABCD , PA ? PB ? 3 ,且四边形 ABCD 为

P
0 菱形, AD ? 2 , ?BAD ? 60 .

(1)求证: AB ? PD ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦值。

B

C

-3-

A

D

(20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 2 ,且点 P(2,1) 在椭圆 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? a 2 b2 2

C 上.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A 、 B 都在椭圆 C 上,且 AB 中点 M 在线段 OP (不包括端点)上.求 ?AOB 面积 的最大值. (21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ln x ? 1 ,其中 e 是自然对数的底数 (1)求证:函数 f ( x) 存在极小值;

ex m 1 (2)若 ?x ?[ , ??) ,使得不等式 ? ln x ? ? 0 成立,求实数 m 的取值范围. 2 x x
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已 知 A, B, C , D 为 圆 O 上 的 四 点 , 直 线 PA 切 圆 O 于 点 A ,

C B P G D A

PA // BD , AC 与 BD 相交于 G 点.
(1)求证:点 A 为劣弧 BD 的中点. (2)若 AC ? 6 , AB ? 3 , BC ? 4 ,求 BG 的长. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点错误!未找到引用源。处,极轴与错误!未 找到引用源。轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线错误!未找到引用源。的极坐标方程 为:错误!未找到引用源。,若点错误!未找到引用源。为曲线 错误!未找到引用源。, (?为参数) 错误!未找到引用源。上的动点,其中参数错误!未找 到引用源。. (1)试写出直线错误!未找到引用源。的直角坐标方程及曲线错误!未找到引用源。的普通 方程; (2)求点错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。距离的最大值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数 f(x)=1+|2x-3|.

-4-

(1)求不等式 f(x)≥|3x+1|的解集; (2)若不等式 f(x)-tx ≥ 0 的解集非空,求 t 的取值范围

-5-

2017 届

宝安中学,潮阳一中,桂城中学, 南海中学,普宁二中,中山一中,仲元中学

高三摸底考

理科数学 答案
一、选择题: 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 A 14. 16? ; 7 B 15. 8 D 9 C 10 D 16. -1. 11 D 12 C

二、填空题:13. ?? 1 , ? ?? ;

5;

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 sin A ? sin C ? sin B ? sin a sin c .
2 2 2

(1)求 B 的大小; (2)设 ?BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D , AD ? 2 3 , BD ? 1 ,求 sin ?BAC 的值. (17)(本小题满分 12 分) 解:(1) sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C
2 2 2

? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac
? cos B ? a2 ? c2 ? b2 ac 1 ?? ?? 2ac 2ac 2

………2 分 ………4 分 ………5 分 ………6 分

? B ? (0, ? )

2 ?B ? ? 3
(2)在 ?ABD 中,由正弦定理:

AD BD ? sin B sin ?BAD
………8 分

3 1? BD sin B 2 ?1 ?sin ?BAD ? ? AD 2 3 4

?cos ?BAC ? cos2?BAD ? 1 ? 2sin 2 ?BAD ? 1 ? 2 ?
7 15 ? sin ?BAC ? 1 ? cos 2 ?BAC ? 1 ? ( ) 2 ? 8 8
(18)(本小题满分 12 分)

1 7 ? 16 8

………10 分

………12 分

自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使 得“要不要再生一个”, “生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开

-6-

的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有 生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 有生育意愿家庭数 14 4 15 8 16 16 17 20 18 26

(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育 意愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单 位根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ? 表示两种方案休假周数之和.求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 解:(1)用表中数据所得的频率代替概率 由表中信息可知,估计当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 P 1 ?

4 1 ? ; 200 50
………2 分

估计当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2 ? (答案中没体现估计两字的扣 1 分)

16 2 ? 200 25

………3 分

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A ,由已知从 5 种不同安排方案中,
2 随机地抽取 2 种方案选 法共有 C5 ? 10 (种),

………4 分

其和不低于 32 周的选法有(14,18)、(15,17)、(15,18)、(16,17)、(16,18)、 (17,18),共 6 种, 由古典概型概率计算公式得 P ( A) ? ………5 分

6 3 ? . 10 5

………6 分 ………7 分

②由题知随机变量 ? 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35. (答案中没体现可能两字的扣 1 分)

1 1 2 ? 0.1 , P(? ? 30) ? ? 0.1, P(? ? 31) ? ? 0.2 , 10 10 10 2 2 1 1 P(? ? 32) ? ? 0.2, P(? ? 33) ? ? 0.2, P(? ? 34) ? ? 0.1, P(? ? 35) ? ? 0.1 , 10 10 10 10 P(? ? 29) ?
………10 分 因而 ? 的分布列为

?

29 0.1

30 0.1

31 0.2

32 0.2

33 0.2

34 0.1

35 0.1

P

-7-

………11 分 所以 E (? ) ? 29 ? 0.1 ? 30 ? 0.1 ? 31? 0.2 ? 32 ? 0.2 ? 33 ? 0.2 ? 34 ? 0.1 ? 35 ? 0.1 ? 32 ………12 分 (19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中, 面PAB ? 面ABCD , PA ? PB ? 3 ,且四边形 ABCD 为
0 菱形, AD ? 2 , ?BAD ? 60

P

(1)求证: AB ? PD ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦值。

B

C

(1)证:取 AB 边中点 G,连接 PG,DG,DB。 ∵ PA ? PB ? 3 ∴ PG ? AB

A

D
………2 分

0 又∵四边形 ABCD 为菱形且 ?BAD ? 60 ∴ ?ABD 为等边三角形 ∴ DG ? AB

又∵ PG ? DG ? G

∴ AB ? 面PGD

P
………5 分

又∵ PG ? 面PGD ∴ AB ? PD (2)又∵ PG ? AB , 面PAB ? 面ABCD , 且 面PAB ? 面ABCD ? AB

B
G

C

A
∴ PG ? 面ABCD

D
………6 分

∴以 G 为原点,GA,GD,GP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 ∴G(0,0,0), P(0,0, 2 ) , C(?2, 3,0) , D(0, 3,0) ∴ PC ? (?2, 3,? 2 ) , PD ? (0, 3,? 2 ) ∵ 面PAB ? 面ABCD ,且 面PAB ? 面ABCD ? AB , DG ? AB ∴ DG ? 面PAB ∴ GD 为 面PAB 的法向量,且 GD ? (0, 3,0) G

z

P

B A
x
………8 分

C D

y

-8-

设 n ? ( x1, y`, z1 ) 为 面PCD 的法向量

?? 2 x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ?
令 z1 ? 3 ,则 y1 ? 2 ,且 x1 ? 0 ∴ n ? (0, 2, 3) ∴ cos ? GD, n ?? ………10 分

GD ? n GD ? n

?

6 3? 5

?

10 5

又平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的平面角为锐角,故所求二面角的平面角的余弦值为

10 。 5

………12 分

(20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 2 ,且点 P(2,1) 在椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 a b 2

C 上.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A 、 B 都在椭圆 C 上,且 AB 中点 M 在线段 OP (不包括端点)上.求 ?AOB 面积 的最大值.

? c 2 ?e ? ? a 2 ? 1 ?4 解:(1)由题意得: ? 2 ? 2 ? 1 b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
? ?a ? 6 ?? ? ?b ? 3

………2 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 6 3

………4 分

(2)①法一、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的斜率为 k

? x12 y12 ? ?1 ? ? 6 3 则? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ? 6

?

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? ?0 6 3

-9-

2 x0 2 y0 ? ?k ? 0 6 3 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 2 2 ?

………6 分

所以 k ? ?1

………8 分

法二、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2( y0 ? kx0 ) 2 ? 6 ? 0 则 ? x2 y 2 ? ? 1 ? 3 ?6

由题意, ? ? 0
4k ( y0 ? kx0 ) 1 ? 2k 2 2k ( y0 ? kx0 ) ? x0 ? ? 1 ? 2k 2 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 2 2 1 2k ( ? k ) 2 ? 1 ? k ? ?1 所以 ? 1 ? 2k 2

所以 x1 ? x2 ? ?

………6 分

………8 分

法三、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? 则 ? x 2 y 2 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 6 ? 0 ?1 ? ? 3 ?6

由题意, ? ? 0 所以 x1 ? x2 ? ?
? x0 ? ? 4km 1 ? 2k 2
………6 分

2km (i) 1 ? 2k 2 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 (ii ) 2 2
M 在直线 AB 上? y0 ? kx0 ? m (iii )
解 (i) (ii ) (iii ) 得: k ? ?1 设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? m , m ? (0,3) ………8 分

- 10 -

? y ? ?x ? m ? 则 ? x 2 y 2 ? 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0 ?1 ? ? 3 ?6

? ?? ? 0 ? 4m ? 所以 ? x1 ? x2 ? 3 ? 2 ? 2m ? 6 ? x1 x2 ? 3 ?

………9 分

所以 AB ? 1 ? (?1)2 | x1 ? x2 |? 原点到直线的距离 d ?
? S?OAB ?
|m| 2

4 9 ? m2 3
………10 分

14 |m| 2 3 2 9 ? m2 ? ? (9 ? m2 )m2 ? 23 3 2 2

3 2 ? (0,3) 时,等号成立. 2 3 2 所以 ?AOB 面积的最大值 . 2

当且仅当 m ?

………12 分

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ln x ? 1 ,其中 e 是自然对数的底数 (1)求证:函数 f ( x) 存在极小值;

ex m 1 (2)若 ?x ?[ , ??) ,使得不等式 ? ln x ? ? 0 成立,求实数 m 的取值范围. 2 x x

1 证明:(1)∵ f ( x) ? e x ? ln x ? 1 ,? f ?( x) ? e x ? ( x ? 0) , x ? ( f ?( x))? ? e x ? 1 ? 0 ,? 函数 f ?( x) 在 (0, ??) 是增函数, x2
………2 分

1 ? f ?( ) ? e ? 2 ? 0 , f ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且函数 f ?( x) 图像在 (0, ??) 上不间断, 2 1 ? ?x0 ? ( ,1) ,使得 f ?( x0 ) ? 0 , 2
结合函数 f ?( x) 在 (0, ??) 是增函数有: ………3 分

x
f ?( x)

(0, x0 )
?

( x0 , ??)

?

- 11 -

? 函数 f ( x) 存在极小值 f ( x0 ) .
(没体现单调区间扣 1 分) ………5 分

1 ex m 解:(2) ?x ?[ , ??) ,使得不等式 ? ln x ? ? 0 成立 2 x x 1 ? ?x ?[ , ??) ,使得不等式 m ? e x ? x ln x 成立(*) 2 1 令 h( x) ? ex ? x ln x , x ?[ , ??) , 2
则 h?( x) ? e x ? ln x ? 1 ? f ( x) ,

………6 分

? 结合(1)得: [h?( x)]min ? f ( x0 ) ? e x0 ? ln x0 ? 1,
1 1 其中 x0 ? ( ,1) ,满足 f ?( x0 ) ? 0 ,即 e x0 ? ? 0 , x 2 0 ? e x0 ? 1 , x0 ? ? ln x0 , x0

………8 分

?[h?( x)]min ? e x0 ? ln x0 ? 1 ?

1 1 ? x0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 1 ? 1 ? 0 , x0 x0

………10 分

1 ? x ?[ , ??) , h?( x) ? 0 , 2
1 ? h( x) 在 [ , ??) 内单调递增, 2
1 1 1 1 1 1 ?[h( x)]min ? h( ) ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 , 2 2 2 2
1 1 结合(*)有 m ? e 2 ? ln 2 , 2 1 1 即实数 m 的取值范围为 [e 2 ? ln 2, ?? ) . 2

………11 分

………12 分

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 A, B, C , D 为圆 O 上的四点,直线 PA 切圆 O 于点 A, PA // BD ,

AC 与 BD 相交于 G 点.
(1)求证:点 A 为劣弧 BD 的中点. (2)若 AC ? 6 , AB ? 3 , BC ? 4 ,求 BG 的长.

C B P G D A

- 12 -

(22)证:(1) ∵ PA // BD ,∴ ?ABD ? ?BAP 又∵直线 PA 为圆 O 的切线,∴ ?BAP ? ?BCA ,∴ ?ABD ? ?BCA

………2 分

而 ?ABD ? ?ACD (同弧)∴ ?BCA ? ?DCA ,∴点 A 为劣弧 BD 的中点. ………5 分 (2)由(1)知 ?ABD ? ?BCA ,又∵ ?BAG 为公共角,∴ ?ABG ~ ?ACB ∴

AB BG 3 BG ? ,又∵ AC ? 6 , AB ? 3 , BC ? 4 ,∴ ? , BG ? 2 AC BC 6 4

………10 分

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点错误!未找到引用源。处,极轴与错误!未 找到引用源。轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线错误!未找到引用源。的极坐标方程 为:错误!未找到引用源。,若点错误!未找到引用源。为曲线 错误!未找到引用源。, (?为参数) 错误!未找到引用源。上的动点,其中参数错误!未找 到引用源。. (1)试写出直线错误!未找到引用源。的直角坐标方程及曲线错误!未找到引用源。的普通 方程; (2)求点错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。距离的最大值. (23)解:(1)因为错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。, 所以直线错误!未找到引用源。的直角坐标方程为:错误!未找到引用 源。 ………3 分

曲线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 且参数错误!未找到引用源。,消去参数 错误!未找到引用源。可知曲线错误!未找到引用源。的普通方程为: 错误!未找到引用源。 分 (2)法一:由(1) 点错误!未找到引用源。的轨迹方程为错误!未找到引用源。,圆心为错 误!未找到引用源。,半径为 2. …2 分 ………5

d?

2 ? 3 ?1? 0 ? 2 3 ( 3 )2 ? (?1)2

?2 3

















源。,

………8 分

∴点错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。距离的最大值 2 3 ? 2 错误!未找到引用源。………10 分
- 13 -

法二:

d?

3 (2 ? 2 cos? ) ? 2 sin ? ? 2 3 ( 3 )2 ? (?1)2

?

2 3 cos? ? 2 sin ? ? 4 3 2

? 2 cos(? ? ) ? 3 6
………8 分

?

当错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,即点错误!未找到引用源。到直线错误! 未找到引用源。距离的最大值错误!未找到引用源。 ………10 分

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数 f(x)=1+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≥|3x+1|的解集; (2)若不等式 f(x)-tx ≥ 0 的解集非空,求 t 的取值范围. 解:(1)由 f(x)≥|3x+1|,得|3x+1|-|2x-3|≤1,则

3 时, 3 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1 , 即 x ? ?3 ,∴ x ? ? ; 2 1 3 1 3 1 3 当 ? ? x ? 时, 3 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1 ,即 ? ? x ? ,∴ ? ? x ? 3 2 3 5 3 5 1 1 当 x ? ? 时, ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 1, 即 ? 5 ? x , ∴ ? 5 ? x ? ? 3 3 3 综上,不等式的解集为{ x | ? 5 ? x ? } 5
当x?

………2 分 ………3 分 ………4 分 ………5 分

- 14 -

? ?2 x ? 2, x ? (2)由 f(x)=1+|2x-3|= ? ?4 ? 2 x, x ? ?
3 2

3 2 ,作出 f(x)与 y=tx 的图象如图所示. 3 2
………7 分

由单调性可知 f(x)的最大值点为 A( ,1) ∵过原点的直线 y=tx 过点 A 时 t= ∴当-2≤ t <

2 ,与 AC 平行时 t=2. 3

2 时,y=f(x)与 y=tx 的图象无交点, 3 2 3

………8 分 ………10 分

∴不等式 f(x)-tx≥0 的解集非空时,t 的取值范围是 (?? ,?2) ? [ ,?? ) .

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