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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第二节 平面向量的基本定理与坐标表示课件 理



第二节 平面向量的基本定理与坐标表示

考纲概述

考查热点 考查频次 备考指导 平面向量的基本定 通过近几年的高考 ★★★★ (1)了解平面向 理的应用 试卷分析可知,高考 量的基本定理 向量坐标的基本运 中对向量的基本定 ★★★★★ 及其意义; 理与坐标表示考查 算 (2)掌握平面向 主要基于两点:一是 量的正交分解 平面向量平行(共

单一考查知识(如基 ★★★ 及其坐标表示; 线)的坐标运算 本定理、坐标运 算、平行(共线)等);

考纲概述

考查热点 考查频次 平面向量的基 ★★★★ (3)会用坐标 本定理的应用 表示平面向 向量坐标的基 ★★★★★ 量的加法、 本运算 减法与数乘 运算; (4)理解用坐 平面向量平行 标表示的平 (共线)的坐标 ★★★ 面向量共线 运算 的条件.

备考指导 二是作为桥梁过渡与其 他知识结合考查,侧重 点在于其他知识.对于 向量只要能熟悉一些基 本概念与公式即可,难 度为中易档,解答题中 向量的坐标运算多与三 角函数、空间角等结 合,所以在复习中要侧 重这一方面的强化训 练.

1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只 有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个相互垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与 x轴,y轴 方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于 平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,有序数对 (x,y) 叫做向量a的坐 标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然,i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) .

②在直角坐标平面中,以原点 O 为起点作 =a,则点 A 的位置由向
量 a 唯一确定,设 =xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点 A 的坐 标;反过来,终点 A 的坐标(x,y)也就是向量 的坐标. 3.平面向量的坐标运算 (1)设 a=(x1,y 1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x 2,y 1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1y2) ,λa= (λx1,λy1) . (2)设 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则 = (x2-x1,y2-y 1) , | |= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 .

4.向量平行的条件 设 a=(x1,y 1),b=(x2,y2),则 1 1 (1)a∥b? x 1y 2-x2y 1=0 .特别地,当 x2,y2≠0 时 ,a∥ b? = . (2)若 a≠0,则与 a 平行的单位向量为± .
| | 2 2

5.教材典例回顾 若 , 是平面内不共线的向量,则存在实数 λ 1,λ2,使 =λ1+λ2 ,则当 λ1+λ2= 1 时,A,B ,C 三点共线,反之也成立.特别 1 地,当 λ1=λ2= 时,C 是 A 与 B 的中点. 6.常用的数学方法与思想 待定系数法、数形结合思想、函数与方程思想.
2

1.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 =(2,4), =(1,3), 则 = ( ) A.(-2,-4) B.(2,4) C.(3,5) D.(-3,-5)

1.D 【解析】 = ? = (1,3) ? (2,4) = (?1, ?1), = ? = ? =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).

2.(2016· 安徽太和中学联考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),则(a+2b)· a= ( A.5 B.-2 C.0 D.6 2.A 【解析】因为a+2b=(4,-3),所以(a+2b)· a=5.

)

3.(2016· 江苏扬州中学开学考试) 设向量 a=(1,x),b=(-3,4),若 a∥ b,则 实数 x 的值为 ( ) 3 4 A.B.C.4 4 5

D.

3 4 3

3.B 【解析】由 a∥b 得 4+3x=0,即 x=- .
3

4

4.(2015· 江苏高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值 为 .

= 2, 2 + = 9, 4.-3 【解析】ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),所以有 解得 -2 = -8, = 5, 所以 m-n=-3.

考点 1 平面向量的基本定理的应用 典例 1 (2016· 银川一中月考) 设 M 是△ABC 边 BC 上的任意一点,N 为 AM 的中点,若 =λ+μ ,则 λ+μ= ( ) 1 1 A. B. C.
4 1 2 3

D.1

【解题思路】解法 1:因为 N 为 AM 的中点 ,所以 = , 故由
2

1

= + , 得 = 2 + 2 , 1 由 , , 三点共线可知 2 + 2 = 1, 即 + = , 即选项 C 正确;
2

解法 2: 特殊位置法, 不妨设为边 上的中点, 所以 = +
1 2

1

, 又 为的中点, 所以 = , 因此 = + , 又
1 4 1 4 2 1 2 4 4

1

1

2 1

= + , 故 = , = ? + = .

【参考答案】 C

平面向量的基本定理解题的思维模式 (1)选择一组基底(一般以题中给出的考查更好),将条件与结论表示成这组基底的线性组 合,再进行向量的运算; (2)充分利用中点向量公式进行向量运算; (3)充分利用特殊位置法进行求解.

【变式训练】 1 在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上的一点 ,若 =2, = +λ,则 λ= 3 ( ) 2 1 A. B. C.3 1 3

D.-

3 2 3

A 【解析】 解法 1:由 A,B,D 共线知, + = 1, 解得 = .
3 3

1

2

解法 2: = + , = + , 所以 2 = + + + , 而 = 2 , 所以 2 = + + = + +
1 3

= + + ( ? ) = + ,
1 3 2 3 3 2 3 3 3

1

2

4

即得 = + , 所以 = .

考点 2 向量坐标的基本运算 典例 2 已知 a=(1,1), b=(-2,-3),c=(2,0),且 c=ma+nb,求 m,n 的值.

【参考答案】∵a=(1,1),b=(-2,-3),c=(2,0),且 c=m a+nb, ∴(2,0)=m(1,1)+n(-2,-3)=(m-2n,m-3n), -2 = 2, ∴ -3 = 0, = 6, 解得 = 2.

利用向量的坐标解题基于以下两点 (1)根据相等向量的向量坐标相等这一原则,通过列方程(组)进行求解; (2)几何图形(特别是含有直角的情况)中的运算可通过建系利用向量坐标转化为代数问题 求解,这既简化了思维过程又使计算量得到减少,是复习中应强化的解题思想.

考点3 平面向量平行的坐标运算 典例3 (2015· 龙岩模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与a-b平行,则x= . 【解题思路】分别表示出向量a+b与a-b的坐标,由向量平行的充要条件建立关于x的方程 求解x.由题意得a+b=(3,x+1),a-b=(-1,1-x),因为a+b与a-b平行,所以3(1-x)-(x+1)(-1)=0,解 得x=2. 【参考答案】 2

平面向量平行的坐标运算两步曲 (1)把题中的向量坐标化(如果是几何图形应建系,利用条件把点的坐标求出); (2)利用平行(共线)的坐标公式转化为方程(组)进行求解.

【变式训练】 (2015· 重庆南开中学模拟)已知向量a=(1,-2),b=(2,x),且(a+b)∥a,则a与b的夹角为 ( ) A.0° B.45° C.90° D.180° A 【解析】由a=(1,-2),b=(2,x)得a+b=(3,x-2),又由(a+b)∥a得-6-x+2=0?x=-4,即b=(2,-4), 所以a∥b.

构建坐标系解决平面向量问题 向量融“数”、“形”于一体,具有几何、代数的“双重身份”,我们在研究向量问题时,巧妙 构造平面直角坐标系,可以将复杂问题简单化,抽象问题直观化.

典例 (2013· 重庆高考) 在平面上,1 ⊥ 2 ,|1 |=|2 |=1, = 1 1 + 2 .若||<2,则||的取值范围是 ( ) A . 0, C.
5 2 5 2

B. D.

5 2 7 2

,

7 2

, 2

, 2

【解题思路】根据条件知 A,B1,P,B 2 构成一个矩形 AB1PB2,以 AB1,AB2 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图.设 |AB1|=a,|AB2|=b,点 O 的坐标为 (x,y),则点 P 的坐标为(a,b),由 (- )2 + 2 = 1, (- )2 = 1- 2 , 1 |1 |=|2 |=1 得 2 则 又由 | |< , 2 2 2 2 + (- ) = 1, (- ) = 1- . 2 2 1 2 2 1 2 2 7 得 (x-a) +(y-b) < ,则 1-x +1-y < ,即 x +y > ①.又 (x-a)2+y2=1,得 x2+y2+a2=1+ 2ax≤1+a2+x2,则 y 2≤1;同理 7 2 2 2 2 2 由 x +(y-b) =1,得 x ≤1,即有 x +y ≤2 ②.由 ①②知 <x2+y2≤2,所 以
7 2 4 4 4

<

2

+

2

≤ 2.而||=

2

+

7 2 ,所以 <||≤ 2

4

2.

【参考答案】 D

【针对训练】 (2013· 北京高考) 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R),则 =


.

4 【解析】 以向量 a,b 的交点为原点,过此交点的水平直线和竖直 直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系.设正方形网格的单位长度 为 1,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),由 c=λa+μb,得(-1,-3)=λ( = -2, - + 6 = -1, 1 从而 =4. 1,1)+μ(6,2),故 解得 + 2 = -3, = - ,
2



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