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向量的正交分解与向量的直角坐标运算



山 东 省 诸 城 实 验 中 学


学科___数学__ 模块___ 必修 4 课 题






课 新授课 型

任课教师____ 上课时间:2013 年 3 月____日

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标与运算

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教 目

学 标

1.知识与技能目标:掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘 向量运算; 2.过程与方法目标 (1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的几何意义; (2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用; 3.情感、态度与价值观目标 通过本节学习,培养学生的理性与探索精神. 学习重点:向量的直角坐标运算 学习难点:应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题

重点难点

教学用具

多媒体

自主学案内容 一 、 复习回顾 1.平面向量基本定理的内容是什么? 2.什么是平面向量的基底?

二、自主学习自学教材 99-101 内容,完成下列问题:

(一)向量的直角坐标
1、如果两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量_____________,如果基底的两个向量互相垂直,则 称这个基底为 ,在正交基底下 _____________,叫做把向量正交分解。 2、在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 e1 、 e2 作为基底。对于平面内 的任一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数对(x,y)使得____________,我们 把有序数对________叫做向量的坐标,记作 a =___________,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标分量,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标分量。 第 页

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1

教 3、几个特殊向量的坐标表示









生 活



? e1 ? ___________,e2 ? _________,0 ? ___________
4、 设向量 a = a1 ,a2 ) a 的方向相对于 x 轴的正方向的转角为 ? , ( , 由三角函数的定义可知, a1 = , a2 = 。

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学生自学课本完成 教师点拨

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5、在直角坐标系中点 A 的位置被点 A 的位置向量 OA 所惟一确定,设 点 A 的坐标为(x,y) ,则 OA =_____________。 6、 已知向量| a |? 4 , a 的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°, a 的 则 坐标为_____________。

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(二)向量的直角坐标运算
1、两个向量和差的坐标运算 已知: a ? (a1,a2 ),b ? (b1 , b2 ), ? 为一实数 则 a ? b ? (a1i ? a2 j ) ? (b1i ? b2 j )=______________; 即 a ? b =______________。同理将 a ? b =_________________ 这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于__________________。 2、数乘向量坐标运算

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课堂记忆

?a ? ?(a1i ? a 2 j )=________________________
3、向量 AB 的坐标表示 若已知 A(x1,y 1 ) , B(x 2 ,y 2 ) ,则 AB =__________=____________ 即一个向量的坐标等于向量___________________。 已 知 点 A(x1,y 1 ) , B(x 2 ,y 2 ) , 线 段 AB 中 点 的 坐 标 为 ________________ 练一练:设向量 a ,b 坐标分别是(-1,2)(3,-5) ,

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? ? ? ? 则 a ? b =__________________, a ? b =__________________ ? ? ? 3a =______________________, 2a ? 5b =_________________
三、例题探究 例 1 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

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例 2 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(3,2), B(-2,4),求向量

OA ? OB 的方向和长度

跟踪练习:课本 P103 第 3 题

例 3 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(-2,1), B(?1, 3), C(3, 4), 求顶点 D 的坐标.

变式:已知平面上三点的坐标分 别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4), 求点 D 的坐标使这四点构成平 行四边形四个顶点.

例 4 已知 A(-2,1),B (1, , 3) 求线段 AB 中点 M 和三等分点 P,Q 的坐标。

跟踪练习:课本 P103 B 组 4

当堂检测 1、若点 A 的坐标是(x1 ,y 1 ),向量 AB 的坐标为(x 2 ,y 2 ),则点 B 的 坐标为( ) B.(x 2 ? x1,y 2 ? y1 ) D.(x1 ? x 2 ,y1 ? y 2 )

???

A.(x1 ? x 2 ,y1 ? y 2 ) C.(x1 ? x 2 ,y1 ? y 2 )

2、已知 M(3,-2)N(-5,-1) ,且 MP ? 2MN 则 MP =( A. (-8,1) B.(?4, )

??? ?

??? ?

??? ?



1 2

C. (-16,2)

D.(8,-1)

? ? ? ? ? ? 3 设 a ? (1,?3),b ? (?2,4),c ? (0,5) 则 3a ? b ? c =__ _ _
4、若已知 OA =(-2,1) OB =(1,3),求线段 AB 中点的 M 的坐标 ,

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???

5、 已知 M (3,?2),N (?5,?1), MP ? 且

??? ?

? 1 ??? 则 ( MN , P 点的坐标 2
3 2
D.(8,?1)



A.(?4, )

1 2

B.(?1, ?

3 ) 2

C.(1, )



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