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中档解答题强化训练教师卷2


中档解答题强化训练(二)
1 在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,直线 直线 l 2 : (b 2 ? c 2 ? bc) x ? ay ? 4 ? 0 互相平行(其中 a ≠4) (I)求角 A 的值, (II)若 B ? ? 解 : ( I 与

? ? 2? , ?2 3


? 2 A?C ? cos 2 B 的取值范围 ? B,求 sin 2 ?

l1 // l2 , 得a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc(a ? 4)



b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc

? cos A ?
(II) sin
2

b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2

? A ? (0, ? ),? A ?

?
3

.

A?C B ? cos 2 B ? cos 2 ? 2 cos 2 B ? 1 2 2 cos B ? 1 1 1 1 17 ? ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 cos 2 B ? cos B ? ? 2(cos B ? ) 2 ? 2 2 2 8 32

? ? 2? ?B?? , ?2 3

? ?, ?

? 1 ? ? c o s ? ? ? ,0? B ? 2 ?

A?C 1 17 ? 17 1 ? ? 17 1 ? ? cos 2 B 的 取 值 范 围 为 ?? ,? ? ? 2(cosB ? ) 2 ? ? ?? ,? ? 即 sin 2 2 8 32 ? 32 4 ? ? 32 4 ?
2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1 ? 1, S n ? nan ? 2n(n ? 1). (I)求数列数列{an}的通项公式 an, (II)设数列 {

1 1 1 } 的前 n 项和为 Tn,求证 ? Tn ? . 5 4 a n a n ?1

解: (I)由 S n ? nan ? 2n(n ? 1) 得 an?1 ? S n?1 ? S n ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 4n 即 an?1 ? an ? 4

? 数列 an } 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列? an ? 4n ? 3. {

(II) Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ??? (4n ? 3) ? (4n ? 1) a1a2 an an?1 1 ? 5 5 ? 9 9 ? 13
又易知

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? 4 5 5 9 9 13 4n ? 3 4n ? 1 4 4n ? 1 4 1 1 1 Tn 单调递增,故 Tn ? T1 ? , 得 ? Tn ? . 5 5 4 ?
3.设函数, f(x)=x2-alnx,g(x)=x2-x+m,令 F(x)=f(x)-g(x)

(Ⅰ)当 m=0,x∈(1,+∞)时,试求实数 a 的取值范围使得 F(x)的图象恒在 x 轴 上方 (Ⅱ)当 a=2 时,若函数 F(x)在[1,3]上恰好有两个不同零点,求实数 m 的取值范围 解: (I)当 m=0 时,函数 F(x)的图象恒在 x 轴上方等价于

F ( x) ? 0在(1,??) 上恒成立
由 m=0, F ( x) ? 0可得 ? a ln x ? ? x

? x ? (1,??)
则a ?

x ln x x , 则F ( x) ? 0在(1,?? ) 恒成立 ln x

记 ? ( x) ?

等价于 a ? ? ( x) min ( x ? (1,??)) 又 ? ' ( x) ?

ln x ? 1 ln 2 x

?当x ? (1, e)时;? ' ( x) ? 0;当x ? (e,??)时, ? ' ( x) ? 0
故 ? ( x)在x ? e 处取得极小值, 也是最小值,即 ? ( x) min ? ? (e) ? e

?a ? e
故 a 的取值范围是 (??, e). (II)函数 F ( x)在[1,3] 上恰有两个不同的零点等价于方程 …………5 分

x ? 2 ln x ? m,
在[1,3]上恰有两个相异实根。 令 h( x) ? x ? 2 ln x, 则h' ( x) ? 1 ?

2 x?2 ? x x

1 时 当 x ? ? ,2?时, h' ( x) ? 0,当x ? ?2,3? , h' ( x) ? 0
故在[1,3]上 h( x) min ? h(2) ? 2 ? ln 2 又 h(1) ? 1, h(3) ? 3 ? 2 ln 3 …………8 分

? h(1) ? h(3)

?只需h(2) ? m ? h(3)

故 m 的取值范围是 ?2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3?.

…………9 分

4.已知当 x ? 5 时,二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 取得最小值,等差数列 {an } 的前 n 项和

Sn ? f (n), a2 ? ?7
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

an 9 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明 Tn ? ? 。 n 2 2

解:(Ⅰ)由题意得:

?

b ? 5, an ? Sn ? Sn ?1 ? an 2 ? bn ? c ? a (n ? 1) 2 ? b(n ? 1) ? c ? 2an 2a

?b ? a ? 2an ?11a.? a2 ? ?7,?得 a ? 1 …………………………4 分 ? an ? 2n ?11 ……………………………………………6 分
2n ? 11 , 2n ?9 ?7 2n ? 11 ?Tn ? ? 2 ??? 2 2 2n 1 ?9 2n ? 13 2n ? 11 Tn ? 2 ? ? ? ? n ?1 2 2 2n 2
(Ⅱ) bn ? ①-②得

① ②

1 ?9 ?2 2 2n ? 11 Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 9 2n ? 11 2 ?? ? 2 ? n ?1 1 2 2 1? 2 7 1 2n ? 11 ? ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2n ? 7 ?Tn ? ?7 ? ………………………………………………10 分 2n 9 T1 ? ? 2 9 7 9 T2 ? ? ? ? ? 2 2 2 9 7 5 9 T3 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2n ? 7 2n ? 7 9 ? 0,?Tn ? ?7 ? ? ?7 ? ? 当 n ? 4 时, n n 2 2 2 9 ? Tn ? ? ……………………………………………………12 分 2


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