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高中数学课件:第三章 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 利用简单的线性规划求最值



课前预习·巧设计

第 三 章 不 等 式

3.3.2

第一 课时

简单 的线 性规 划问 题

利用 简单 的线 性规 划求 最值

名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关

考点一

/>考点二
考点三

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[读教材·填要点] 线性规划中的基本概念 名称 意义

约束条件 关于变量x、y的 不等式(组)
线性约 束条件 目标函数 由x,y的 一次 不等式组成的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的函 数解析式 返回

名称 线性目标

意义 关于x,y的 一次 解析式 满足 线性约束条件 的解(x,y) 所有 可行解 组成的集合

函数
可行解 可行域

返回

名称 最优解

意义 使目标函数取得 最大值或最小值 的可行解

线性规划 在 线性约束 条件下求线性目标函数的最大
问题 值或最小值问题

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[小问题·大思维] 1.在线性约束条件下,最优解唯一吗? 提示:最优解可能有无数多个,直线l0:ax+by=0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函数z=ax+by+c 的最值,最优解就可能有无数多个.

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2.将目标函数的直线平移时,应注意什么? 提示:在平移过程中,要特别注意可行域各边的斜 率与目标函数直线的斜率的大小关系,以便准确判 断最优解的位置.

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3.在线性目标函数z=x+y中,目标函数z的最大、最小值

与截距的对应关系是怎样的?
提示:z的最大值对应截距的最大值,z的最小值对应截

距的最小值.

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4.在线性目标函数z=x-y中,目标函数z的最大、最小 值与截距的对应关系又是怎样的? 提示:z的最大值对应截距的最小值,z的最小值对应 截距的最大值.

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[研一题] ?x≥-3, ? ?y≥-4, 设 x、y 满足约束条件? ?-4x+3y≤12, ?4x+3y≤36, ?

[例 1]

求目

标函数 z=2x+3y 的最小值与最大值.

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[自主解答]

作出可行域如图:

令z=0,作直线l:2x+3y=0, 当把直线l向下平移时,所对应的z=2x+3y的函数值 随之减小,所以,直线经过可行域的顶点B时,z=2x+3y 取得最小值.

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从图中可以看出,顶点B是直线
X=-3与直线y=-4的交点,其坐标

为(-3,-4);
当把l向上平移时,所对应的z= 2x+3y的函数值随之增大,所以直线经过可行域的顶点D 时,z=2x+3y取得最大值.

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顶点 D 是直线-4x+3y=12 与直线 4x+3y=36 的交点,
?-4x+3y=12 ? 解方程组? ?4x+3y=36 ?

,得 D(3,8).

此时,顶点 B(-3,-4)与顶点 D(3,8)为最优解,所以, zmin=2×(-3)+3×(-4)=-18; zmax=2×3+3×8=30.

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[悟一法] 一般地,设目标函数为z=ax+by+c,当b>0时,把 直线l:ax+by=0向上平移,所对应的z随之增大;把l向

下平移时,所对应的z随之减小.当b<0时,结论相反.

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[通一类] ?x-y+2≥0, ? 1.设变量 x、y 满足约束条件?x-5y+10≤0 ?x+y-8≤0, ? 数 z=3x-4y 的最大值和最小值分别为 A.3,-11 C.11,-3 B.-3,-11 D.11,3

,则目标函

(

)

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解析:作出可行域如图.
?x-y+2=0, ? 由? ?x+y-8=0, ?

解得 M(3,5), 3 1 由 z=3x-4y 即 y=4x-4z,

返回

3 作出直线 y=4x,平移得最优解 M(3,5),N(5,3). 所以当 x=3,y=5 时,zmin=-11; 当 x=5,y=3 时,zmax=3.
答案:A

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[研一题] ?x-y+2≥0, ? 已知?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0, ?

[例 2]

求:

(1)z=x2+y2-10y+25 的最小值; 2y+1 (2)z= 的取值范围. x+1

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[自主解答]

作出可行域如图,并求

出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3,1)、C(7,9). (1)z=x2+(y-5)2 表示可行域 内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的 平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 9 上,故 z 的最小值|MN| =2.
2

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1 y-?-2? (2)z=2· 表示可行域内任一点(x, y)与定点 Q(- x-?-1? 1 7 3 1,-2)连线的斜率的两倍,且 kQA=4,kQB=8, 3 7 所以 z 的取值范围为[4,2].

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[悟一法] y-b (1)若目标函数为形如 z= ,可考虑(a,b)与(x,y)两 x-a 点连线的斜率. (2)若目标函数为形如 z=(x-a)2+(y-b)2,可考虑(x,y) 与(a,b)两点距离的平方.

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[通一类] ?x-2y+7≥0, ? 2.已知 x,y 满足条件?4x-3y-12≤0, ?x+2y-3≥0, ? 最大值.

求 z=x2+y2 的

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解:作出直线x-2y+7=0,4x-3y-12

=0.x+2y-3=0,根据不等式组确定
可行域如图阴影部分.

把z=x2+y2看作点(x,y)到原点(0,0)的
距离的平方.由图象可知可行域内的A点到原点(0,0)的距离

最大,A点为直线x-2y+7=0与4x-3y-12=0的交点.
返回

?x-2y+7=0, ? 解方程组? ?4x-3y-12=0, ?

得到 A 点的坐标为(9,8),

代入 z=x2+y2,得 zmax=x2+y2=81+64=145.

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[研一题]
?1≤x+y≤4, ? 已知变量 x, 满足约束条件? y ?-2≤x-y≤2, ?

[例 3]



目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求 a 的取值范围.

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[自主解答]

由约束条件画出可行域(如图所示)为矩

形ABCD(包括边界).

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点C的坐标为(3,1),z最大即直线y=-ax+8在y轴上

的截距最大,
∴-a<kCD,即-a<-1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1,+∞).

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在例3的条件下,若目标函数z=ax+y(a>0)取得最大 值的点有无数个,求a的取值范围.

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解:如例3中的图,若目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值 的点有无数个,则必有直线z=ax+y与直线x+y=4平行, 此时a=1.

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[悟一法] 已知目标函数的最值求参数,这是线性规划的逆向思 维问题.解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想方法求 解.同时,要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.

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[通一类] ?y≥x, ? 3.(2011· 湖南高考)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?

下,目

标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为________.

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1 m 解:画出可行域如图,可知 z=x+5y 在点 A( , ) 1+m 1+m 取最大值为 4,解得 m=3.

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设实数 x,y 满足不等式组
?1≤x+y≤4, ? ? ?y+2≥|2x-3|. ?

(1)画出点(x,y)所在平面区域; (2)设 a>-1,在(1)所求的区域内,求函数 z=y-ax 的最 大值和最小值.

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[错解]

?1≤x+y≤4, ? (1)? ?y+2≥|2x-3| ?

?

?1≤x+y≤4, ? ?y+2≥2x-3, ?2x-3≥0 ?

?1≤x+y≤4, ? 或?y+2≥3-2x, ?2x-3<0. ?

点(x,y)所在平面区域如图.

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(2)目标函数z=y-ax,即l:y=ax+z知 求z的最值转化为求y=ax+z截距的最值. 分析知:当l过C点时,y=ax+z截距最大. 又C(-3,7), ∴zmax=7+3a.同理当l过A(2,-1)时,

zmin=-1-2a.
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[错因]

这位同学所作平面区域完全正确.遗憾的是

在求目标函数的最小值时由于分析不彻底导致结果有误.,
这种参数与斜率有关的问题,求解时可先作出线性约束条

件所表示的平面区域,充分利用斜率的特征加以转化,一
般情况下需分类讨论,如本题中可将条件a>-1分为-

1<a≤2和a>2两种情况分别求目标函数的最小值,经讨论求
解的结果才是完美的答案. 返回

[正解]

(1)已知的不等式组等

?1≤x+y≤4, ? 价于?y+2≥2x-3, ?2x-3≥0 ? ?1≤x+y≤4, ? 或?y+2≥3-2x ?2x-3<0 ?

,……

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解得点(x,y)所在的平面区域为图中所示的阴影部
分(含边界).其中AB:y=2x-5;BC:x+y=4;

CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.

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(2)z表示直线l:y-ax=z在y轴上的截距,且直线l与

(1)中所求区域有公共点.∵a>-1,∴当直线l过顶点C时,
z最大,∵C点的坐标为(-3,7).

∴z的最大值为7+3a.

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如果-1<a≤2,那么当直线l过顶点A(2,-1)时,z最 小,即z最小值为-1-2a. 如果a>2,那么当直线l过顶点B(3,1)时,z最小,最小 值为1-3a.

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