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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象(含解析)



第五节

函数的图象

[知识能否忆起] 一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③ 讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、 最小值点、与坐标轴的交点);最后:描点,连线. 二、利用基本函数的图象作图 1.平移变换 (1)水平平移:y

=f(x± a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移 a 个单 位而得到. (2)竖直平移:y=f(x)± b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移 b 个单 位而得到. 2.对称变换 (1)y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. (2)y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. (3)y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. (4)要得到 y=|f(x)|的图象, 可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分不变. (5)要得到 y=f(|x|)的图象,可将 y=f(x),x≥0 的部分作出,再利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性,作出 x<0 时的图象. 3.伸缩变换 (1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将 y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍,横坐标 不变而得到. 1 (2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不 a 变而得到. [小题能否全取] 1. 一次函数 f(x)的图象过点 A(0,1)和 B(1,2), 则下列各点在函数 f(x)的图象上的是( A.(2,2) B.(-1,1) )

C.(3,2) 解析:选 D 条件. 2.函数 y=x|x|的图象大致是( )

D.(2,3) 一次函数 f(x)的图象过点 A(0,1),B(1,2),则 f(x)=x+1,代入验证 D 满足

解析:选 A 函数 y=x|x|为奇函数,图象关于原点对称. 3.(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中,函数 f(x)=ax 与 g(x)=ax 的图象可能是下 列四个图象中的( )

解析:选 B 因 a>0 且 a≠1,再对 a 分类讨论. 4.(教材习题改编)为了得到函数 y=2x 向______平移______个单位长度. 答案:右 3 5.若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意 a=|x|+x
? ?2x,x≥0, 令 y=|x|+x=? 图象如图所示,故要使 a=|x|+x 只有 ? ?0,x<0,
-3

的图象,只需把函数 y=2x 的图象上所有的点

一解则 a>0. 答案:(0,+∞)

1.作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法.其中图象变换法,包括平移变 换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律. [注意] 对于左、右平移变换,可熟记口诀:左加右减.但要注意加、减指的是自 变量,否则不成立. 2.一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同, 前者是自身对称,且为奇(偶)函数,后者是两个不同的函数对称.

作函数的图象

典题导入 [例 1] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2; (3)y=x2-2|x|-1.
? ?lg x,x≥1, [自主解答] (1)y=? 图象如图 1. ?-lg x,0<x<1. ?


(2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图 2.
?x2-2x-1,x≥0, ? (3)y=? 2 图象如图 3. ? ?x +2x-1,x<0.

由题悟法 画函数图象的一般方法 (1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数 的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可 利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应 注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 以题试法 1.作出下列函数的图象: (1)y=|x-x2|; x+2 (2)y= . x-1
?x-x2,0≤x≤1, ? 解:(1)y=? 2 ? ?-?x-x ?,x>1或x<0,

?-?x-2? +4,0≤x≤1, ? ? 即 y=? 1 1 ??x-2? -4,x>1或x<0, ? ?
1
2

1

2

其图象如图 1 所示(实线部分).

?x-1?+3 3 3 (2)y= =1+ ,先作出 y= 的图象,再将其向右平移 1 个单位,并向上平 x x-1 x-1 x+2 移 1 个单位即可得到 y= 的图象,如图 2. x-1

识图与辨图

典题导入 [例 2] (2012· 湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象 如图所示,则 y=-f(2-x)的图象为( )

[自主解答] 法一:由 y=f(x)的图象知
?x?0≤x≤1?, ? f(x)=? ?1?1<x≤2?. ?

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
?1?0≤x≤1?, ? 所以 f(2-x)=? ? ?2-x?1<x≤2?, ? ?-1?0≤x≤1?, 故 y=-f(2-x)=? ? ?x-2?1<x≤2?.

法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各 选项,可知应选 B. [答案] B

由题悟法 “看图说话”常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利 用这一特征分析解决问题. (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题. (3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析 解决问题. 以题试法

2.(1)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标 分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f? 1 ? ?f?3??的值等于________.

(2)(2012· 东城模拟)已知函数对任意的 x∈R 有 f(x)+f(-x)=0,且 当 x>0 时,f(x)=ln(x+1),则函数 f(x)的图象大致为( )

解析:(1)∵由图象知 f(3)=1, ∴ 1 1 =1.∴f?f?3??=f(1)=2. ? ? f?3?

(2)∵对?x∈R 有 f(x)+f(-x)=0,∴f(x)是奇函数.f(0)=0,y=f(x)的图象关于原点对 称,当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-ln(-x+1)=-ln(1-x),由图象知符合上述条件的图象为 D. 答案:(1)2 (2)D

函数图象的应用

典题导入 [例 3] (2011· 新课标全国卷)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那

么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lg x|的图象的交点共有( A.10 个 C.8 个 B.9 个 D.1 个

)

[自主解答] 根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:

可验证当 x=10 时,y=|lg 10|=1;0<x<10 时,|lg x|<1; x>10 时|lg x|>1. 结合图象知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个. [答案] A

若本例中 f(x)变为 f(x)=|x|,其他条件不变,试确定交点个数. 解:根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:

由图象知共 10 个交点.

由题悟法 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出在给定区间上图象的函数, 其性质(单调性、 奇偶性、 周期性、 最值(值 域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程 f(x)=0 的根就是 函数 f(x)图象与 x 轴的交点的横坐标,方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象的交点的 横坐标. 以题试法 3.已知函数 f(x)=2-x2,g(x)=x.若 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},那么 f(x)*g(x)的最大值 是________.(注意:min 表示最小值) 解析:画出示意图(实线部分),

?2-x ?x≤-2?, ? f(x)*g(x)=?x?-2<x<1?, ?2-x2?x≥1?, ?
2

其最大值为 1. 答案:1

1.函数 f(x)=2x3 的图象( A.关于 y 轴对称 C.关于直线 y=x 对称

) B.关于 x 轴对称 D.关于原点对称

解析:选 D 显然函数 f(x)=2x3 是一个奇函数,所以其图象关于原点对称.
? 2 ?x ,x<0, 2.函数 y=? x 的图象大致是( ?2 -1,x≥0 ?

)

解析:选 B 当 x<0 时,函数的图象是抛物线;当 x≥0 时,只需把 y=2x 的图象在 y 轴右侧的部分向下平移 1 个单位即可,故大致图象为 B. 1 3.(2012· 北京海淀二模)为了得到函数 y= log2(x-1)的图象,可将函数 y=log2x 的图象 2 上所有的点的( )

1 A.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 B.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2 C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 解析:选 A 本题考查图象的平移和伸缩.将 y=log2x 的图象横坐标不变,纵坐标缩短 1 1 1 到原来的 ,得 y= log2x 的图象,再将 y= log2x 的图象向右平移 1 个单位长度即可. 2 2 2 4.(2011· 陕西高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图象 可能是( )

解析:选 B 表达式“f(x)=f(-x)”,说明函数是偶函数,表达式“f(x+2)=f(x)”,说 明函数的周期是 2,再结合选项图象不难看出正确选项为 B. 5. (2012· 济南模拟)函数 y=lg 1 的大致图象为( |x+1| )

解析:选 D 由题知该函数的图象是由函数 y=-lg|x|的图象左移一个单位得到的,故 其图象为选项 D 中的图象.
?a,a-b≤1, ? 6.(2011· 天津高考)对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x) ?b,a-b>1. ?

=(x2-2)?(x-x2),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值 范围是( )

3 A.(-∞,-2]∪?-1,2? ? ? 3 B.(-∞,-2]∪?-1,-4? ? ? 1 1 C.?-1,4?∪?4,+∞? ? ? ? ? 3 1 D.?-1,-4?∪?4,+∞? ? ? ? ? 解析:选 B 由题意可知

?x2-2,x2-2-x+x2≤1, ? f(x)=? 2 2 2 ? ?x-x ,x -2-x+x >1

?x -2,-1≤x≤2, =? 3 ?x-x ,x<-1或x>2
2

3

作出图象,由图象可知 y=f(x)与 y

2

3 =c 有两个交点时,c≤-2 或-1<c<- , 4 即函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点时实数 c 的取值范围是(-∞,-2]∪

?-1,-3?. 4? ?
7.已知函数 f(x)的图象如图所示,则函数 g(x)=log 是________. 解析:当 f(x)>0 时,函数 g(x)=log
2f(x)有意义, 2f(x)的定义域

由函数 f(x)的图象知满足 f(x)>0 的 x∈(2,8]. 答案:(2,8] x+1 8.函数 f(x)= 图象的对称中心为________. x x+1 1 1 解析: f(x)= =1+ , 把函数 y= 的图象向上平移 1 个单位, 即得函数 f(x)的图象. 由 x x x 1 y= 的对称中心为(0,0),可得平移后的 f(x)图象的对称中心为(0,1). x 答案:(0,1) 9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成, 则 f(x)的解析式为________. 解析:当-1≤x≤0 时,设解析式为 y=kx+b,
? ? ?-k+b=0, ?k=1, 则? 得? ?b=1, ?b=1. ? ?

∴y=x+1. 当 x>0 时,设解析式为 y=a(x-2)2-1, ∵图象过点(4,0), 1 ∴0=a(4-2)2-1,得 a= . 4

?x+1,-1≤x≤0, ? 答案:f(x)=?1 2 ? ?4?x-2? -1,x>0

?3-x2,x∈[-1,2], ? 10.已知函数 f(x)=? ? ?x-3,x∈?2,5].

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知, 函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. (3)由图象知当 x=2 时,f(x)min=f(2)=-1, 当 x=0 时,f(x)max=f(0)=3. 11.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,求 a 的取值范 围. 解:当 0<a<1 时,y=|ax-1|的图象如图 1 所示,

1 由已知得 0<2a<1,即 0<a< . 2 当 a>1 时,y=|ax-1|的图象如图 2 所示, 由已知可得 0<2a<1, 1 即 0<a< ,但 a>1,故 a∈?. 2 1 综上可知,a 的取值范围为?0,2?. ? ? 1 12.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1)求函数 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,g(x)在区间(0,2]上的值不小于 6,求实数 a 的取值范围. x 解:(1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x,y),∵点(x,y)关于点 A(0,1)的对称点(-x,2-y) 在 h(x)的图象上, 1 ∴2-y=-x+ +2, -x 1 ∴y=x+ , x

1 即 f(x)=x+ . x a+1 (2)由题意 g(x)=x+ , x a+1 且 g(x)=x+ ≥6,x∈(0,2]. x ∵x∈(0,2], ∴a+1≥x(6-x), 即 a≥-x2+6x-1. 令 q(x)=-x2+6x-1,x∈(0,2], q(x)=-x2+6x-1=-(x-3)2+8, ∴x∈(0,2]时,q(x)max=q(2)=7, 故 a 的取值范围为[7,+∞).

1.(2013· 威海质检)函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,下列说法正确的是( ①函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x); ②函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x); ③函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x); ④函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x). A.①③ C.①② B.②④ D.③④

)

解析:选 C 由图象可知,函数 f(x)为奇函数且关于直线 x=1 对称,所以 f(1+x)=f(1 -x),所以 f[1+(x+1)]=f[1-(x+1)],即 f(x+2)=f(-x).故①②正确. 2.若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与函数 f(x)的值域相同,则 称变换 T 是函数 f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中变换 T 不属于 函数 f(x)的同值变换的是( )

A.f(x)=(x-1)2,变换 T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 B.f(x)=2x 1-1,变换 T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称 C.f(x)=2x+3,变换 T 将函数 f(x)的图象关于点(-1,1)对称 π D.f(x)=sin?x+3?,变换 T 将函数 f(x)的图象关于点(-1,0)对称 ? ? 解析:选 B 对于 A,与 f(x)=(x-1)2 的图象关于 y 轴对称的图象对应的函数解析式为 g(x)=(-x-1)2=(x+1)2,易知两者的值域都为[0,+∞);对于 B,函数 f(x)=2x 1-1 的值 域为(-1,+∞),与函数 f(x)的图象关于 x 轴对称的图象对应的函数解析式为 g(x)=-2x
-1 - -

+1,其值域为(-∞,1);对于 C,与 f(x)=2x+3 的图象关于点(-1,1)对称的图象对应的函

π 数解析式为 2-g(x)=2(-2-x)+3, g(x)=2x+3, 即 易知值域相同; 对于 D, f(x)=sin?x+3? 与 ? ? π 的图象关于点(-1,0)对称的图象对应的函数解析式为 g(x)=sin?x-3+2?,其值域为[-1,1], ? ? 易知两函数的值域相同. 3.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时的 f(x)的表达式. 解:(1)证明:设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0=f(x0),点 P 关于直线 x =2 的对称点为 P′(4-x0,y0).因为 f(4-x0)=f(2+(2-x0))=f(2-(2-x0))=f(x0)=y0,所 以 P′也在 y=f(x)的图象上,所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2)因为当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 所以 f(-x)=-2x-1. 又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7. 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2]. 所以 f(x)=?
? ?2x+7,x∈[-4,-2], ?-2x-1,x∈[-2,0]. ?

1. D={(x, 设 y)|(x-y)(x+y)≤0}, 记“平面区域 D 夹在直线 y=-1 与 y=t(t∈[-1,1]) 之间的部分的面积”为 S,则函数 S=f(t)的图象的大致形状为( )

解析: C 如图平面区域 D 为阴影部分, t=-1 时, 选 当 S=0, 1 1 排除 D;当 t=- 时,S> Smax,排除 A、B. 2 4

2. (2012· 深圳模拟)已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象 如图所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1;

②x2f(x1)>x1f(x2); ③ f?x1?+f?x2? ?x1+x2? <f 2 ? 2 ?.

其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填上) 解析:①错误,①即为 f?x2?-f?x1? >1,在(0,1)上不恒成立;由题图知,0<x1<x2<1 时, x2-x1

f?x1? f?x2? > ,②正确;图象是上凸的,③正确. x1 x2 答案:②③



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