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人教版 选修2-2 1.2 导数的计算—教师版 课本练习、习题答案


人教版 高中数学 选修 2-2

第一章 导数及其应用

课本例题、练习、习题

1.2 导数的计算——教师版 基本初等函数的导数公式 1 2 3 4 5 6 7 f(x)=c(c 为常数) f(x)=x (n∈Q ) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=e x f(x)=loga x
n *

f?(x)=0 f?(x)=nxn-1 f?(x)=cos x f?(x)=-sin x f?(x)= axln a f?(x)= e x f?(x)=

P18/练习 1. P6/例 1 如果在第 x h 时,原油的温度(单位:?℃) 为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8). 计算第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意 义. 解:f?(x)=(x2-7x+15)?=(x2)?-(7x)?+(15)? =2x-7, 在第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变 化率就是 f?(2)和 f?(6). f?(2)= 2×2-7=-3, f?(6)= 2×6-7=5. 2. 求下列函数的导数: (1) y=log2 x; 解:(1) y? ?

1 x ln a 1 f?(x)= 8 f(x)=ln x x 1 1 1 ? 1 9. ( x )? ? ( x 2 )? ? x 2 ? 2 2 x 1 1 ?1 ?2 10. ( )? ? ( x )? ? ? x ? ? 2 x x
1. 2. 3. 4. 导数运算法则 [f(x)±g(x)]?=f?(x)±g?(x); [f(x)·g(x)]?=f?(x) g(x) + f(x)g?(x);

(2) y=2ex; (2) y?=(2ex)?= 2(ex)?=2ex

1 x ln 2

(3) y=2x5-3x2-4;

(4) y=3cos x-4sin x;

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

(3) y?=(2x5-3x2-4)?=(2x5)?-(3x2)?-(4)? =10x4-6x. (4) y?=(3cos x-4sin x)?=(3cos x)?-(4sin x)? =-3sin x-4cos x. (5) y ? cos (5) 令 u ?

[cf(x)]?=cf?(x). 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u), u=g(x) 的导数间的关系为 yx?= yu?·u x? . 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的 导数的乘积. P15/例 2 求函数 y=x3-2x+3 的导数. 解:y?=(x3-2x+3)? =(x3)?-(2x)?+(3)? =3x2-2. P17/例 4 求下列函数的导数: (1) y=(2x+3)2; (2) y=e?0.05 x+1; (3) y=sin(?x+?)(其中?,?均为常数). 解:(1) 令 u=2x+3,则 y=u2, yx?= yu?·u x?=(u2)?·(2x+3)? =2u·2=4(2x+3) =8x+12. (2) 令 u=-0.05x+1,则 y=eu, yx?= yu?·u x?=(eu)?·(-0.05x+1)? = eu·(-0.05) =-0.05e?0.05x+1. (3) 令 u=?x+?,则 y=sin u, yx?= yu?·u x?=(sin u)?·(?x+?)? =cos u·? =?cos(?x+?).

x ; 3

(6) y ?

x ?1 .

x ,则 y=cos u. 3

yx?= yu?·u x?=(cos u)?·(

1 x )? 3 1 1 x =(-sin u)·( )=- sin . 3 3 3
1
1

(6) 令 u=x-1,则 y= u ? u 2 . yx?= yu?·u x?=( u 2 )?·(x-1)? 1 ?1 1 1 ? =( u 2 )·1= . 2 2 u 2 x ?1 P18/习题 1.2 A 组 1. 已知圆面积 S=?r2,根据导数的定义求 S?(r). 解:S?(r)=(?r2)?=?·(r2)?=2?r. 2. 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数 关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 求高度关于时间的函数的导数. 解:h?(t)=(-4.9t2+6.5t+10)? =(-4.9t2)?+(6.5t)?+(10)? =-9.8t+6.5.
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人教版 高中数学 选修 2-2

第一章 导数及其应用
3

课本例题、练习、习题

3. 求描述气球膨胀状态的函数 r(V)=
3 3 3

3V 的导数. 4π

6. 已知函数 y=xln x. (1) 求这个函数的导数; (2) 求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程. 解:(1) y?=(xln x)?=1·ln x+x·

3V 3 3 3 1 解:r(V)= ? V ? V3 4π 4π 4π 3 3 1 3 3 1 ?2 r?(V ) ? (V 3 )? ? ( V 3) 4? 4? 3 3 3 1 3 1 1 3 . ? ? 3 4? 3 V 2 3 4?V 2
4. 求下列函数的导数: (1) y=x3+log2 x; 解:(1) y?=(x3+log2 x)?=3x2+

1 =ln x +1. x

(2) 切线斜率 k=y?|x=1=ln 1+1=1. y|x=1=1×ln 1=0 y-0=1×(x-1) 故切线方程为 y=x-1.

(2) y=x e ;

n x

7. 求曲线 y ?

sinx 在点 M(?,0)处的切线方程. x

(2) y?=(xnex)?=(xn)?ex+xn(ex)? =nxn?1ex+xnex

1 . x ln 2

解: y? ?

x3 ? 1 (3) y ? ; sin x
(3) y? ?

(4) y=(x+1)99;

(4) 令 u=x+1,则 y=u99. yx?= yu?·u x?=(u99)?·(x+1)? =99 u98·1 =99(x+1)98. (5) y=2e?x;

( x3 ? 1)? sin x ? ( x3 ? 1)(sin x)? sin 2 x 2 3x sin x ? ( x3 ? 1) cos x ? sin 2 x 3x 2 sin x ? x3 cos x ? cos x . ? sin 2 x

(sin x)? x ? sin x 1 x cos x ? sin x ? x2 x2 ? cos ? ? sin ? ?? 1 ? 2 ?? k=y?|x=?= 2 ? ? ? 1 y-0= ? ×(x-??) ? x 故切线方程为 y= ? +1. ?

8. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射 性气体. 如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后,氡气的剩余量为 A(t)=500×0.834t. (1) 氡气的散发速度是多少? (2) A'(7) 的值是什么 ( 精确到 0.1) ?它表示什 么意义? 解:(1) A'(t)=500×(0.834t)×ln 0.834 =500×ln 0.834×0.834t. (2) A'(7)=-90.76×0.8347=-25.5. 它表示氡气在第 7 天左右时, 以 25.5 g/ 天的速率减少. P19/ B 组 2. 设函数 f(x)=1-ex 的图象与 x 轴相交于点 P,求 曲线在点 P 处的切线的方程. 解:令 f(x)=1-ex=0,则 x=0. 故 P(0,0). f?(x)=(1-ex)=(1)?-(ex)?=-ex. 切线斜率 k= f?(0)=-e0=-1 y-0=-1×(x-0) 故曲线在点 P 处的切线方程为:y=-x.

(6) y=2xsin(2x+5).

(5) 令 u=-x,则 y=2eu. yx?= yu?·u x?=(2eu)?·(-x)? =2eu·(-1) =-2e?x. (6)设 t=sin(2x+5),令 u=2x+5,则 t=sin u. tx?= tu?·u x?=(sin u)?·(2x+5)?=cos u·2 =2cos(2x+5). y?=(2x)?·sin(2x+5)+2x·[sin(2x+5)]? =2sin(2x+5)+4xcos(2x+5). 5. 已知函数 f ( x) ? 13 ? 8x ? 2x2 ,且 f? (x0)=4, 求 x0. 解: f ?( x) ? (13)? ? (8x)? ? ( 2x2 )?

? ?8 ? 2 2 x . f? (x0)= ?8 ? 2 2x0 =4,
故 x0 ? 3 2 .
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