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江西省赣州市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文(含解析)



江西省赣州市20162017学年高二下学期期末数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每一小题的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1.(5分) A.2i =() B. ﹣2i C.2 D. ﹣2

2.(5分)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的()

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.(5分)已知z∈C,若z2+|z|=0,则z=() A.i 0或±i B. ±i C.0 D.

4.(5分)已知a>b>0,则 A. ﹣ > B.



与 ﹣

的大小关系是() < C. ﹣ =

D.无法确定

5.(5分)某程序框图如图所示,该程序运行输出的k值是()

1

A.4

B.

5 C.

6

D.

7

6.(5分)已知关于x与y之间的一组数据: x y 2 2 3 6 3 6 6 10 6 11

则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点() A.(4,7) D.(5,6) B. (3.5,6.5) C.(3.5,7.5)

7.(5分)设直线l:

(t为参数),曲线C1:

(θ为参数)

,直线l与曲线C1交于A,B两点,则|AB|=() A.2 B. 1 C. D.

8.(5分)不等式x﹣

<1的解集是()

2

A.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) (﹣1,1)∪(3,+∞) (﹣∞,﹣1)∪(1,3)

B. C. D. (﹣1,3)

9.(5分)极坐标方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是() A.两个圆 C.一个圆和一条射线 B.两条直线 D.一条直线和一条射线

10.(5分)该试题已被管理员删除

11.(5分)不等式|2x﹣1|+|x+1|>2的解集为() A.(﹣∞,0)∪( ,+∞) B. ( ,+∞) C.

(﹣∞,﹣1)∪( ,+∞)

D.

(﹣∞,0)

12.(5分)设x,y,z均大于0,则三个数:x+ ,y+ ,z+ 的值() A.都大于2 C.都小于2 B.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于2

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,答案填写在答题卷上. 13.(5分)复数ω=﹣ + i,则在复平面内,复数ω2对应的点在第象限.

3

14.(5分)

,由此猜想出第n(n∈N+)个

数是.

15.(5分)阅读程序框图,输出的结果s的值为.

16.(5分)在极坐标系中,极点为O,曲线C1:ρ=6sinθ与曲线C2:ρsin( θ+ )= ,则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为.

三、解答题:本大题共6小题,共 70分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17.(10分)某地对50人进行运动与性别是否有关测试,其中20名男性中有15 名喜欢运动,30名女性中10名喜欢运动. (Ⅰ)根据以上数据建立一个2×2列联表; (Ⅱ)判断喜欢运动是否与性别有关? 参考数据: 临界值表: 4 .

P(Χ2≥k) 0.100 k 2.706

0.050 3.841

0.025

0.010

0.005 7.879

0.001 10.828

5 .024 6.635

18.(12分)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立 极坐标系.已知曲线C1:

(t为参数),C2:

(θ为参数).

(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t= ,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:

ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距离的最小值.

19.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班25名女 同学,15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.随机抽出8位,他 们的数学分数从小到大排序是:60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数 从小到大排序是:72、77、80、84、88、90、93、95. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男女同学分别抽取多少人? (Ⅱ)若这8位同学的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

数学分数x 60 物理分数y 72

根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间 是否具有线性相关性?如果具有线性相关性,求y与x的线性回归方程(系数精 确到0.01);如果不具有线性相关性,请说明理由.

5

参考公式:相关系数

;回归直线的方程是

: =bx+a.

其中对应的回归估计值b=

,a= ﹣b ;

参考数据: =77.5, =85, x1﹣ )(y1﹣ )≈688,

(x1﹣ )2≈1050, ≈32.4,

(y1﹣ )2≈456; ≈23.5.



≈21.4,

20.(12分)(1)已知等差数列{an}, :{bn}仍为等差数列;

(n∈N*),求证

(2)已知等比数列{cn},cn>0(n∈N*)),类比上述性质,写出一个真命题 并加以证明.

21.(12分)(选修4﹣5:不等式选讲) 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.

22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线

(θ为参数

),过点P(0,2)且斜率为k的直线与曲线C1相交于不同的两点A,B. (Ⅰ)求k的取值范围;

6

(Ⅱ)是否存在常数k,使得向量 存在,请说明理由.



共线?如果存在,求k值;如果不

江西省赣州市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每一小题的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1.(5分) A.2i =() B. ﹣2i C.2 D. ﹣2

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则即可得出. 解答: 故选:C. 点评:本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 解:原式= =2,

2.(5分)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的() A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 7

分析:考虑“a>0且b>0”与“a+b>0且ab>0”的互推性. 解答: 解:由a>0且b>0?“a+b>0且ab>0”,

反过来“a+b>0且ab>0”?a>0且b>0, ∴“a>0且b>0”?“a+b>0且ab>0”, 即“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充分必要条件, 故选C 点评: 本题考查充分性和必要性,此题考得几率比较大,但往往与其他知识结合 在一起考查.

3.(5分)已知z∈C,若z2+|z|=0,则z=() A.i 0或±i B. ±i C.0 D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 解答: 解:设z=a+bi,(a,b∈R). =0,

∵z2+|z|=0,∴a2﹣b2+2abi+ ∴ ,

解得





则z=0,或z=±i. 故选:D. 点评:本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题.

4.(5分)已知a>b>0,则



与 8

的大小关系是()

A.





B.





C.



=

D.无法确定

考点:不等式比较大小. 专题:不等式的解法及应用. 分析:平方作差可得:()2﹣()2,化简可判其小于0,进而可得结论 解答: 解:( ﹣ ), ﹣ )2﹣( )2=a+b﹣2 ﹣a+b=2(b﹣ )=2 (

∵a>b>0, ∴ ∴( ∴ ﹣ ﹣ ﹣ < <0, )2﹣( , )2<0,

故选:B. 点评:本题考查不等关系与不等式,平方作差是解决问题的关键,属基础题

5.(5分)某程序框图如图所示,该程序运行输出的k值是()

A.4

B.

5 C.

6

D.

7

9

考点:循环结构. 专题:计算题. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该 程序的作用是利用循环计算S,k值并输出k,模拟程序的运行过程,即可得到答 案. 解答: S 循环前 100 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: k 0/ 1 2 是 是 是否继续循环

第一圈100﹣20 第二圈100﹣20﹣21 …

第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25<0 则输出的结果为7. 故选C. 点评:

6



根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题 型,其处理方法是::①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中 既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比 较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分 析的结果,选择恰当的数学模型③解模.

6.(5分)已知关于x与y之间的一组数据: x y 2 2 3 6 3 6 6 10 6 11

则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点() A.(4,7) D.(5,6) 10 B. (3.5,6.5) C.(3.5,7.5)

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点,需要先求出这组数据的样本 中心点,根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值,得到样本中心 点,得到结果. 解答: 解:∵ = (2+3+3+6+6)=4, = (2+6+6+10+11)=7,

∴本组数据的样本中心点是(4,7), ∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点(4,7) 故选:A. 点评: 本题考查线性回归方程必过样本中心点,考查学生的计算能力,这是一个 基础题.

7.(5分)设直线l:

(t为参数),曲线C1:

(θ为参数)

,直线l与曲线C1交于A,B两点,则|AB|=() A.2 B. 1 C. D.

考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: 由曲线C1: (θ为参数),利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角 11

坐标方程.直线l:

(t为参数),消去参数化为

=0.求

出圆心C1(0,0)到直线l的距离d,利用|AB|=2 解答: 解:由曲线C1:

即可得出.

(θ为参数),化为x2+y2=1,

直线l:

(t为参数),消去参数化为y=

(x﹣1),即

=

0. ∴圆心C1(0,0)到直线l的距离d= = .

∴|AB|=2 故选:B. 点评:

=

=1.

本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线 的距离公式,考查了推理能力与计算能力 ,属于中档题.

8.(5分)不等式x﹣

<1的解集是()

A.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) (﹣1,1)∪(3,+∞) (﹣∞,﹣1)∪(1,3)

B. C. D. (﹣1,3)

考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 12

分析:直接利用分式不等式求解即可. 解答: 解:不等式x﹣ <1化为: ,

即: ∪(1,3) 故选:C.

,由穿根法可得:不等式的解集为:(﹣∞,﹣1)

点评:本题考查分式不等式的解法,考查计算能力.

9.(5分)极坐标方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是() A.两个圆 C.一个圆和一条射线 B.两条直线 D.一条直线和一条射线

考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: 由题中条件:“(ρ﹣1)(θ﹣π)=0”得到两个因式分别等于零,结 合极坐标的意义即可得到. 解答: 解:方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0?ρ=1或θ=π,

ρ=1是半径为1的圆, θ=π是一条射线. 故选C. 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点 13

的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极 坐标和直角坐标的互化.

10.(5分)该试题已被管理员删除

11.(5分)不等式|2x﹣1|+|x+1|>2的解集为() A.(﹣∞,0)∪( ,+∞) B. ( ,+∞) C.

(﹣∞,﹣1)∪( ,+∞)

D.

(﹣∞,0)

考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析: 通过对自变量x范围的讨论,去掉绝对值符号,即可得出不等式|2x﹣1|+| x+1|>2的解集. 解答: 解:①当x> 时,|2x﹣1|+|x+1|=2x﹣1+(x+1)=3x,∴3x>2,解得x

> ,又x> ,∴x> ;

②当﹣1≤x≤ 时,原不等式可化为﹣x+2>2,解得x<0,又﹣1≤x≤ ,∴﹣ 1≤x<0; ③当x<﹣1时,原不等式可化为﹣3x>2,解得x<﹣ ,又x<﹣1,∴x<﹣1 .

14

综上可知:原不等式的解集为(﹣∞,0)∪( ,+∞). 故选:A. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,突出考查 转化思想与分类讨论思想的综合 应用,熟练掌握分类讨论思想方法是解含绝对值的不等式的常用方法之一,属 于中档题.

12.(5分)设x,y,z均大于0,则三个数:x+ ,y+ ,z+ 的值() A. C.都小于2 都大于2 B. 至少有一个不大于2

D.至少有一个不小于2

考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明. 分析:举反例否定A,B,C,即可得出答案. 解答: 解:已知x,y,z均大于0,

取x=y=z=1,则x+ =y+ =z+ =2,否定A,C.

取x=y=z= ,则x+ ,y+ ,z+ 都大于2. 故A,B,C都不正确. 因此只有可能D正确. 故选:D. 点评: 本题考查了举反例否定一个命题的方法,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

15

二、填空题:本大题共 4小题,每小题5分,共20分,答案填写在答题卷上. 13.(5分)复数ω=﹣ + i,则在复平面内,复数ω2对应的点在第三象限.

考点:复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接化简复数为:a+bi的形式,然后判断即可. 解答: 解:复数ω=﹣ + 三象限. 故答案为:三. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力. i,复数ω2=﹣ ﹣ i,对应点(﹣ , )在第

14.(5分)

,由此猜想出第n(n∈N+)个

数是



考点:归纳推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析: 根号下由两个数组成,前一个数是首项为2,公差为1的等差数列,后一个 数是分数,通项是 ,从而可猜想第n个数.

解答:

解:∵



16

∴将根号下的数分成两个数的和,2,3,4…的通项是n+1; , , …的通项是

∴由此猜想第n个数为



故答案为:



点评: 本题考查了归纳推理,考查了信息获取能力,先利用已知的计算,认真观 察是解决此类问题的关键.

15.(5分)阅读程序框图,输出的结果s的值为



考点:运用诱导公式化简求值;循环结构. 专题:计算题;规律型. 分析: 由2011除以6余数为1,根据程序框图转化为一个关系式,利用特殊角的三 角函数值化简,得出6个一循环,可得出所求的结果. 解答: 解:∵2011÷6=335…1, 17

∴根据程序框图转化得: sin +sin +sinπ+…+sin

=(

+

+0﹣



+0)+(

+

+0﹣



+0)+…+(

+

+0﹣



+0)+

=



故答案为: 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,循环结构,以及特殊角的三角函数值 ,认清程序框图,找出规律是解本题的关键.

16.(5分)在极坐标系中,极点为O,曲线C1:ρ=6sinθ与曲线C2:ρsin( θ+ )= ,则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为 .

考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: 把已知曲线极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用点到直线的距离公式 求出圆心到直线的距离,即可得出. 解答: 解:曲线C1:ρ=6sinθ化为:ρ2=6ρsinθ,∴直角坐标方程为:x2+y2 =6y,配方为x2+(y﹣3)2=9.

18

曲线C2:ρsin(θ+

)=

,展开为

=

,化为直角

坐标方程为:x+y﹣2=0. 圆心(0,3)到直线的距离d= = .

则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为



故答案为: 点评:



本题考查了把曲线极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式, 考查了计算能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.(10分)某地对50人进行运动与性别是否有关测试,其中20名男性中有15 名喜欢运动,30名女性中10名喜欢运动. (Ⅰ)根据以上数据建立一个2×2列联表; (Ⅱ)判断喜欢运动是否与性别有关? 参考数据: 临界值表: P(Χ2≥k) 0.100 k 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 .

考点:独立性检验的应用. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据所给数据得到列联表. 19

(Ⅱ)根据列联表中所给的数据做出观测值,把观测值同临界值进行比较得到 有99.5%的把握认为 “是否喜欢运动与性别有关”. 解答: 解:(Ⅰ)建立2×2列联表 喜欢运动 男性 女性 合计 …(5分) (Ⅱ) …(8分) 15 10 25 不喜欢运动 5 20 25 合计 20 30 50

故有99.5%的把握认为“是否喜欢运动与性别有关”…(10分) 点评: 独立性检验是考查两个分类变量是否有关系,并且能较精确的给出这种判 断的可靠程度的一种重要的统计方法,主要是通过Χ2的观测值与临界值的比较 解决的.

18.(12分)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立 极坐标系.已知曲线C1:

(t为参数),C2:

(θ为参数).

(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t= ,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:

ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距离的最小值.

考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 20

分析:

(Ⅰ)曲线C1:

(t为参数),利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程;C2: 数),利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程. (Ⅱ)当t= 时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M

(θ为参

,直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7化为x﹣2y=7, 利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出. 解答: 解:(Ⅰ)曲线C1:

(t为参数),化为(x+4)2+(y﹣3)2=1, ∴C1为圆心是(﹣4,3),半径是1的圆. C2: (θ为参数),化为 .

C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (Ⅱ)当t= 时,P(﹣4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M

, 直线C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7化为x﹣2y=7, M到C3的距离d= = |5sin(θ+φ)+13|,

从而当cossinθ= ,sinθ=﹣ 时,d取得最小值 点评:



本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的 距离公式公式、三角函数 21

的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

19.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班25名女 同学,15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.随机抽出8位,他 们的数学分数从小到大排序是:60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数 从小到大排序是:72、77、80、84、88、90、93、95. (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男女同学分别抽取多少人? (Ⅱ)若这8位同学的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95

数学分数x 60 物理分数y 72

根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间 是否具有线性相关性?如果具有线性相关性,求y与x的线性回归方程(系数精 确到0.01);如果不具有线性相关性,请说明理由.

参考公式:相关系数

;回归直线的方程是

: =bx+a.

其中对应的回归估计值b=

,a= ﹣b ;

参考数据: =77.5, =85, x1﹣ )(y1﹣ )≈688,

(x1﹣ )2≈1050, ≈32.4,

(y1﹣ )2≈456; ≈23.5.



≈21.4,

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 22

分析:

(Ⅰ)按分层抽样原理,计算应抽取的男生、女生各是多少;

(Ⅱ)根据题目中的公式,计算相关系数r,判断线性相关性;求出线性回归方 程中的系数,得出回归方程. 解答: 女生应抽取 解:(Ⅰ)按男女生分层抽样的结果是, (人),

男生应抽取

(人);…(4分)

(Ⅱ)变量y与x的相关系数是

r=

=

=

≈0.99;…(

6分) 可以看出,物理与数学成绩是高度正相关;…(8分) 【若以数学成绩x为横坐标,物理成绩y为纵坐标做散点图, 从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近,并且在逐步上升, 所以物理与数学成绩是高度正相关;】 设y与x的线性回归方程是 根据所给的数据,可以计算出 ,

b=

=

=0.66,

a= ﹣b =85﹣0.66×77.5=33.85;…(10分) 所以y与x的回归方程是 点评: 本题考查了线性回归方程的应用问题,也考查了线性相关系数的计算问题 ,是基础题目. 23 .…(12分)

20.(12分)(1)已知等差数列{an}, :{bn}仍为等差数列;

(n∈N*),求证

(2)已知等比数列{cn},cn>0(n∈N*)),类比上述性质,写出一个真命题 并加以证明.

考点:等差关系的确定;类比推理. 专题:等差数列与等比数列. 分析:

(1)由求和公式可得bn= ,可判为等差数列;

=

,进而可得bn+1﹣bn为常数

(2)类比命题:若{cn}为等比数列,cn>0,(n∈N*),dn= {dn}为等比数列,只需证明 为常数即可.

,则

解答:

解:(1)由题意可知bn= ﹣ = ,

=



∴bn+1﹣bn=

∵{an}等差数列,∴bn+1﹣bn= ∴{bn}仍为等差数列;

= 为常数,(d为公差)

(2)类比命题:若{cn}为等比数列,cn>0,(n∈N*), dn= ,则{dn}为等比数列, = ,

证明:由等比数列的性质可得:dn=

24



=

=

为常数,(q为公比)

故{dn}为等比数列 点评: 本题考查等差数列的定义,涉及类比推理和等比数列的定义,属中档题.

21.(12分)(选修4﹣5:不等式选讲) 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.

考点:绝对值不等式的解法;函数单调性的性质. 专题:压轴题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣ 3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数y的图象,数形结合可得结论. (Ⅱ)不等式化即 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2对 解答: 解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2| ﹣x﹣3<0. 设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 都成立.故﹣ ≥a﹣2,由此解得a的取值范围.

y=

,它的图象如图所示:

25

结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2). (Ⅱ)设a>﹣1,且当 时,f(x)=1+a,不等式化为

1+a≤x+3,故 x≥a﹣2对

都成立.

故﹣ ≥a﹣2,解得 a≤ ,故a的取值范围为(﹣1, ].

点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的 应用,体现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.

22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线

(θ为参数

),过点P(0,2)且斜率为k的直线与曲线C1相交于不同的两点A,B. (Ⅰ)求k的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数k,使得向量 存在,请说明理由. 与 共线?如果存在,求k值;如果不

考点:直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆.

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分析: (Ⅰ)曲线C1的方程可写成(x﹣6)2+y2=4,过P(0,2)且斜率为k的直 线方程为y=kx+2,代入曲线C1的方程可得(1+k2)x2+4(k﹣3)x+36=0,直线与 圆交于两个不同的点A,B等价于△>0,解出即可. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 与 ,

共线 等价于﹣2(x1+x2)=6(y1+y2),利用根与系数的关系代入解出即可

判断出. 解答: 解:(Ⅰ)曲线C1的方程可写成(x﹣6)2+y2=4,

过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2, 代入曲线C1的方程得x2+(kx+2)2﹣12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k﹣3)x+36=0,① 直线与圆交于两个不同的点A,B等价于△=﹣4×36(1+k2)=42(﹣8k2﹣6k)> 0, 解得 ,即k的取值范围为 . ,

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 由方程①, 又y1+y2=k(x1+x2)+4,③ 而 ∴ 与 , 共线等价于﹣2(x1+x2)=6(y1+y2), . ,②

将②③代入上式,解得

由(Ⅰ)知 点评:

,故没有符合题意的常数k.

本题考查了圆的参数方程化为直角坐标方程、直线与圆相交问题、向量共 线定理、根与系数的关系应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 27

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