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第7课 二元一次方程组



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 2014年

1. 二元一次方 程组的概念 与解法 2.二元一次方 程组的综合 3.用二元一次 方程组解决 实际问题

杭州T16,4分 杭州T13,4分 温州T4,4分 温州T9,4分 宁波T12,4分 温州T13,5分 温州T23,12分 丽水T20,8分 宁波T24,10分 绍兴、义乌T22,12分 湖州T18,6分 金华T18,6分 嘉兴、舟山T21,10分 绍兴、义乌T22,12分

考点一 二元一次方程组的概念与解法
考点清单
1.由两个一次方程组成,并且含有两个未知数的方程组, 叫作二元一次方程组.使二元一次方程两边的值相等 的一对未知数的值,叫作二元一次方程的一个解;同 时满足二元一次方程组中各个方程的 解,叫作这个二 元一次方程组的解. 2.解二元一次方程组的基本思想是“消元”,也就是把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程,主要方法有 代入消元法、加减消元法.

要点点拨
1.解二元一次方程组的基本思想是“消元”,即化“二元”为“一 元”,这种方法体现了数学研究中的化归思想,具体地说, 就是把“新知识”转化为“旧知识”, 把“未知”转化为“已知”, 把“复杂问题”转化为“简单问题”.二元一次方程组和三元 一次方程组一般都通过“消元”转化为一元一次方程解决. 2.解二元一次方程组时,应根据二元一次方程组的特点,灵 活选择解题方法.一般而言,当二元一次方程组中有某个 方程的未知数的系数的绝对值是 1 或两个未知数成倍数关 系时,常采取代入消元法,否则建议采取加减消元法.
特别关注 解方程或方程组时,除了基本方法外,有时根据 题目特点,也可以采取换元法、整体代入法、两个方程组同加 同减构造等价的新方程组等方法.

【典例 1】

?x+2y=5, (2016· 浙江金华)解方程组:? ?x+y=2.

【点评】 本题考查二元一次方程组的解法,将二元转化 为一元是解题的关键.本题既可以用代入消元法求解,也 可以用加减消元法求解.
【解析】
?x+2y=5,① ? ?x+y=2,②

①-②,得 y=3. 将 y=3 代入②,得 x+3=2,解得 x=-1. ?x=-1, ∴原方程组的解是? ?y=3.

考点二 二元一次方程组的综合
要点点拨
1.已知方程(组)的解的特征,求待定系数的一般方法: (1)先将待定系数看成已知数,解这个方程组,再将求 得的含待定系数的解代入另外的等量关系中,便转 化成一个关于待定系数的一元一次方程. (2)几个方程(组)同解,可选择两个含已知系数的组成 二元一次方程组求得未知数的解,然后将方程组的 解代入含待定系数的另外的方程(组)中, 解方程(组) 即可.

2.方程组中,看错系数问题:看错方程组中一个方程的 系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解, 又是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没 有看错系数的方程中,构建新的方程组,然后解方程 组即可.
特别关注 抓住方程(组)的解的特征和待定系数的特征

是解这类方程组综合问题的关键.

【典例 2】 (2015· 四川南充)已知关于 x,y 的二元一次方 ?2x+3y=k, 程组? 的解互为相反数,则 k 的值是____. ?x+2y=-1 【点评】 本题主要考查二元一次方程组的综合,用 k 表 示 x,y 的值并根据解的特征列方程求解是解题的关键.
【解析】
?2x+3y=k, ?x=2k+3, 解方程组? 得? ?x+2y=-1, ?y=-2-k.

由题意,得 x+y=0, ∴2k+3-2-k=0,解得 k=-1.

【答案】 -1

考点三 用二元一次方程组解决实际问题
考点清单
用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是: ①审 题;②设元;③列方程组;④解方程组;⑤检验.

要点点拨
1.用方程组解决问题的关键是读懂题意,找出题中存在 的等量关系并分别列出方程. 2.找等量关系时,要抓住关键词语,如:多、少、共、 几分之几、倍等.设未知数时,可以采取直接设法, 也可以采取间接设法,尤其要注意间接设未知数时, 最后要“回归”到题目的问题,不要解完方程组就直 接作答.
特别关注 解题时,要注意单位的统一.作答时要注意

避免“答非所问”.

【典例 3】 (2016· 江苏连云港)某数学兴趣小组研究我国 古代《算法统宗》里的一首诗:“我问开店李三公,众 客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.” 诗中后两句的意思是:如果每一间客房住 7 人,那么 有 7 人无房可住;如果每一间客房住 9 人,那么就空 出一间房. (1)该店有客房多少间?房客多少人? (2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增 加.每间客房收费 20 钱,且每间客房最多入住 4 人,一次性定客房 18 间以上(含 18 间),房费按 8 折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订 房更合算?

【点评】 本题主要考查用二元一次方程组解决实际问 题,找出等量关系建立方程组是解题的关键.

【解析】 (1)设该店有客房 x 间,房客 y 人, ?7x+7=y, ?x=8, 根据题意,得? 解得? ?9(x-1)=y, ?y=63. 答:该店有客房 8 间,房客 63 人. (2)若每间客房住 4 人, 则 63 名房客至少需客房 16 间, 需 付费 20× 16=320(钱); 若一次性定客房 18 间,则需付费 20× 18× 0.8=288(钱)< 320 钱. 答:诗中“众客”再次一起入住,他们应选择一次性订客房 18 间更合算.

解二元一次方程是中考必考的内容, 它常出现在求二 次函数的表达式和某些实际应用问题中, 单独考查时一般 难度不大,但要注意二元一次方程组的应用.解二元一次 方程组除了代入消元法和加减消元法之外, 常常还会用到 整体代入法,应予以重视.

【例 1】 (2016· 黑龙江龙东)为了丰富学生课外小组活动, 培养学生的动手操作能力,王老师让学生把 5 m 长的 彩绳截成 2 m 或 1 m 的彩绳,用来做手工编织.在不 造成浪费的前提下,不同 的截法有 ( ) .. A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种

【解析】 设截成 2 m 长的彩绳 x 根, 1 m 长的彩绳 y 根, 由题意,得 2x+y=5. ∵x,y 都是正整数, ?x=0,?x=1,?x=2, ? ? ∴符合条件的解为? ?y=5, ?y=3, ?y=1. 故共有 3 种不同的截法.

【答案】 C

【例 2】 (2016· 江西模拟)小红和小丽对问题“若方程组 ?a1x+b1y=c1, ?x = 3 , ? 的解是? 求方程组 ?a2x+b2y=c2 ?y=-4, ?3a1x+2b1y=5c1, ? 的解”提出了各自的想法.小红说: ?3a2x+2b2y=5c2 “这个题目好像条件不够,不能求解.”小丽说:“能不 能把第二个方程组的两个方程的两边同时除以 5,通 过整体代换的方法来解决?”参考她们的讨论, 解决该 问题.
提 示

读懂题意,根据题中的思路,运用整体代入法解

方程组是解题的关键.

【解析】

?3a1x+2b1y=5c1, 将方程组? 两边同时除以 5, ?3a2x+2b2y=5c2

? ? ? ? ? ?a ?3x?+b ?2y?=c , ? 1? ? 1 ? 1? ?5 ? ?5 ? 得? ? ? ?2 ? ? ?3 ? ? ? x a + b ? 2? 2? y?=c2. ? 5 ? ? ? ?5 ? ?a1x+b1y=c1, ?x=3, ∵方程组? 的解是? ?a2x+b2y=c2 ?y=-4, ?3 ? ?2 ? ? ? ? ? ?a x +b ? y?=c , ?3x=3, ? 1? ? 1 ? 1? ?5 ?5 ? ?5 ? ∴方程组? ? ? 可化为? ? ? ?2 ? ?3 ? ?2 ? y=-4, a ? x?+b2?5y?=c2 ? ? 5 ? ? 2?5 ? ? ? ?x=5, 解得? ?y=-10.

【例 3】 (2016· 湖南长沙)2016 年 5 月 6 日,中国第一条具有 自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营,该路线连接 了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽,沿线的生 态绿化带走廊给乘客带来美的享受.星城渣土运输公司承 包了某标段的土方运输任务,拟派出大、小两种型号的渣 土运输车运输土方.已知 2 辆大型渣土运输车与 3 辆小型 渣土运输车一次共运输土方 31 t, 5 辆大型渣土运输车与 6 辆小型渣土运输车一次共运输土方 70 t. (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运 输土方多少吨? (2)星城渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输 车共 20 辆参与运输土方,若每次运输土方总量不少于 148 t,且小型渣土运输车至少派出 2 辆,则有哪几种派 车方案?

【解析】 (1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方 x(t),一辆 小型渣土运输车一次运输土方 y(t), ? ? ?2x+3y=31, ?x=8, ? 根据题意,得? 解得 ? ? ?5x+6y=70, ?y=5. 答:一辆大型渣土运输车一次运输土方 8 t,一辆小型渣土运 输车一次运输土方 5 t. (2)设派出大型渣土运输车 a 辆,则派出小型渣土运输车(20- a)辆. ?8a+5(20-a)≥148, ? 由题意,得? 解得 16≤a≤18. ? ?20-a≥2, ∴a 可取 16,17,18,相应的 20-a 可取 4,3,2. 故有三种派车方案: 方案一,派大型渣土运输车 16 辆,小型渣土运输车 4 辆; 方案二,派大型渣土运输车 17 辆,小型渣土运输车 3 辆; 方案三,派大型渣土运输车 18 辆,小型渣土运输车 2 辆.

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