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§4.3 用导数研究函数的性质——单调性、极值和最大最小值


§4.3 用导数研究函数的性质 ——单调性、极值和最大最小值
3.1 函数的单调性

一、单调性的判别

y

y=f(x)

y

y=f(x)

o a b x f ?(x)≥0

o a bx f ?(x)≤0

定理: 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,则该函数在 区间(a,b)内单调增加(或减少)?f ?(x)≥0(或f ?(x)≤0), x?(a,b),而f ?(x)=0只在个别点处成立

例1 讨论函数y=ex?x?1的单调性 解: x?(??,+?) y?=ex?1

使f ?(x)=0的点 只有一个,即x=0 在(??,0]内, y?≤0 ?函数单调减少 在(0,+?)内, y?>0 ?函数单调增加
推论: (充分性) 设函数y=f(x)在区间(a,b)内导数为正 (或为负), 即f ?(x)>0(或f ?(x)<0), 则该函数在 区间(a,b)内单调增加(或减少)

二、单调区间求法 问题: 如上例,函数在定义区间上不是单 调的,但在各个子区间上单调 一般,导数为零的点(即驻点)和不可 导点,可能是单调区间的分界点

方法: 用方程 f ?(x)=0的根及 f ?(x)不存在 的点来划分函数f(x)的定义区间, 然后判 别各区间内导数的符号: f ?(x)>0?增 f ?(x)<0?减

例2 确定函数f(x)=2x3?9x2+12x?3的单调区间

解: x?(??,+?)
f ?(x)=6x2?18x+12 =6(x?1)(x?2) 解方程 f ?(x)=0得: x1=1, x2=2 当??<x<1时, f ?(x)>0?(??,1)上单调增加 当1<x<2时, f ?(x)<0 ?(1,2)上单调减少 当2<x<+?时, f ?(x)>0 ?(2,+?)上单调增加 ∴单调增加区间为(??,1)∪(2,+?) 单调减少区间为(1,2)

例3 确定函数f(x)= x 的单调区间
3 2

解: x?(??,+?) ?( x ) ? 32 f 3 x 当x=0时,导数不存在 当??<x<0时, f ?(x)<0?(??,0)上单调减少 当0<x<+?时, f ?(x)>0 ?(0,+?)上单调增加 ∴单调减少区间为(??,0) 单调增加区间为(0,+?)

3 3 例4. 讨论y ? x ? x 的单调性. 8 2


8 3

2 3

所给函数的定义域为 ??,??). (
y? ?
5 x3

?x

?

1 3

?x

?

1 3 (x2

令y ? ? 0得x ? ?1, x ? 1.

( x ? 1)( x ? 1) ? 1) ? 3 x

当x ? 0时,y?不存在.
这三个点x=-1,0,1将y的定义域 (??,?? ) 分 为 (??,?1), (?1,0), (0,1), (1,??) 四个子区间.

y? ?

( x ? 1)( x ? 1)
3

x

为了研究函数的单调性,我们只关心 y? 在上

述四个子区间内的符号, 如下表所示:
x (??,?1) y? -
-1 (?1,0) 0 + 0 不存在

(0,1)


1 0

(1,?? )
+

y

可知所给函数单调增加区间为 (?1,0), (1,??) 单调减少区间为 (??,?1), (0,1)

1 例5 证明:当 x>1 时, 2 x ? 3 ? . x 1 证 令f ( x ) ? 2 x ? ( 3 ? ), 则 x 1 1 1 f ?( x ) ? ? 2 ? 2 ( x x ? 1). x x x

? 上 f(x)在 (1,??)内f ?( x ) ? 0, f ?(1) ? 0. 因此在 [1, ?) f(x)单调增加,从而当 x>1 时,f(x)>f(1).

1 1 2 即:f ( x ) ? 2 x ? ( 3 ? ) ? 0 故: x ? 3 ? x x

三、导数符号的几何意义 对于某区间上的函数y=f(x): 导数为正,曲线上升; 导数为零,曲线不升不降; 导数为负,曲线下降.

3.2 函数的极值
可导函数的极值点一定是驻点,但 驻点不一定是极值点 如何判别驻点和不可导点是否为极值点

一、判别法则1 (第一充分条件)
若函数f(x)满足 (1)在x0的邻域内可导; (2) f ?(x0)=0,

那么

(1)如果x?(x0??, x0),有f ?(x)>0,而x?(x0, x0+? ), 有f ?(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值 (2)如果x?(x0??, x0),有f ?(x)<0,而x?(x0, x0+? ), 有f ?(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值 (3)如果x?(x0??, x0)及x?(x0, x0+? )时, f ?(x)符号 相同,则f(x)在x0处无极值

y
o y + o x0
不是极值

y + ? x0 极大值 + x y o

?
x o x0

+
x

极小值 ?
? x0
不是极值

x

求极值的步骤:

(1)求导数f ?(x) (2)求驻点及不可导点
(3)检查f ?(x)在驻点及不可导点左右的 正负性判别极值点 (4)求极值

例1 求函数f(x)=x3?3x2?9x+5的极值 f ?(x)=3x2?6x?9 =3(x+1)(x?3) 解: 令f ?(x)=0 ?驻点x1= ?1, x2=3

x (??,?1) ?1 (?1,3) 3 (3,+?) + ? 0 + f ?(x) 0 极 极 大 ? 小 ? f (x) ? 值 值
∴极大值f(?1)=10 极小值f(3)= ?22

f(x)=x3?3x2?9x+5的图形:

例2 求出函数 f(x)=1? ( x ? 2 ) 的极值

2 3

解: f ?( x ) ? ? 2 ( x ? 2) 3 当x=2时, f ?(x)不存在
当x<2时, f ?(x)>0

?1 3

当x>2时, f ?(x)<0 ∴f(2)=1为f(x)的极大值

二、判别法则2 (第二充分条件)
设f(x)在x0处具有二阶导数,且 f ?(x0)=0,那么 (1)若f ??(x0)<0, 则f(x0)是极大值 (2)若f ??(x0)>0, 则f(x0)是极小值 (3)若f ??(x0)=0, 则不能判别f(x0)是否 为极值, 改用判别法则1 证明结论(1):

f ?( x0 ? ?x ) ? f ?( x0 ) lim [证](1) f ??( x0 ) ? ?x ?0 <0 ?x

由极限的局部保号性知,
在x0左右近旁, f ?(x0+?x) ?f ?(x0)与?x异号 当?x<0时, f ?(x0+?x)>f ?(x0) =0 当?x>0时, f ?(x0+?x)<f ?(x0) =0 故,函数f(x)在x0处取得极大值

例3 求函数f(x)=x3+3x2?24x?20的极值

f ?(x)=3x2+6x?24 =3(x+4)(x?2) 解: 令f ?(x)=0 ?驻点x1= ?4, x2=2
f ??(x)=6x+6 f ??(?4)= ?18 <0 ?极大值f(?4)=60

f ??(2)=18 >0 ?极小值f(2)= ?48

f(x)=x3+3x2?24x?20的图形:

上述求函数极值与极值点的方法可总结为: 欲求连续函数f(x)的极值点,需 (1) 求出f(x)的定义域. (2) 求出 f ?(x) .在f(x)的定义域内求出f(x)的全部 驻点及导数不存在的点. (3) 判定在上述点两侧 f ?(x) 的符号,利用判定 极值第一充分条件判定其是否为极值点. (4) 如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求, 可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为 极值点.

3.3 函数的最大值和最小值
一、最值的求法:
步骤: 1.求驻点和不可导点 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数 值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪 个小就是最小值

注意: 如果区间内只有一个极值,则这个 极值就是最值

例1. 求函数y=2x3+3x2?12x+14在[?3,4]上 的最大值与最小值.
解: f ?(x)=6x2+6x?12 =6(x+2)(x?1) 解方程f ?(x)=0 ?x1= ?2, x2=1 计算得: f(?3)=27 f(4)=142 f(?2)=34 f(1)= 7 比较得: 最大值f(4)=142 最小值f(1)=7

y=2x3+3x2?12x+14的图形:

例2. 某房地产公司有50套公寓要出租.当 租金定为每月 180 元时, 公寓会全部租出 去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓 租不出去,而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获 得最大收入? 解: 设房租为每月x元 租出去的房子有 50 ? x ? 180 套 10 每月总收入为:
R( x ) ? ( x ? 20)(50 ? x ? 180) 10

x) ? R( x ) ? ( x ? 20)(68 ? 10 ? R?( x ) ? (68 ? x ) ? ( x ? 20)( ? 1 ) ? 70 ? x 10 10 5

令R ?(x)=0 ?x =350 为唯一驻点

1 <0 R ??(350)= ? ?R(350)为极大值 5

故每月每套租金为350元时收入最高 最大收入为R(350) ? (350 ? 20)(68 ? 350)
10

=10890 (元)

二、实际问题求最值: (1)建立目标函数 (2)求最值 若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最值

例3. 由直线 y=0, x=8及抛物线 y=x2围成 一个曲边三角形,在曲边 y=x2上求一点, 使曲线在该点处的切线与直线y=0, x=8 所围成的三角形面积最大
y

解: 如图, 设所求切点为P(x0, y0) y=x2?y? =2x 则切线PT为: y?y0=2x0(x?x0)

T
B

P
o
A

C

x

y

y?y0=2x0(x?x0) ∵ y0=x02
1 x , 0) ∴ A( 2 0
P
o
A

T
B

C

x

C(8, 0)

B(8, 16x0?x02)

1 (8 ? 1 x )(16x ? x 2 ) ? S?ABC ? 0 0 2 2 0 2 1 x 3 (x ?[0, 8]) ? 64x0 ? 8 x0 ? 0 0 4 3x 2 ?0 令S?=0 ? 64 ? 16x0 ? 0 4

x0 ? 16 , x0 ? 16 (舍去) 解得: 3 16 ) ? ?16 ? 3 ? 2 ? 16 = ?8 <0 S ??( 3 4 3 ? S ( 16) ? 4096为极大值 3 217 故 S ( 16 ) ? 4096为所求的最大面积 3 217
对应的点为 P ( 16 , 256) 3 9

例4 .欲围一个面积为150平方米的矩形 场地,所用材料的造价其正面是每平

方米6元,其余三面是每平方米3元.问
场地的长、宽为多少米时,才能使所

用材料费最少?

解:设所围矩形场地正面长为x m,另一边长为 150 y m,则矩形场地面积为xy=150,y ? . x 设四面围墙的高相同,都为h,则四面围墙 所使用材料的费用f(x)为

100 f ( x) ? 6 xh ? 3(2 yh) ? 3xh ? 9h( x ? ), x 100 f ?( x) ? 9h(1 ? 2 ). x

令f ?( x) ? 0可得驻点x1 ? 10,x2 ? ?10(舍掉).
1 800h f ??( x) ? , f ??(10) ? 1.8h ? 0. 3 x
由于驻点唯一,由实际意义可知,问题的最 小值存在,因此当正面长为10米,侧面长为 15米时,所用材料费最少.

思考题: 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 Km , AC⊥ AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路,已知铁路与公路每公里货运

价之比为 3:5 ,为使货物从B 运到工厂C 的运费
最省,问D 点应如何选取?
A x D
20
100

B

C

A x D
20
100

B

C

解: 设 AD ? x (km) , 则 CD ? 202 ? x 2 , 总运费
( k 为某一常数 ) 400 y?? ? 5 k 2 32 (400 ? x )

y? ? k (

5x 400 ? x 2 得

? 3) ,





所以 x ?15 为唯一的 极小点 ,

从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .

内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点

(2) 第一充分条件 过 过
由正变负 由负变正 为极大值 为极小值

(3) 第二充分条件

为极大值
为极小值

? ?

2. 连续函数的最值
最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .

思考与练习
f ( x) ? f (a) ? ?1, 则在点 a 处( 1. 设 lim x ?a ( x ? a ) 2

B

).

( A) f ( x) 的导数存在 , 且 f ?(a) ? 0; ( B) f ( x) 取得极大值 ; (C ) f ( x) 取得极小值; ( D) f ( x) 的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .

2. 设 f (x) 在 x ? 0 的某邻域内连续, 且 f (0) ? 0 , f ( x) lim ? 2 , 则在点 x ? 0 处 f (x) ( D ). x ?0 1 ? cos x

(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f ?(0) ? 0 ; (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .

3. 设 y ? f (x) 是方程 y?? ? 2 y? ? 4 y ? 0 的一个解, 若 f ( x0 ) ? 0 , 且 f ?( x0 ) ? 0 , 则 f (x) 在 x0 ( A )

(A) 取得极大值 ;
(B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ;

(D) 在某邻域内单调减少 . 提示:

f ??( x0 ) ? ? 4 f ( x0 ) ? 0


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