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第一讲 §1.1变化率与导数


选修 2-2 第一章

第一讲

§ 1.1 变化率与导数

【知识点一】函数的平均变化率 如果函数 y ? f ? x ? 的自变量的“增量”为 ?x ,且 ?x ? x2 ? x1 ,相应的函数值的“增量”为

?y ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ,则函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率为

思考 1:请在由图中描出 ?x, ?y 所对应的线段, 并说明平均变化率

B

?y 有什么含义? ?x
A

【知识点二】函数的瞬时变化率

O

x1

x2

一般地,函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的瞬时变化率是函数 f ? x ? 从 x0 到 x0 ? ?x 的平均变化率在 ?x ? 0 时 的极限,即

? lim

?y ?x ?0 ?x
?x ?0

思考 2:瞬时变化率和平均变化率一样吗?结合上图,你能说说 lim

?y 的含义吗? ?x

P

O 【知识点三】在 x0 处的导数的概念(★) 函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim

x0

x0 ? ?x

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim , ?x ? 0 ?x ?x
,即

我们称它为函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 出的导数,记作

思考 3:函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的导数与它在 x ? x0 处的瞬时变化率是否一样? 你能说说函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的导数的含义吗? 思考 4:你能说说这些符号的含义吗? ?x, ?y , lim ? 2?x ? 1? , f ? ? x0 ?
?x ?0

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【知识点四】曲线的切线及切线的斜率 如课本图 1.1-2 所示,当 P n ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PP n的 变化趋势是什么? 从图形中,我们能的到割线 PPn 的斜率是 kn ? 当点 P n 沿着曲线无限接近点 P,即Δ x→0 时,割线 PP n 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 PT 称为 曲线在点 P 处的 ;其中 P 是 ;切线 PT 的斜率 k ?

思考:此处切线的定义与以前切线的定义有何区别? 【知识点五】导数的几何意义(★) 函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的导数等于在该点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即k ? ;切线方程为 (其中 P 为切点)

思考:如何利用导数求曲线在某点处 的切线方程呢? .... (1) (2) (3) 【知识点六】导函数 由函数 f ? x ? 在 x ? x0 处求导数的过程可以看到,当 x ? x0 时, f ?( x0 ) 是一个 , 那么, 当 x 变化时,

f ? ? x ? 便是 x 的一个

,我们叫它为 f ? x ? 的导函数。

记作: f ?( x ) 或 y? ,即: f ?( x) ? y? ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

思考:你能说出 f ?( x0 ) 与 f ? ? x ? 的区别吗?注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

【知识点七】利用导数来描述函数图像的增减性(★)

B
? 瞬时变化率 ? 导数 (1)平均变化率 ??? ? 切线的斜率 ? 导数 (2)割线的斜率 ???
对于单调递增图像,各点处的切线斜率都为 对于单调递减图像,各点处的切线斜率都为
?x ?0 ?x ?0

C

A

(正、负) ? 各点处导数值 (正、负) (正、负) ? 各点处导数值 (正、负)

思考:根据上面函数的图像比较下面导数值的大小?设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ?

f ? ? x1 ? , f ? ? x2 ? , f ? ? x3 ? 从小到大依次为
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【典例一】函数的平均变化率 例 1-1:求函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 下区间 ? x0 , x0 ? ?x ? 上的平均变化率?
2

并求当 x0 ? 1 , ?x ?

1 时的平均变化率? 4

例 1-2:函数 f ? x ? ? ? x ? x 图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,
2

求该函数在 A 附近的平均变化率?

【知识点二】导数的概念(瞬时变化率) 例 2-1:求函数 f ? x ? ? ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,瞬时变化率及导数?
2

例 2-2:求函数 f ? x ? ? x ?

1 在 x ? 1 处的导数? x

例 2-3:求函数 f ( x) ? x 2 在点 P ? 2, 4 ? 处的切线斜率?

例 2-4:若函数 y ? f ? x ? 在 x0 处可导,导数为 f ? ? x0 ? ,试用 f ? ? x0 ? 表示下面各式:

?x ? 0

lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ? ?x f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?x ? ? ?x

?x ? 0

lim

f ? x0 ? 2?x ? ? f ? x0 ? ? ?x

?x ? 0

lim

【典例三】利用导数求切线的方程及切点坐标
2 例 1-1:求曲线 y ? x ? x ? 1在 x ? ?1 处的切线方程?

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例 1-2:抛物线 y ? x 2 在点 P 处的切线与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行,求点 P 的坐标及切线方程? y

【典例四】利用导数来描述函数图像的增减性 例 2-1:函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A) 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2) (B) 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2) O
/ / / /

1 2 3 4

x

(C) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

(D) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

例 2-2:若函数 y ? f ( x)的导函数在区间(a, b) 上不是单调函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象 可能是 ( )

A.①③

B.②④

C.②③

D.③④

1.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0

) [答案] B

D.f′(x0)不存在

3? 1 2 ? 2.曲线 y= x -2 在点?1,- ?处切线的倾斜角为( 2? 2 ? A.1 B. π 4 5 C. π 4 D.- π 4

) [答案] B

π 2 3.在曲线 y=x 上切线的倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0)
3

) [答案] D

B.(2,4)
2

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?

?1 1? D.? , ? ?2 4?
) [答案] B D.y=4x-5

4.曲线 y=x -3x +1 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3

π 2 5.设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为[0, ],则点 P 横坐 4 标的取值范围为( 1 A.[-1,- ] 2
2

) [答案] A B.[-1,0] C.[0,1] 1 D.[ ,1] 2

6.已知函数 f(x)=x +3,则 f(x)在(2,f(2))处的切线方程为________.[答案] 4x-y-1=0

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