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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第一节 平面向量的概念与线性运算习题 理



第一节
[基础达标]

平面向量的概念与线性运算

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. (2016·吉安三校联考) 设向量 a,b 是两个不共线的向量,若 3a-b 与 a+λ b 共线,则实数 λ = ( A.B. C.D. )

1.A 【解析】由 3a-b 与 a+λ b 共线,可设 3a-

b=k(a+λ b),则

解得 λ =- .

2. (2016·黄冈质检) 已知平面向量 m,n 的夹角为 ,且|m|=

,|n| =2,在三角形 ABC

中, A.2

=2m+2n,

=2m-6n,D 为 BC 边的中点,则|
B.4 )= C.6

|=
D.8

(

)

2.A 【解析】

(2m+2n+2m-6n)=2m-2n,故

|

|2=(2m-2n)2=4m2-8m·n+4n2=12-8×

×2×

+16=4,即得|

|=2.

3. (2015·山东高考) 已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则

=

(

)

A.-

a2

B.-

a2

C.

a2

D.

a2

3.D 【解析】由题意可得

a2,则

=(



=|

|2+

a2.

4.设 a,b 是非零向量,下列四个条件中,一定能使

=0 成立的是

(

)

1

A.a=- b C.a=2b 4.A 【解析】

B.a∥b D.a⊥b =0,即 =,则 a=·b,故向量 a 与向量 b 共线且方向相反.

5. (2015·广东惠州二中模拟) 已知点 O,A,B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 ,则 A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 5.B 【解析】 )= ,即 ( )

,所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上.

6.O 是平面上一定点,A,B,C 是该平面上不共线的三个点,一动点 P 满足:

+λ (
A.外心

),λ ∈(0,+∞),则直线 AP 一定通过△ABC 的 B.内心 C.重心 D.垂心

(

)

6.C 【解析】 如图,取 BC 中点 D.∵

+λ (

),

=λ (

),



=2λ

,∴A,P,D 三点共线,∴AP 一定通过△ABC 的重心.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 2

7.已知 O 为△ABC 内一点,且 是

+2

=0,则△AOC 与△ABC 的面积之比

. =2
,∴ ,∴O 为 BD 的中

7.1∶2 【解析】如图所示,取 AC 中点 D,∴ 点,∴△AOC 与△ABC 的面积之比为两者高之比.

8.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若 为实数),则 λ 1+λ 2 的值为 8. 【解析】由于



1



2

(λ 1,λ

2

.

)=-



1



2

,则 λ 1=- ,λ 2= ,故 λ 1+λ 2= .

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·武汉调研) 如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则

=(

)

A.

B.

C.

D.

3

1.D 【解析】在方格纸上作出

,如图所示,则容易看出

.

2.(5 分) (2015·四川高考) 设四边形 ABCD 为平行四边形,|

|=6,|

|=4.若点 M,N 满

足 A.20

=3

=2

,则

=(
C.9

) D.6

B.15

2.C 【解析】

=(

)·(

)=(

)·(

)=

×62-

×42=9.

3.(5 分) (2015·江苏苏州中学期初考试) 在△ABC 中,过中线 AD 中点 E 任作一直线分别交边

AB,AC 于 M,N 两点,设

=x

=y

(x,y≠0),则 4x+y 的最小值是

.

3.

【解析】由题可知

,所以

,因此

,由于 M,E,N 三点共线,所以

=1(x>0,y>0),而

4

4x+y=(4x+y)·

=1+

+1= ,当且仅当 y=2x,即 x= ,y= 时,等号

成立,即 4x+y 的最小值为 . 4.(10 分)如图所示,已知点 G 是△ABO 的重心. (1)求 ;

(2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且

=a,

=b,

=ma,

=nb,试探究

是否为定值,

如果是,写出推理过程并求出定值,如果不是说明理由.

4.【解析】(1)如图所示,延长 OG 交 AB 于 M 点,

则 M 是 AB 的中点.



=2

.

∵G 是△ABO 的重心, ∴ =-2 .



=0.

(2)∵M 是 AB 边的中点,


又∵G 是△ABO 的重心,

)=

(a+b).

5



(a+b).



(a+b)-ma=

a+ b.



=nb-ma,

∵P,G,Q 三点共线, ∴有且只有一个实数 λ ,使得 =λ .



a+ b=λ nb-λ ma.



a+

b=0.

∵a 与 b 不共线,∴

消去 λ ,得

=3,



为定值 3.

6



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