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2016届江西新余市高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)



2016 届江西新余市高三第二次模拟数学(文)试题
一、选择题

} ,则 M ? N 等于( 1.集合 M ? {x | log( 2 1 ? x) ? 0} ,集合 N ? {x | ?1 ? x ? 1
A. [?1,1) 【答案】D B. [0,1) C. [ ?1,1] D. (0,1)


/>【解析】试题分析:由 log 2 (1 ? x) ? 0 有 log2 (1 ? x) ? 0 ? log2 1 ,所以 0 ? 1 ? x ? 1 ,

0 ? x ? 1 ,所以集合 M ? x 0 ? x ? 1? , M ? N ? (0,1) ,选 D.
【考点】集合的运算. 2.复数 z 满足 (2 ? i ) z ? 3 ? i ,则 | z | 等于( A. 1 【答案】B 【解析】试题分析:由已知有 z? B. 2 C. 2 )

?

D. 4

3?i (3 ? i )? ( 2i ) ? 5 i 5 ? ? ? 1? i , 所 以 2?i ( 2 ?i ) ? (2 i ) 5

z ? 12 ? (?1) 2 ? 2 ,选 B.
【考点】1.复数的四则运算;2.复数模的计算. 3.下列关于命题的说法错误 的是( ) .... A. 命题 “若 x ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 2 ” 的逆否命题是 “若 x ? 2 , 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 2

B. “ a ? 3 ”是“函数 y ? loga x 在其定义域上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 p : ?n ? N ,3n ? 100 ,则 ? p : ?n ? N ,3n ? 100 D.命题“ ?x ? (??,0),3x ? 5 x ”是真命题 【答案】D 【解析】试题分析:选项 A,给出原命题,写逆否命题.原命题:若 p ,则 q ,逆否命题为: 若 ? q ,则 ? p ,故 A 正确;选项 B,当 a ? 3 时,函数 y ? log3 x 在其定义域上为增函数, 为真命题;若函数 y ? log a x 在其定义域上为增函数,则 a ? 1 ,所以“ a ? 3 ”是“函数

y ? loga x 在其定义域上为增函数”的充分不必要条件,故 B 正确;选项 C,特称命题的
否 定 . 正 确 ; 对 于 选 项 D, 当 x ? 0 时 , lg3x ? x lg3 , lg5x ? x lg5 , 故

lg3x ? lg5x ? x(lg3 ? lg5) ? 0 , 所以 lg 3x ? lg 5x , 又函数 y ? lg x 在定义域内为增函
数,所以 3 ? 5 ,故选项 D 为假命题.选 D.
x x

第 1 页 共 16 页

【考点】1.逆否命题的格式;2.充分必要条件;3.特称命题的否定;4.特称命题真假的 判断. 【易错点晴】本题主要考查四种命题之间的关系、充分必要条件、特称命题的否定以及 特称命题真假的判断,属于易错题. 原命题:若 p ,则 q ,逆否命题:若 ? q ,则 ? p ; 命 题“若 p ,则 q ”为真命题,就说 p ? q , p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件;要判 断特称命题 “ ?x0 ? M , p( x0 ) ”为真命题,只需在集合 M 中存在一个元素 x ,使 p ( x) 成 立即可;当使 p ( x) 成立的 x 的值不在集合 M 中,则此特称命题为假命题. 4.已知平面向量 a ? (0,?1), b ? (2,2) , | ? a ? b |? 2 ,则 ? 的值为( A. 1 ? 2 【答案】C 【解析】试题分析:因为 ? a ? b ? (2, 2 ? ? ),所以 ? a ? b ? 得 ? ? 2 ,故选 C. 【考点】1.向量的坐标运算;2.向量的模的计算. B. 2 ? 1 C. 2 D. 1 )

? ?

? ?

22 ? (2 ? ? )2 ? 2 ,解

? x ? y ? 10 ? 5.设变量 x, y 满足 ?0 ? x ? y ? 20 ,则 2 x ? 3 y 的最大值是( ?0 ? y ? 15 ?
A. 20 【答案】D B. 35 C. 45 D. 55



【解析】 试题分析: 画出可行域, 如上图阴影部分.令 z ? 2 x ? 3 y ,当 z ? 0 时, y ? ?

2 x, 3

将 此直 线向 右上 方平 移 , 当 经过 C 点 时 , 直线 的纵 截距 有最 大值 , z 有 最 大值 , 而

C (5,15) ,所以 zmax ? 2 ? 5 ? 3?15 ? 55 ,选 D.
y D C

B O A x

【考点】简单的线性规划. 6 . 等 差 数 列 {an } 中 的 a1 ,a4 0 2 5是 函 数 f ( x) ? 等于( lo g 2 a2 0 1 3 A. 2 B. 3 【答案】A ) C. 4 D. 5

1 3 x ? 4x2 ? 6x ? 1 的 极 值 点 , 则 3

第 2 页 共 16 页

【解析】 试题分析: f '( x) ? x2 ? 8x ? 6 , a1 , a4025 是方程 x ? 8 x ? 6 ? 0 的两根,由韦达
2

定理有 a1 ? a4025 ? 8 ,所以 2a2013 ? 8, a2013 ? 4 ,故 log2 a2013 ? log2 4 ? 2 ,选 A. 【考点】1.函数的极点;2.等差数列的性质;3.导数的计算. 7 .已知直线 ax ? by ? 6 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为

2 5 ,则 ab 的最大值是(
A.

) C.

5 2

B. 4

9 2

D. 9

【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 将 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 写 成 标 准 方 程 :

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( 5)2 , 因为弦 长为 2 5 , 所以直线 经过圆 心 (1, 2) ,所 以有
a ? 2b ? 6(a ? 0, b ? 0) ,而 a ? 2b ? 2 a ? 2b ,化简得 ab ?
取得,故 ab 的最大值为

9 ,当且仅当 a ? 2b ? 3 2

9 ,选 C. 2

【考点】1.圆的一般方程化为标准方程;2.基本不等式. 8.已知 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,若 (2a ? c) cos B ? b cosC ? 0 , 则角 B 的大小为( A. ) C.

?
6

B.

?
3

2? 3

D.

5? 6

【答案】C 【解析】试题分析:由已知和正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ? 0, 展开 化简得 2 sin A cosB ? sinA ? 0 ,由于 A 为三角形内角,所以 A ? 0,sin A ? 0 , 所以

1 2? cos B ? ? , B ? ,选 C. 2 3
【考点】1.正弦定理;2.两角和的正弦公式;3.已知三角函数值求角. 9.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 平移

?
2

) 的最小正周期为 ? ,若将其图象向右


?
3

个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f ( x) 的图象(

A.关于直线 x ? C.关于点 ( 【答案】B

?
12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

?
12

,0) 对称 2?

5? ,0) 对称 12

5? 对称 12

【解析】试题分析:由最小正周期为 ? ,得 ? = 右平移

?

=2 ,将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 向

?
3

后得到的函数 y ? sin ? 2(x ?

? ?

?

2? ? ) ? ? ? ? sin(2x ? ? ? ),图象关于原点对 3 3 ?

第 3 页 共 16 页

2? ? ? ? ? k? , k ? Z , 又 ? ? , 所 以 3 2 ? ? ? ? k? 5? ? ? ? , f ( x) ? sin(2 x ? ) , 令 2 x ? ? k? ? , k ? Z , 则 x ? ? , k ?Z , 3 3 3 2 2 12 5? 5? 当 k ? 0 时, x ? , 函 数 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 对称.选项 B 正确;令 12 12 ? k? ? k? ? 2 x ? ? k? , x ? ? , k ? Z ,对称中心为 ( ? , 0)( k ? Z ) ,选项 C、D 都不符 3 2 6 2 6
称,所以平移后的函数为奇函数,则 ? 合.故选 B. 【考点】1.函数图象的平移;2.奇函数图象的特征;3.三角函数的性质. 10. 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F , 且倾斜角为

?
4

的直线与抛物线交于 A、B 两 )

(0, 2) 点,若弦 AB 的垂直平分线经过点 ,则 p 等于(
A.

2 5

B.

2 3

C.

4 5

D.

4 3 p p , 0) , 直线 AB 方程为 : y ? x ? , 设 2 2

【答案】C 【解析】试题分析:抛物线的焦点 F 坐标是 (

? y2 ? 2 p x p2 ? 2 x ? 3 px ? ?0 , 所 以 , 则 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 联 立 ? p 4 y ? x ? ? ? 2
p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p ? 2 p , 故 AB 中 点 坐 标 为 2 2 3p 4 p?2 ( , p ) ,由两直线互相垂直有 ? ?1 ,得 p ? ,选 C. 3p 2 5 ?0 2

x1 ? x2 ? 3 p , y1 ? y2 ? x1 ?

【考点】1.抛物线的几何性质;2.两直线垂直的条件. 11.如图,网格纸上小正方形的边长为 2,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何 体的体积是( )

A. 6? B. 7? C. 12? D. 14? 【答案】D 【解析】试题分析:由三视图知该几何体是由一个圆柱中切去四分之一的圆柱的一半, 且 底 面 圆 的 半 径 为 2, 高 为 4 , 所 以 几 何 体 的 体 积 为

1 1 V ? ? ? 22 ? 4 ? ? ? ? 22 ? 4 ? ? 14? ,选 D. 4 2
第 4 页 共 16 页

【考点】1.三视图的识别;2.体积的计算. 【易错点晴】本题主要考查由三视图求几何体的体积,属于中档题. 根据三视图正确复 原直观图是解题的关键,要注意“正侧一样高, 正俯一样长, 俯侧一样宽”的特点.注意 三视图中实线与虚线的位置.由正视图和俯视图想到几何体为长方体或圆柱,再由侧视 图,可以确定为圆柱体,根据实线与虚线,是把圆柱截去部分得到的,由几何元素的长度, 可以算出体积来.
2 ? ?4a ln x ? x , x ? 0 12.已知 a ? 0 ,若函数 f ( x) ? ? ,且 g ( x) ? f ( x) ? 2a 至少有三 3 2 ? ? x ? 3a x ? 4, x ? 0

个零点,则 a 的取值范围是( A. [1,??) 【答案】A B. (1,??)

) C. (1,2] D. ( ,1]

1 2

【解析】 试题分析:g ( x) ? f ( x) ? 2a 至少有三个零点等价于函数 y ? f ( x) 与 y ? ?2a 的图象至少有三个交点,利用特殊值验证,当 a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? ?2 的图 象如左图所示,有三个交点,符合题意;当 a ? 2 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? ?4 的图象 如右图,显然有四个交点,符合题意.结合选项,选 A. y

x x=-4 【考点】1.函数零点的判断;2.转化思想. 【思路点晴】 本题主要考查了函数零点的判断, 采用转化思想, 转化为两个函数的图象 的交点的个数, 属于中档题. 由于本题是选择题 ,分类讨论很复杂 , 故从答案出发,用 特殊值验证,得出选项.分别当 a ? 1 和 a ? 2 ,画出图象,看它们图象的交点个数,结合四 个选项,得出正确答案.本题考查了数形结合思想的解题方法,训练了特殊验证法.

二、填空题 13.曲线 C : y ? x ln x 在点 M (e, e) 处的切线方程为 【答案】 2 x ? y ? e ? 0 【 解 析 】 试 题 分 析 : y ' ? ln x ? 1 , y '
x?e

.

? ln e ?1 ? 2 , 所 以 切 线 方 程 为

y ? e ? 2( x ? e) ,化简得 2 x ? y ? e ? 0 .
【考点】1.导数的几何意义;2.切线方程的求法. 14.从某班 5 位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为 第 5 页 共 16 页

7 ,则在这 5 10

位老师中,女老师有 【答案】 2

人.

【解析】 试题分析: 设女老师有 x 人, 则男老师有 (5 ? x ) 人, 由已知有1 ?

C52? x 7 ? , C52 10

解得 x ? 2 ,故女老师有 2 人. 【考点】1.组合数计算;2.对立事件概率公式. 15.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边 形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆 术”思想设计的一个程序框图,则输出 n 的值为 .

【答案】 24 【解析】试题分析:当 n ? 6 时, S ?

6 3600 3 3 ? sin ? ? 3.1 ,不满足判断条件,所 2 6 2

以 n ? 12, S ?

12 3600 ? sin ? 3 ? 3.1 , 不 满 足 判 断 条 件 , 继 续 循 环 , 所 以 这 时 2 12

24 3600 n ? 24, S ? sin ? 3( 6 ? 2) ? 3.1056 ? 3.1 ,满足条件,此时输出 n ? 24 . 2 24
【考点】算法和程序框图. 【易错点晴】本题主要考查框图的应用,考查了计算能力,注意判断框的应用,属于基础 题,也是属于易错题. 本程序在运行时,当不满足条件 S ? 3.1 时,就执行循环体 n ? 2n , 把 n 的值变为原来的两倍 , 再赋值给 n , 注意计算 n ?

n 3600 sin , 把计算后的结果与 2 n

3.1 比较大小,满足条件 S ? 3.1 就输出 n 的值,得出答案,这个根式的值要计算出来,不
要估算. 16.在等腰直角 ?ABC 中, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 2 , M、N 为 AC 边上两个动
?

点,且满足 | MN |? 2 ,则 BM ? BN 的取值范围为 【答案】 ? , 2 ? 2 第 6 页 共 16 页

.

?3 ?

? ?

【解析】试题分析:如图,分别以 BC, BA 所在边的直线为 x 轴, y 轴建立直角坐标系,

? t) 则 A(0, 2), B(0,0), C (2,0) , 直 线 AC 的 方 程 为 x ? y ? 2 ? 0 , 设 M ( t , 2 , N (t ? 1,1 ? t )
, 则

0 ? t ?1

,





? B

?(

? M

? , ?

t2

?

? )(1 ?(t ) ? 2(t ?t )1 ? ,? BM ? t )? BN ? t (t,? B1) ? (2 ? tN ?

???? ?? ????

?

?

1 2? 3 , 2 2

? , t

1

由于 0 ? t ? 1 , 所以当 t ?

1 3 时有最小值为 , t ? 0 或 t ? 1 时有最大值为 2 , 故答案为 2 2

?3 ? ,2 . ? ?2 ? ?

【考点】1.向量的数量积;2.二次函数的最值. 【易错点晴】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算 ,属于中档题. 在本题中,由于 ?ABC 是等腰直角三角形,且 AB ? BC ? 2 ,所以想到建立直角坐标系,写出各点坐标, 能够减少计算量,易错的地方:参数 t 的范围. 根据 M , N 点的坐标,且在第一象限,所以

0 ? t ? 1 , BM ? BN 计算结果是关于 t 的二次函数,由参数 t 的范围求出 BM ? BN 的取
值范围. 三、解答题 17.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , a2 ? 6 ,且数列 {an?1 ? an }(n ? N ? ) 是公差为 2 的等 差数列. (1)求 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

???? ? ????

???? ? ????

2015 1 的 n 的最小值. } 的前 n 项和为 Sn ,求满足不等式 S n ? 2016 an
2

【答案】 (1) an ? n ? n ; (2) 2016 . 【解析】试题分析: (1)由已知条件:数列 {an?1 ? an }(n ? N ) 是公差为 2 的等差数列 入手,求出 ?an?1 ? an ? 的通项公式,再求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)利用裂项相消 法求出 Sn ,再解不等式求出 n 的最小值. 第 7 页 共 16 页
?

试题解析:解: (1)数列 {an?1 ? an }(n ? N ? ) 是首项为 a2 ? a1 ? 4 ,公差为 2 的等差 数列 ∴ an?1 ? an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 ∴

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2n ? 2(n ?1) ? ?? 4 ? 2 ? n2 ? n

(2)

1 1 1 1 1 , ? 2 ? ? ? an n ? n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n , ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? a1 a2 an 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
n 2015 2015 ? 得 , n ? 2015 , 2016 n ? 1 2016
?

∴ Sn ? 由 Sn ?

又 n ? N ,故 n 的最小值为 2016 . 【考点】1.求数列的通项公式;2.裂项相消法求和. 18.在一次文、理学习倾向的调研中,对高一年段 1000 名学生进行文综、理综各一次 测试(满分均为 300 分).测试后,随机抽取若干名学生成绩,记理综成绩为 X ,文综 成绩为 Y , | X ? Y | 为 Z ,将 Z 值分组统计制成下表: 分 [0,20) [20,40 组 ) 频 4 数 18 [40,60 ) 42 [60,80 ) 66 [80,100 ) 48 [100,120 ) 20 [120,14 0] 2

并将其中女生的 Z 值分布情况制成频率分布直方图(如图所示). (1)若已知直方图中[60,80)频数为 25,试分别估计全体学生中, Z ? [0,20) 的男、 女生人数; (2)记 Z 的平均数为 Z ,如果 Z ? 60 称为整体具有学科学习倾向,试估计高一年段 女生的 Z 值(同一组中的数据用该组区间中点值作代表) ,并判断高一年段女生是否整 体具有显著学科学习倾向.

第 8 页 共 16 页

【答案】 (1)男生约有 5 名,女生约有 15 名; (2)高一年段女生整体具有显著学科学 习倾向. 【解析】试题分析: ( 1 )先由频率分布直方图求出女生的总人数 , 再求出男、女生

Z ? [0,20) 的频率,再分别算出人数; (2)先算出样本中女生的 Z 值大约为 65.25 ? 60,
得出结论. 试题解析: (1)由频率分布直方图可知,女生 Z ?[60,80) 的频率为 ∴样本中女生总人数为 25 ?

25 5 ? 20 ? 1600 16

5 ? 80 . 16

由频率分布直方图可知,女生 Z ? [0,20) 的频率为

1 6 10 15 20 25 3 1? ( ? ? ? ? ? ) ? 20 ? 1600 1600 1600 1600 1600 1600 80 3 ? 3. ∴女生 Z ? [0,20) 的频数为 80 ? 80
结合统计表可知,男生 Z ? [0,20) 的频数为 4 ? 3 ? 1 . 又∵样本容量为 200,故样本中,男、女生 Z ? [0,20) 的频率分别为

3 1 与 , 200 200

据频率估计概率、 样本估计总体的统计思想, 可知高一年段 1000 名学生中,Z ? [0,20) 的男生约有 5 名,女生约有 15 名. (2)依题意,样本中女生的 Z 值约为

10 ?

3 10 20 25 15 6 1 ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 110 ? ? 130 ? ? 65.25 . 80 80 80 80 80 80 80

根据样本估计总体的统计思想,全体女生 Z ? 65.25 . ∵ 65 .25 ? 60 ,∴高一年段女生整体具有显著学科学习倾向. 【考点】1.利用频率分布直方图计算频率;2.平均值的计算. 19. 如图, 一个侧棱长为 l 的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 容器中盛有液体 (不计容器厚度) . 若液面恰好分别过棱 AC, BC, B1C1 , A1C1 中点 D, E , F , G . 第 9 页 共 16 页

(1)求证:平面 DEFG // 平面 ABB 1A 1; (2)当底面 ABC 水平放置时,求液面的高. 【答案】 (1)证明见解析; (2)液面的高为

3 l. 4

【解析】试题分析: (1)利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线与 另外一个平面平行 , 则这两个平面平行 . 通过证明 DE // 平面 ABB 1A 1 , DG // 平面

ABB (2)利用两种状态下体积相等,求出液面 1A 1 ,得出平面 DEFG // 平面 ABB 1A 1;
的高. 试题解析: (1)证明:∵ D, E 分别为 AC, BC 的中点,∴ DE 是 ?ABC 的中位线, ∴ DE // AB . 又 DE ? 平面 ABB 1A 1 , AB ? 平面 ABB 1A 1 ,∴ DE // 平面 ABB 1A 1, 同理 DG // 平面 ABB 1A 1 ,又 DE ? DG ? D ,∴平面 DEFG // 平面 ABB 1A 1. (2)解:当直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 容器侧面 ABB 1A 1 水平放置时,由(1)可知,液 体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 容器的高,即侧棱长 l . 当底面 ABC 水平放置时,设液面的高为 h , ?ABC 的面积为 S ,

3 1 S ,∴ S ABDE ? S . 4 4 3 3 由于两种状态下液体体积相等,∴ V液体 ? Sh ? Sl ,即 h ? l . 4 4 3 因此,当底面 ABC 水平放置时,液面的高为 l . 4
由已知条件可知, ?CDE ∽ ?CAB ,且 S ?CDE ? 【考点】1.面面垂直的判定定理;2.体积的计算. 20 .如图,已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的四个顶点分别为 A1 , A2 , B1 , B2 , 左右焦点分别为 2

F1,F2 , 若 圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? r 2 (0 ? r ? 3) 上 有 且 只 有 一 个 点 P 满 足
| PF1 | ? 5. | PF2 |

第 10 页 共 16 页

(1)求圆 C 的半径 r ; (2)若点 Q 为圆 C 上的一个动点,直线 QB1 交椭圆于点 D ,交直线 A2 B2 于点 E ,求

| DB1 | 的最大值. | EB1 |
【答案】 (1)半径为 5 ; (2)最大值为

1? 2 . 2

【解析】试题分析: (1)先由已知条件,求出点 P 的轨迹方程,再利用两圆相切,求出圆 的半径,注意范围; (2) 先设出直线 QB1 方程 y ? kx ? 1 ,由直线与圆的位置关系,求出 k 的范围,联立直线与圆的方程,求出 D 点的横坐标, 直线 QB1 与直线 A2 B2 的交点为 E 点,求出横坐标,利用相似得出

| DB1 | xD ,代入,再求出范围. ? | EB1 | xE

试题解析: (1)依题意得, F1 (?1,0),F2 (1,0) ,设点 P( x, y) ,

( x ? 1) 2 ? y 2 3 5 | PF1 | ? 5 ,化简得 ( x ? ) 2 ? y 2 ? , 由 ? 5 得: 2 2 2 4 | PF2 | ( x ? 1) ? y
∴点 P 的轨迹是以点 ( ,0) 为圆心,

3 2

5 为半径的圆. 2

又∵点 P 在圆 C 上并且有且只有一个点 P ,即两圆相切, 当两圆外切时,圆心距

3 5 5 ? ? r ? r ? 5 ? (0,3) ,成立; 2 2 3 5 5 ?r? ? r ? 2 5 ? (0,3) ,不成立; 2 2

当两圆内切时,圆心距 ∴r ? 5

(2)设直线 QB1 为 y ? kx ? 1 ,由 d ?

| 3k ? 3 ? 1 |
2

1 11 ? 5 ,得 k ? [ , ] . 2 2 k ?1

第 11 页 共 16 页

? y ? kx ? 1 ? 联立 ? x 2 消去 y 并整理得: (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 0 ,解得点 D 的横坐标为 2 ? ? y ?1 ?2
xD ? 4k , 2k 2 ? 1

把 直 线 y ? kx ? 1 与 直 线 A2 B2 : x ? 2 y ? 2 联 立 解 得 点 E 的 横 坐 标 为

xE ?


2 2 , 2k ? 1

| DB1 | xD 2k 2 ? 2k 2k ? 1 1 1 1? 2 ? ? ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? 2 2 | EB1 | xE 2k ? 1 2k ? 1 2 2 2 ?2 2k ? 1 ? ?2 2k ? 1

当且仅当 k ? 1 ?

2 1 11 ?[ , ] 时,取等号, 2 2 2



1? 2 | DB1 | 的最大值为 . | EB1 | 2

【考点】1.椭圆的简单性质;2.基本不等式;3.直线与椭圆相交问题. 【思路点晴】 本题主要考查了椭圆的标准方程及性质,直线与椭圆相交问题,以及用基本 不等式求最值,属于压轴题.本题解题思路:(1)比较简单, 求出点 P 的轨迹方程,再利 用两圆外切,求出圆的半径; (2)先设出直线 QB1 方程 y ? kx ? 1 ,由直线与圆的位置关 系,求出 k 的范围,联立直线与圆的方程,求出 D 点的横坐标, 直线 QB1 与直线 A2 B2 的 交点为 E 点,求出横坐标,

| DB1 | xD 2k 2 ? 2k 2k ? 1 ,再求出范围. ? ? ? 1? 2 2 | EB1 | xE 2k ? 1 2k ? 1

21.已知函数 f ( x) ? ln x .

? f ( x) ? (1) 若曲线 g ( x)
实数 a 的值;

a ? 1 在点 (2, g (2)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行, 求 x

b( x ? 1) 在定义域上是增函数,求实数 b 的取值范围; x ?1 m ? n ln m ? ln n ? (3)若 m ? n ? 0 ,求证 . m?n 2
(2)若 h( x) ? f ( x) ? 【答案】 (1) a ? 4 ; (2) ? ??,2? ; (3)证明见解析. 【解析】试题分析: ( 1 )利用两直线平行 , 求出 a 的值; ( 2 )利用恒成立 , 转化为求

2( x ? 1) x2 ? 2x ? 1 ( x ? 1) 的 单 调 性 , 所 以 的最小值; ( 3 ) 由 函 数 h( x) ? ln x ? x ?1 2x
第 12 页 共 16 页

h( x) ? h(1) ? 0 ,代入化简得证.
? ln x ? 试题解析: (1) g ( x) ? f ( x) ? ∵曲线 g ( x) a 1 a ? 1 ,∴ g ' ( x) ? ? 2 . x x x

a ? 1 在点 (2, g (2)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行, x 1 a 1 ? ? ? ? ,∴ a ? 4 . ∴ g ' (2) 2 4 2 b( x ? 1) 1 b( x ? 1) ? b( x ? 1) x 2 ? 2(1 ? b) x ? 1 (2) 由 h( x ) ? f ( x ) ? , 得 h' ( x) ? ? , ? x ?1 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
∵ h( x ) ? f ( x ) ?

b( x ? 1) 在定义域上是增函数, x ?1

∴ h' ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,即 x 2 ? 2(1 ? b) x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立, ∴b ?

x2 ? 2x ? 1 在 (0,??) 上恒成立, 2x



x2 ? 2x ? 1 x 1 x 1 , ? ? ?1 ? 2 ? ? 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取等号) 2x 2 2x 2 2x

∴ b ? 2 ,即实数 b 的取值范围是 (??,2] .

m 2( ? 1) m m ? n ln m ? ln n m ? (3)∵ m ? n ? 0 ,∴ ? 1 ,要证 ,即证 n ? ln m n m?n 2 n ?1 n m 2( x ? 1) ( x ? 1) 令 ? x ( x ? 1) , h( x) ? ln x ? x ?1 n 2( x ? 1) ( x ? 1) 在 (1,??) 上是增函数,∴ h( x) ? h(1) ? 0 . 由(2)知, h( x) ? ln x ? x ?1 m 2( ? 1) m ? n ln m ? ln n m ? 故 n . ? ln ,即 m m?n 2 n ?1 n
【考点】1.两直线平行的条件;2.基本不等式;3.导数的应用. 【易错点晴】本题主要考查导数及其应用,属于压轴题. 在(1)中,利用导数的几何意 义,求出函数 g ( x) 在 x ? 2 处切线的斜率,利用平行直线的斜率相等,求出 a 的值; 在 (2)

中,由恒成立转化为求

x2 ? 2x ? 1 的最小值,用到基本不等式;在(3)中,用分析法把结 2x

m ? 1) 2( x ? 1) m ( x ? 1) 的单调性证明. 论转化为 n ? ln ,利用 h( x) ? ln x ? m x ?1 n ?1 n 2(
22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, E 是圆内两条弦 AB 和 CD 的交点, F 为 AD 延长线上一点, FG 切圆于点 G , 第 13 页 共 16 页

且 FE ? FG .

(1)证明: FE // BC ; (2)若 AB ? CD , ?DEF ? 30 ,求
?

AF . FG

【答案】 (1)证明见解析; (2) 3 . 【解析】试题分析: ( 1 )由切割线定理得到 FG ? FD ? FA , 再由已知条件 , 证明
2

?AFE ∽ ?EFD , 再 根 据 同 位 角 相 等 , 两 直 线 平 行 , 得 证 ; (2)通过证明 AF ?AFE ∽ ?EFD ,求出 . FG
试题解析: (1)证明:∵ FG 是圆的切线,∴ FG ? FD ? FA ,
2

FE FD ? , FA FE 又 ?AFE ? ?EFD ,∴ ?AFE ∽ ?EFD ,∴ ?FAE ? ?FED 又∵ ?FAE ? ?DCB ,∴ ?FED ? ?DCB ,∴ FE // BC .
2 ∵ FE ? FG ,∴ FE ? FD ? FA ,即

? ? (2)解:∵ ?DEF ? 30 ,由(1)知 ?FAE ? ?FED ,∴ ?FAE ? 30 ,

∵ AB ? CD ,∴在 Rt ?AED 中,

ED 3 . ? tan30? ? AE 3
AF AF AE ? ? ? 3. FG FE ED

∵ FE ? FG , ?AFE ∽ ?EFD ,∴

【考点】1.切割线定理;2.三角形相似. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程分别是 ? 以坐标原点为极点,

?x ? sin ? ? cos? ( ? 为参数) , ? y ? 1 ? sin 2?

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? 3? ? sin(? ? ) ? 2 ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 2a cos(? ? )( a ? 0)
4 4

(1)求直线 l 与曲线 C1 交点的极坐标 ( ? ,? ) ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) ; (2)若直线 l 与曲线 C2 相切,求 a 的值. 【答案】 (1) ( 2 ,

?
4

); (2) a ? 1 .

【解析】试题分析: (1)把直线 l 与曲线 C1 的方程都写成普通方程,联立方程,求出交点 第 14 页 共 16 页

坐标,再化为极坐标; (2)因为直线与圆相切,利用点到直线的距离公式,求出 a 的值. 试题解析: (1)曲线 C1 的普通方程为 y ? x 2 , ( x ?[ ? 2 , 2 ] ) , 直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,联立方程解得 ?

? x ? 1 ? x ? ?2 或? (舍) , ?y ?1 ?y ? 4

故直线 l 与曲线 C1 交点的直角坐标为 (1,1) ,其极坐标为 ( 2 ,

?
4

).

( 2 ) 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 , 即

( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 2a 2 (a ? 0) ,
由直线 l 与曲线 C2 相切,得

| ?a ? a ? 2 | ? 2a ,故 a ? 1 2

【考点】1.参数方程,极坐标方程化为普通方程;2.点到直线距离公式. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | , a ? R . (1)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ?

1 ( x ? 1) ; 2

(2)记函数 g ( x) ? f ( x)? | x ? 2 | 的值域为 A ,若 A ? [?1,3] ,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) {x | x ? 3 或 a ? } ; (2) [1,3] . 【解析】试题分析: (1)分类讨论求出解集; (2)分类讨论去掉绝对值,求出函数 g ( x) 的值域,再由 A ? [?1,3] ,求出实数 a 的取值 范围. 试题解析: (1)当 a ? 1 时,故 f ( x) ? ? 当 x ? 1 时,由 f ( x) ?

1 3

?1 ? x, x ? 1 , x ? 1 , x ? 1 ?

1 1 1 ( x ? 1) ,有 1 ? x ? ( x ? 1) ,解得 x ? ; 2 2 3 1 1 当 x ? 1 时,由 f ( x) ? ( x ? 1) ,有 x ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 3 . 2 2 1 1 综上,不等式 f ( x) ? ( x ? 1) 的解集为 {x | x ? 3 或 a ? } . 3 2
?a ? 2, x ? a ? (1)当 a ? 2 时, g ( x ) ? ?2 x ? 2 ? a, a ? x ? 2 , g ( x) 的值域 A ? [a ? 2,2 ? a] . ?2 ? a , x ? 2 ?
由 A ? [?1,3] ,得 ?

?a ? 2 ? ?1 ,解得 a ? 1 ,又 a ? 2 ,故 1 ? a ? 2 ; ?2 ? a ? 3

第 15 页 共 16 页

?a ? 2, x ? 2 ? 当 a ? 2 时, g ( x ) ? ?2 x ? 2 ? a,2 ? x ? a , g ( x) 的值域 A ? [2 ? a, a ? 2] . ?2 ? a , x ? a ?
由 A ? [?1,3] ,得 ?

?2 ? a ? ?1 ,解得 a ? 3 ,又 a ? 2 ,故 2 ? a ? 3 . ?a ? 2 ? 3

综上,所求实数 a 的取值范围为 [1,3] . 【考点】1.分类讨论;2.不等式的解法;3.集合的基本运算.

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