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高中数学必修4测试题(带答案)



高中数学必修 4 测试题(带答案) 第 I 卷(选择题, 共 60 分)
一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. sin 390 ? (
0

)

A.

2.下列区间中,使函数 y ? sin x 为增函数的是( A.

[0, ? ] B. [

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ? )

3 2

? 3?
2 , 2

]

C. [ ?

? ?
)

3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin x

? 的是( 2
?

, ] 2 2

D. [? , 2? ]

B. y ? cos 4 x

C. y ? tan

4.已知 a ? ( x,3) , b ? (3,1) , 且 a ? b , 则 x 等于 ( A.-1 B.-9 C.9 5.已知 sin ? ? cos ? ? A.

?

?

?

x 2
)

D. y ? sin x cos x

D.1

1 ,则 sin 2? ? ( 3
C.

) D. ?

2? ) 的图像, 需要将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3 2? 2? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3
6.要得到 y ? sin(2 x ?

1 2

B. ?

1 2

8 9

8 9

)

? ? 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 7.已知 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 2 , | a ? b |? 4 ,则 | a ? b |? (
C.向左平移 A. 3 B. 5 C. 6

) )

D. 10 ??? ? ???? P 在 PP P 的坐标为 ( 8.已知 P 1 2 的延长线上, 且 | PP 1 (2, ?1) , P 2 (0,5) ,点 1 |? 2 | PP 2 | , 则点 2 4 A. (2, ?7) B. (?2,11) C. ( ,3) D. ( ,3) 3 3 2 ? 1 ? 9.已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 ( ) 5 4 4 4 1 22 3 13 A. B. C. D. 6 13 22 18 10.函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ? 可以取的一组值是( )

? ? A. ? ? , ? ?
2 3

4 6

y

? ? B. ? ? , ? ? ? ? C. ? ? , ? ?
4

O

1

2

3

x

4 5? D. ? ? , ? ? 4 4

?

??? ? ??? ? ??? ? 11.已知 P 是△ABC 所在平面内的一点,若 CB ? ? PA ? PB, ? ? R ,则点 P 一定在 (
A.△ABC 的内部 B.AC 边所在的直线上 C.AB 边所在的直线上



D.BC 边所在的直线上

12.给出下面的三个命题: ①函数 y ?| sin( 2 x ? 数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) | 的最小正周期是

5? ) 的图象的一条对称轴; ④函数 y ? 3 sin x ? 4 cos x 的最大值为 5。 其中正确的命题个数 ( 6
B.2 C.3 D.4

3? 3? ? 5? ) 在区间 [? , ) 上单调递增;③ x ? ;②函数 y ? sin( x ? 是函 2 2 4 2


A.1

第 II 卷(非选择题 , 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知扇形的圆心角为 120 ,半径为 3 ,则扇形的面积是 14.已知 a ? ( , ?2), b ? ( ?3, 4) ,则 a 在 b 方向上的投影是 15.平行四边形 ABCD 中,AD=3,AB=5,则 | AC |2 ? | BD |2 的值为 16. 函数 f ( x) ?
?

?

2 3

?

?

?

3 sin x cos x ? sin 2 x ?

3 ? 在 [? ,0] 上的值域是 2 2



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) (1)若 cos ? ? ?

4 ,且 ? 为第三象限角,求 sin ? 的值; 5 4s i n ? ? 2c o s ? (2)若 tan ? ? 3 ,计算 的值. 5c o s ? ? 3s i n ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 18.(本题满分 12 分)已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? . tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(1)化简 f

?? ? ;
3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值. 2 5

(2)若 cos(? ?

19.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

20.(本小题满分 12 分) 已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? ?1, 2 ? . (1)若 | c |? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; (2) 若| b |= 5 且 a +2 b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? .

?

?

?

?

?

?

?

?

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f ( ?? ) ?

?
4

), x ? R , 且 f (

5? 3 )? . 12 2

3? 6 ? ?? ) . , ? ? (0, ) 求 f( 4 2 2 ,

22. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos

?

? ? ? ? ? 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ) ,且 x ? [0, ], f ?x ? ? a ? b ? 2? a ? b ,( ? 为常数)求 2 2 2 2 2

(1) a ? b 及 a ? b ; (2)若 f ?x ? 的最小值是 ?

? ?

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

高中数学必修 4 测试题答案
一、ACBAD DDBCC 二、13. 3? 14. ?2 BC 15.68 16. 16.①②
2

三、17.解: (1)∵ cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 , ? 为第三象限角, ∴ sin ? ? ? 1 ? cos

? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ?

4 5

3 5

4sin ? ? 2cos ? 4sin ? ? 2cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 cos ? (2)显然 cos ? ? 0 ,∴ ? ? ? ? 。 5cos ? ? 3sin ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 5 ? 3 ? 3 7 cos ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) (? cos ? )(sin ? )(? tan ? ) 2 2 18.解: (1) f ?? ? ? ? ? ? cos ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? ) (? tan ? )sin ?
(2)∵ cos(? ?

3? 1 )? 2 5

∴ ? sin ? ?

1 5

从而 sin ? ? ?

1 , 5

又 ? 为第三象限角,∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

2 6 2 6 ,即 f (? ) 的值为 。 5 5

19.解: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2) , a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4) (1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) ,得 (ka ? b ) ? (a ? 3b) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 。 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? , 此时 k a ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

20.解:解:⑴设 c ? ( x, y), ? c // a, a ? (1,2),? 2x ? y ? 0,? y ? 2x

?x ? 2 ?| c | ? 2 5 ,? x 2 ? y 2 ? 2 5 ,? x 2 ? y 2 ? 20 , x 2 ? 4 x 2 ? 20 , ∴ ? ?y ? 4
∴ c ? (2,4),或c ? (?2,?4) 。

或 ?

? x ? ?2 ? y ? ?4

2 2 ⑵? (a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0 , 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | ?3a ? b ? 2 | b | ? 0

2

2

? | a |2 ? 5, | b |2 ? ( 5) 2 ? 5, 代入上式, ? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? 5 ? 0 ? a ? b ? 0
? ? ? [0, ? ] ?? ?

?
2



21.解: (1)? f ( x) ? A sin( x ?

?
4

), 且 f (

5? 3 5? 5? ? 2? 3 3 )? f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? a? ? , , 12 2 12 12 4 3 2 2

?A ? 3 .
(2)? f ( x) ? A sin( x ?

?
4

), 且 f (? ) ? f (?? ) ?

6 2 ,

f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) ? 3[(sin ? cos ? cos ? sin ) ? (sin cos ? ? cos sin ? )] 4 4 4 4 4 4 ? 6 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2
? cos ? ? 1 ? ? 3 ? ? (0, ) ?? ? ,sin ? ? 2, 2 , 3 2 。

?

?

?

?

?

?

?f(

3? 3? ? 3 ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 4 4 4 2。

22.解: 解:⑴ a ? b ? cos

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2

3 x 3 x | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 cos2 x 2 2 2 2
? x ? [0, ],? cos x ? 0,?| a ? b |? 2 cos x 2


?

f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2 ? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1.
2

?

①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos ②当 0 ? ?

x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾;

? 1时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2?2 ,由已知得:

3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? ; 2 2
③当 ? ? 1时, 当且仅当cos x ? 1 时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得 1 ? 4? ? ? 解得 ? ?

3 2

5 ,这与 ? ? 1 相矛盾, 8

综上所述, ? ?

1 为所求. 2



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