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辽宁省大连市24中2011~2012学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷高二期中考试数学试题



2011~2012 学年度上学期期中考试高二年级数学试卷
命题人:徐艳娟 校对人:卢静

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小

题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. 1、命题 p: “有些三角形不是等腰三角形” ,则┐p 是 ( ) A.有些三角形是等腰三角形 B.所有三角形不是等腰三角形 C.所有三角形是等腰三角形 D.所有三角形是不等腰三角形 2、命题:①“公差为 0 的等差数列是等比数列” ;②“公比为
2

1 的等比数列一定是递 2

减数列” ;③“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是 b =ac” ;④“a,b,c 三数成等差数 列的充要条件是 2b=a+c” ,以上四个命题中,正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3、已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 6 , a3 ? a5 ? 12 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( A.23 B.95 C.105 D.135 )

7 4、设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 30.若曲线 C2 上的点到椭圆 15
C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 10,则曲线 C2 的标准方程为(
A. )

x2 y 2 ? ?1 24 25

B.

x2 y 2 ? ?1 25 24

C.

x2 y 2 ? ?1 15 7

D.

x2 y 2 ? ?1 25 24

5、下列结论:①若命题 p : x 2 ? y 2 ? 0 , q : xy ? 0 ,则 ?p 是 ?q 的充分不必要条 件;② “ ab ? 0 ”是“方程 ax 2 ? by 2 ? c 表示椭圆”的必要不充分条件;③若 “ a ? 3 ? x ? a ? 3 ” 是 “ x2 ? 4x ? 3 ? 0 ” 的 必 要 条 件 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 0 ? a ? 4 .其中正确的有 ( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 6、如果数列 {an } 满足 a1 , a2 ? a1, a3 ? a2 ,?an ? an?1,? 是首项为 比数列,那么 an ?
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1 ,公比为 2 的等 2




A. 2

n?1

?1

B. 2 ? 1
n

C. 2 ?
n

1 2

D. 2

n?1

?

1 2

7、已知点 P 在抛物线 x2 ? 4 y 上,那么点 P 到点 Q ?1, 2 ? 的距离与点 P 到抛物线焦点 的距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为 A.(1, ( D.( )

1 ) 4

B.(2,1)

C.(1,2)

1 ,1) 4


8、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若

S3 1 S = ,则 6 =( S6 4 S12
D.

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

1 8

9、 在双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 上有一个点 P,F1 , F2 是该双曲线的两焦点,?F1PF2 ? 900 , 2 a b
( )

且 ?F PF2 的三条边成等差数列,则双曲线离心率为 1 A. 2 10、已知椭圆 渐近线方程为 A. x ? ? B. 3 C. 4 D. 5

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 ? 2 ? 1 有公共的焦点,那么双曲线的 5m 2 3n 2m 2 3n
( C. x ? ? )

3 3 y B. y ? ? x 2 2

3 y 4

D. y ? ?

3 x 4

11、如果一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的 2 倍,又它的首项 为 1,且中间两项的和为 96,则此等比数列的项数为 ( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 12、 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作 ?F PF2 外角平分线的垂线,垂 1 足为 M ,则点 M 的轨迹是 A.椭圆 B.圆 C.双曲线 ( D.双曲线的一支 )

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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13、给出下列四个命题: (1) “若 x ? y ? 0 ,则 x, y 互为相反数”的逆命题; (2)“全等三角形的面积相等”的否命题; (3)命题“中国人不都是北京人”的否定; (4) “若 q ? 1 ,则方程 x2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题。 其中真命题的序号是 14、已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn 满足 6Sn ? an 2 ? 3an ? 2, 且 a1 , a3 , a11 成等比 数列,则数列 ?an ? 的通项为________________________________

15、在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2c ,以原点 O 为 a 2 b2

圆心, a 为半径的作圆,过点 ?

? a2 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = c ? ?
2 n?2

?2? 16、若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? ?5?

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

? n ? N *? ,?an ? 的最大

值为第 x 项,最小值为第 y 项,则 x ? y ? ____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 p : 0 ? m ?

1 2 ,q : 方程 mx ? 2 x ? 3 ? 0 有两个同号且不相等的实根, 那么 p 是 3

q 的什么条件? 说明你的理由。
18. (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 是等比数列, Tn ? na1 ? (n ?1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1, T2 ? 4 (1)求数列 ?an ? 的通项公式和前 n 项和公式 ; (2)求数列 ?Tn ? 的通项公式。
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19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线以原点为顶点,以 x 轴为对称轴,焦点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. (1) 求抛物线的方程; (2) 设 P 是抛物线上一点,点 M 的坐标为 ? m,0? , m ? R ,求 PM 的最小值(用 ,并指出此时点 P 的坐标。 m 表示) 20. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . (Ⅰ)当 q ? 2 时,设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值。 21. (本小题满分 12 分) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于两点 P, Q , O ? Q ( O 且 P O a 2 b2

为原点).

1 1 ? 为定值; a 2 b2 3 2 (2)若离心率 e ? [ , ] ,求椭圆长轴的取值范围。 3 2
(1)求证: 22. (本小题满分 14 分) 已知正数数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a1 (1) 求证: an
2
3 3 3 3 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 2 .

? 2Sn ? an ;

(2) 求数列 {an } 的通项公式; (3) 若 bn

? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2
?

an

( ? 为非零常数, n ? N ),问是否存在整数 ? , 使
?

得对任意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .
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