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云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考卷(一)数学文试题



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云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(一)

文科数学
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分) 1、设集合 A={0,1,2,4},B= x ? R |1 ?

x ? 4? ,则 A ? B = A.{1,2,3,4} 2、若复数 z ? B. {2,3,4} C. {2,4} D. { x |1 ? x ? 4 }

?

1 ? 2i 的共轭复数是 z ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则点(a,b)为 i
B.(-2,1) C.(1,-2) D.(2,一 1)

A.(一 1. 2) 3、若 cos x ? A、

12 5

12 ,且 x 为第四象限的角,则 tanx 的值等于 13 12 5 5 B、- C、 D、- 5 12 12

4、有 3 个不同的社团,甲、乙两名同学各自参加其中 1 个社团,每位同学参加各个社团的可能性相 同,则这两位同学参加同一个社团的概率为 A、

1 3

B、

1 2

C、

2 3

D、

3 4

? ?e x ?1 , x ? 0 5. 已知函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( a ) =-1,则实数 a 的值为 ? x ? 2, x ? 0
A、2 B、±1 C. 1 D、一 1 6.“0≤m≤l”是“函数 f ( x) ? cos x ? m ? 1有零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.将某正方体工件进行切削,把它加工成一个体积尽可能大的新工件,新工件的三视图如图 1 所示, 则原工件材料的利用率为〔材料的利用率

7 8 6 B、 7 5 C、 6 4 D、 5
A、
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8. 在△ABC 中, | AB ? AC |?| AB ? AC | ,AB =2, AC=1,E, F 为 BC 的三等分点,则 AE ?AF = A、

??? ? ??? ?
10 9

??? ? ??? ?
25 9

??? ? ??? ?

8 9

B、

C、

D、

26 9

9、等比数列 an ? 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ?? ? ? ?( x ? a8 ) ,则 f '(0) = A、26 B、29 C、212 D、215

?

10、 《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图 2,在鳖臑 PABC 中,PA ⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,且 AP=AC=1,过 A 点分别作 AE 1⊥ PB 于 E、AF⊥PC 于 F,连接 EF 当△ AEF 的面积最大时,tan∠BPC 的值是

11. 设 S= 等于 A、2013

则不大于 S 的最大整数[S]

B、2014

C、2015

D、2016
2 2 2

12.设直线 l 与抛物线 x2=4y 相交于 A, B 两点,与圆 C: x ? ( y ? 5) ? r 线段 AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 A.(1,3) B. (1,4) C. (2, 3) . (2, 4)

(r>0)相切于点 M,且 M 为

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空班(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图 3.这是一个把 k 进掉数 a(共有 n 位)化为十进制数 b 的程序框图,执行该 程序框图,若输入的 k,a,n 分别为 2,110011,6,则输出的 b= _.

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14、设实数 x,y 满足 15、若函数 f ( x) ? ? 取值范围是 16.设椭圆 E:

的取值范围是

1 3 1 2 2 x ? x ? 2ax 在 [ , ??) 上存在单调递增区间,则 a 的 3 2 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A、右焦点为 F,B 为椭圆 E 在 a 2 b2

第二象限上的点,直线 BO 交椭圆 E 于点 C,若直线 BF 平分线段 AC,则椭圆 E 的离心率是 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步吸) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的首项 al=1, (I)证明:数列 (II)设 ,求数列 是等比数列; 的前 n 项和 Sn。 .

18.(本小题满分 12 分) 某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度(支持或反对) ,进行了如下的调查 研究.全年级共有 1350 人,男女生比例为 8:7,现按分层抽样方法抽取若干名学生,每人被抽到的 概率均为

1 ,通过对被抽取学生的问卷调查,得到如下 2x2 列联表: 9
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(I)完成列联表,并判断能否有 99.9%的把握认为态度与性别有关? (皿)若某班有 6 名男生被抽到,其中 2 人支持,4 人反对;有 4 名女生被抽到,其中 2 人支持, 2 人反对,现从这 10 人中随机抽取一男一女进一步调查原因.求其中恰有一人支持一人反对的概率。

19.(本小题满分 12 分) 如图 4,在三棱锥 S -ABC 中,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC = 2 ,M 为 AB 的中点. (I)证明:AC⊥SB; (II)求点 B 到平面 SCM 的距离。

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为 2 a b 2

4 2。 (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)过点 A(1,0)的直线与椭圆 C 交于点 M, N,设 P 为椭圆上一点,且 标原点,当 时,求 t 的取值范围。
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O 为坐

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21、 (本小题满分 12 分) 已知 f(x)= ax ? x ln x(a ? R) 。 (I)曲线 y ? f ( x) 在点(1,f(1))处的切线斜率为 0,求 f(x)的单调区间; (II)若 f(x)<x2 在(1,+ ? )恒成立,求 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写 清题号. 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4 一 1:几何证明选讲】 如图 5,已知圆的两条弦 AB, CD,延长 AB,CD 交于圆外一点 E,过 E 作 AD 的平行线交 CB 的延长线于 F,过点 F 作圆的切线 FG,G 为切点.求证: (I)△EFC∽△BFE; (II)FG=FE

23.(本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C: ?

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) ,以平面直角坐标系 xOy 的原 y ? sin ? ? ?

? (cos? ? sin ? ) =6. 点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 取相同的单位长度建立极坐标系, 已知直线 l:
(I)在曲线 C 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值;
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(1()过点 M(一 1,0)且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A, B 两点,求点 M 到 A,B 两点的距离 之积.

24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设 f(x)=|x+2|+|2x-1|-m. (I)当 m=5 时.解不等式 f(x)≥0; 〔II)若 f(x)≥

3 ,对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围. 2

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(一) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】
1 2, 4} ? {x 1 ? x≤4} ? {2, 4} ,故选 C. 1. A ? B ? {0,,

1 C

2 B

3 D

4 A

5 C

6 A

7 C

8 B

9 C

10 B

11 B

12 D

2.∵ z ?

1 ? 2i ? ?2 ? i, ∴ z ? ?2 ? i ,故选 B. i
2

5 ? 5 5 13 3.∵x 为第四象限的角,∴sin x ? ? 1 ? cos x ? ? ,于是 tan x ? ? ? ,故选 D. 12 12 13 13
4.记 3 个社团分别为 A、B、C,依题意得,甲、乙两位同学参加社团的所有可能的情况有 9 种,分
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别为(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),而两位同学 参加同一个社团的种数为 3,故所求概率为

3 1 ? ,故选 A. 9 3

?a≤0, ?a≤0, ?a ? 0, ?a ? 0, 5.∵ ? a ?1 ?? ? a ??,? ?? ? a ? 1 ,故选 C. ?a ? 2 ? ?1 ?a ? 1 ??e ? ?1 ?a ? 1
1 ? m1 ≤ , o c s 1 x≤ , ∵ f ( x) ? 0 ? cos x ? 1 ? m , 6. 由 0≤m≤1 , 得 0≤ 且 ?1≤ 所以函数 f ( x) ? cos x ? m ? 1

有零点.反之,函数 f ( x) ? cos x ? m ? 1 有零点,只需 |m ? 1|≤1 ? 0≤m≤2 ,故选 A. 7.如图 1,不妨设正方体的棱长为 1,则切削部分为三棱锥 A ? A1B1D1 , 其体积为 积为

1 ,又正方体的体积为 1,则剩余部分(新工件)的体 6

5 ,故选 C. 6 ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图1 AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系, 8.由 | AB ?AC | ?AB | ? AC | 知 AB ? AC ,以 AB,

A(0, 0),B(2, 0), C (0, 1)







?4 E? , ?3

2 ? 1 ? ? 2 , 据 ?,F ? , ? 3 ? 3 ? ? 3





??? ? ???? ? 4 1 ? ? 2 2 ? 8 2 10 AE ? AF ? ? , ? ?? , ? ? ? ? ,故选 B. ? 3 3? ? 3 3? 9 9 9

? 9 . 依 题 意 , 记 g ( x)

(x ? 1 a ) (? x 2 ?a ? ) ?

? ? (x ) f ( x) 则 8 ,a

x g (,x )?

f ? ( x ) ? g (?x )

x( g )x ,

f ?(0) ? g (0) ? a1a2 ???a8 ? (a1a8 )4 ? 212 ,故选 C.
C ? A E 10. 显然 BC ? 平面PAB , 则B

, 又P B ? A E

E ? 平面 P B C , 则A

且AE ? PC , , 于是 AE ? EF ,

结 合 条 件 AF ? PC 得 PC ? 平面AEF , 所 以 △ AEF 、 △ PEF 均 为 直 角 三 角 形 , 由 已 知 得
AF ? 2 2

,而 S△AEF ?

1 1 1 1 , AE ? EF≤ ( AE 2 ? EF 2 ) ? ( AF) 2 ? ,当且仅当 AE ? EF 时,取“=” 2 4 4 8

1 1 EF 2 所以,当 AE ? EF ? 时, △ AEF 的面积最大,此时 tan ?BPC ? ,故选 B. ? 2 ? 2 PF 2 2 2
11.∵ 1 ?

1 1 (n2 ? n)2 ? 2(n2 ? n) ? 1 n2 ? n ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ?1? ? ? ? ,所以 2 2 2 2 n (1 ? n) n (1 ? n) n(n ? 1) ? n n ?1?

1 ? 1 ?1 1 ? ?1 1? ? 1 S ?1? ? ? ? ?1? ? ? ? ?…?1? ? ? ,故 [S ] ? 2014 ,故选 B. ? ? 2015 ? 1 2 2 3 2014 2015 2015 ? ? ? ? ? ?

12 .圆 C 在抛物线内部,当 l⊥y 轴时,必有两条直线满足条件,当 l 不垂直于 y 轴时,设
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1

M ( x0,y0 ),A( x1,y1 ),B( x2,y2 )
2 x12 ? x2 ? 4( y1 ? y2 ) ?





x0 ?

x1 ? x 2 y ?y ,y0 ? 2 2



2



2 ? ? x1 ? 4 y1, ? ? 2 ? ? x2 ? 4 y2

x y1 ? y2 x1 ? x2 y ?5 ? ? k AB ? 0 ,因为圆心 C (0,5) ,所以 kCM ? 0 ,由直线 x1 ? x2 4 2 x0 ? 0

2 2 l 与 圆 C 相 切 , 得 k AB ?kCM ? ?1 ? y0 ? 3 , 又 因 为 x0 ? 4 y0 , 所 以 x0 ? 12 , 且

2 2 r2 ? x ( y 5 )2 ? x ?4 ? 16 ? r 0 ? 0 ? 0

, ? 4



2 r 2 ? ( y0 ? 5)2 ? x0 ?0?

r 2 ? (3 ? 5)2 ? 0 ?

r 2 ? 4 ? r ? 2 ,故 2 ? r ? 4 ,此时,又有两条直线满足条件,故选 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13.依程序框图得 b ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 0 ? 22 ? 0 ? 23 ? 1 ? 24 ? 1 ? 25 ? 51 . 14.由于 13 51 14
? 8 3? ? ? 3 ,2 ? ? ?

15
? 1 ? ? ? ,? ? ? ? 9 ?

16

1 3

y 表示可行域内的点 ( x,y) 与原点 (0,0) 的连线的斜 x

1),B(1,2) , 率,如图 2,求出可行域的顶点坐标 A(3,

y ?1 ? 1 1 C (4,2) ,则 kOA ? , kOB ? 2, kOC ? ,可见 ? ? ,2 ? , x ?3 ? 3 2



y 1 ?1 ? ? 8 3? ? t ,则 z ? t ? 在 ? ,2 ? 上单调递增,所以 z ? ? ? , ? . t x ?3 ? ? 3 2?
2

图2

1? 1 ?2 ? ? 15. f ?( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ? ? x ? ? ? ? 2a .当 x ? ? ,? ? ? 时, f ?( x) 的最大值为 2? 4 ?3 ? ?
2 2 1 ?2? f ? ? ? ? 2a ? ,令 2a ? ? 0 ,解得 a ? ? ,所以 a 的取 3 9 9 9 ? ? ? 1 ? 值范围是 ? ? , ? ? ? . 9 ? ?

16.如图 3,设 AC 中点为 M,连接 OM,则 OM 为
△ ABC 的中位线,于是 △OFM ∽△AFB ,且
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图3

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| OF | 1 c 1 c 1 ? ,即 ? ? ? . | FA | 2 a?c 2 a 3

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ an ?1 ?
4an , an ? 2



a ?2 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? n ? ? ,∴ ? ? ? ? ?, an ?1 4an 4 2an an ?1 2 2 ? an 2 ?

∴ 又 a1 ? 1,

? 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ,所以数列 ? ? ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. a1 2 2 a 2 2 2 ? n ?

???????????????????????????????(6 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知
1 1 1 ?1 ? ? ? ?? ? an 2 2 ? 2 ?
n ?1

?

n n n 1 ,∴ bn ? ? ? n , an 2 2 2n

设 Sn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? … ? n ,① 2 2 2 2

1 1 2 n ?1 n 则 Sn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n?1 ,② 2 2 2 2 2
1? 1 ?1 ? 1 1 1 1 n 2 ? 2n 由①-②得, Sn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 1? 2 ? ? ? ? n ?1? 1 ? n , 2n ?1 2n 2n ?1

∴ Sn ? 2 ?

1 n ? . 2n?1 2n

???????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)列联表如下: 支持 男生 女生 总计 计算得 K 2 ? 30 45 75 反对 50 25 75 总计 80 70 150

150(30 ? 25 ? 50 ? 45)2 ? 10.714 ? 10.828 , 80 ? 70 ? 75 ? 75
????????????(6 分)

所以没有 99.9%的把握认为态度与性别有关.

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(Ⅱ)记 6 名男生为 A1,A2, a3, a4, a5, a6 ,其中 A1,A2 为支持, a3,a4,a5,a6 为反对,记 4 名女 生为 B1,B2, b3, b4 ,其中 B1,B2 为支持, b3,b4 为反对,随机抽取一男一女所有可能的情况有 24 种,分别为
( A1,B1 ), ( A1,B2 ), ( A1, b3 ), ( A1, b4 ),( A2,B1 ),( A2,B2 ), ( A2, b3 ), ( A2, b4 ), (a3,B1 ), b3 ), (a3, b4 ), (a4,B1 ), (a4,B2 ), (a4, b3 ), (a4, b4 ), (a5, B1 ), (a5, B2 ), (a3,B2 ), (a3, (a5, b3 ), (a5, b4 ), (a6,B1 ), (a6,B2 ), (a6, b3 ), (a6, b4 ),

其中恰有一人支持一人反对的可能情况有 12 种,所以概率为 P ? 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 4,取 AC 的中点 D,连接 DS,DB. 因为 SA ? SC , BA ? BC ,
且AC ? DB , DS ? DB ? D , 所以 AC ? DS,

1 . 2

???(12 分)

所以 AC ? 平面SDB ,又 SB ? 平面SDB ,
图4

所以 AC ? SB .

????????????(6 分)

平面SAC ? 平面ABC , (Ⅱ)解:因为 SD ? AC,

所以 SD ? 平面ABC . 如图 4,过 D 作 DE ? CM 于 E,连接 SE,则 SE ? CM , ?????????(8 分) 所以在 Rt△ SDE 中, SD ? 1 , DE ?
∴ SE ?

1 , 2

5 , CM 是边长为 2 的正△ABC 的中线,∴ CM ? 3 , 2

1 1 5 15 ∴ S△SCM ? CM ? SE ? ? 3 ? ? , 2 2 2 4 S△BMC ? 1 1 1 3 ? AB ?CM ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 4 2

??????????????(10 分)

设点 B 到平面 SCM 的距离为 h,

1 1 则由 VB ? SCM ? VS ? BCM 得 S△SCM ?h ? S△BMC ?SD , 3 3
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3 S△BMC ? SD 2 5 ? 2 ? 所以 h ? . S△SCM 5 15 4

?????????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵e ?
2 b2 1 b2 1 , ∴ e2 ? 1 ? 2 ? ,∴ 2 ? ,即 a2 ? 2b2 . 2 a 2 a 2

1 又 S ? ? 2a ? 2b ? 4 2, a2 ? 4 . ∴ab ? 2 2 ,∴b2 ? 2, 2
∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

?????????????????(4 分)

(Ⅱ)由题意知,当直线 MN 斜率存在时, 设直线方程为 y ? k ( x ? 1) , M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),P( x,y) ,
? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立方程 ? 4 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 1), ?

因为直线与椭圆交于两点, 所以 ? ? 16k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(2k 2 ? 4) ? 24k 2 ? 16 ? 0 恒成立,

4k 2 2k 2 ? 4 ?2k , , x x ? ,y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ???? ? ???? ??? ? 又∵OM ? ON ? tOP , ∴ x1 ? x2 ?
? x1 ? x2 4k 2 x ? ? , ? ? x1 ? x2 ? tx, ? t t (1 ? 2k 2 ) ∴? ∴? ? y1 ? y2 ? ty, ? y ? y1 ? y2 ? ?2k , ? t t (1 ? 2k 2 ) ?

因为点 P 在椭圆

16k 4 8k 2 x2 y 2 ? 2 ? 4, ? ? 1 上,所以 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k 2 ) 2 4 2

即 2k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ), ∴t 2 ?
???? ? ???? 4 5 又∵| OM ? ON |? , 3

2k 2 1 , ?1? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

????????????(8 分)

???? ? 4 5 4 5 4 ? 6k 2 2 5 , ∴ 1 ? k 2 x1 ? x2 ? ? 即 | NM |? ,整理得: 1 ? k 2 ? , 3 3 1 ? 2k 2 3

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化简得: 13k 4 ? 5k 2 ? 8 ? 0 ,解得 k 2 ? 1 或 k 2 ? ?

8 (舍) , 13

∵t 2 ? 1 ?

? 6? ? 6 ? 1 2 . ?1, ? , 1? , ∴ ? t 2 ? 1 ,即 t ? ? ??? 2 ? ? ? 3 ? 1 ? 2k 3 ? ? ? 3 ?

? ? 6? 6? 当直线 MN 的斜率不存在时, M ?1, , N 1, ? ? ? ? ,此时 t ? ?1 , ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?

? 6? ? 6 ? ∴t ? ??1, ? , 1? . ??? ? ? 3 ? ? ? 3 ?
21. (本小题满分 12 分)

????????????????????(12 分)

1 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,? ?) ,求导可得 f ?( x) ? a ? , x 1 由 f ?(1) ? 0 得 a ? 1 ? 0 ? a ? ?1 ,∴ f ( x) ? ? x ? ln x,f ?( x) ? ?1 ? , x
令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ; 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , 所以 f ( x) 的减区间为 (1, ? ?) ,增区间为 (0, 1) . (Ⅱ)由题意: ax ? ln x ? x 2 ,即 ax ? x 2 ? ln x , ?????????(4 分)

∵x ? 1 , ∴a ? x ?
令 g ( x) ? x ?

ln x 恒成立. x

1 ? ln x x2 ? ln x ? 1 ln x ,则 g ?( x) ? 1 ? , ? x x2 x2 1 令 h( x) ? x2 ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? 2 x ? ? 0 , x
∴ h( x) 在 (1, ? ?) 上单调递增,
∴ g ?( x) ? 0 , 又 h(1) ? 0 ,∴当 x ? (1,? ?) 时, h( x) ? 0, ∴ g ( x) 在 (1, ? ?) 上单调递增,

所以 g ( x)min ? g (1) ? 1 , ∴当 a≤1 时, a ? g ( x) 恒成立,
1] . ∴a 的取值范围为 (??,

??????????????????(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】
∴ ?FEB ? ?A , 证明: (Ⅰ)∵ EF∥AD,
·12·

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又 ?A ? ?C ,∴?C ? ?FEB ,
∴在△EFC与△BFE中 ,

??EFC ? ?BFE, ? △EFC∽△BFE . ? ??C ? ?FEB

????????????????(5 分)

(Ⅱ)∵△EFC∽△BFE ,



EF FC ? ? EF 2 ? FB ? FC , FB EF

又 FG 是圆的切线,由切割线定理得 FG 2 ? FB ? FC ,
∴ EF 2 ? FG 2 ,即 EF ? FG .

????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)直线 l: ? (cos? ? sin ? ) ? 6 化成普通方程为 x ? y ? 6 ? 0 . 设点 P 的坐标为 ( 3 cos ?, sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

?π ? 2sin ? ? ? ? ? 6 ?3 ? , d? ? 2 2 ?π ? ? 3 1? ∴当 sin ? ? ? ? ? ?1 时,点 P ? ? , ? , 3 ? ? ? 2 2? ?2 ? 6 ? 4 2 . ??????????????????????(5 分) 此时 d max ? 2 x2 (Ⅱ)曲线 C 化成普通方程为 ? y 2 ? 1 ,即 x 2 ? 3 y 2 ? 3 , 3 3 cos ? ? sin ? ? 6
? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 l1 的参数方程为 ? (t 为参数)代入 x 2 ? 3 y 2 ? 3 化简得 2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , 2 ? y? t, ? ? 2
得 t1 ?t2 ? ?1 ,所以 MA ?MB ?| t1t2 |? 1 .??????????????????(10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?5 , 不等式 f ( x)≥0 为 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥5 , ①当 x≤ ? 2 时,不等式为: ?3x ? 1≥5 ,即 x≤ ? 2 ,满足;
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②当 ?2 ? x ?

1 时,不等式为: ? x ? 3≥5 ,即 x≤ ? 2 ,不满足; 2

1 4 ③当 x≥ 时,不等式为: 3 x ? 1≥5 ,即 x≥ ,满足. 2 3
? 4? 综上所述,不等式 f ( x)≥0 的解集为 ? x x≤ ? 2或x≥ ? . 3? ?

????????(5 分)

3 (Ⅱ)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ,若 f ( x)≥ 对于 x ? R 恒成立, 2
即 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥m ?

3 对于 x ? R 恒成立, 2

? ??3x ? 1( x≤ ? 2), ? ? 1? ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? ?? x ? 3 ? ?2 ? x ? ?, 2? ? ? ? 1? ? ?3x ? 1? x≥ ? . 2? ? ?

由图 5 可看出 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| 的最小值是

5 , 2
图5

3 5 1] . 所以 m ? ≤ ,∴ m≤1 ,即 m 的取值范围是 (??, 2 2

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