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福建省厦门外国语学校2016届高三数学5月适应性考试试题文(新)



厦门外国语学校 2016 届高三适应性考试 数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 P ? {x | x 2 ? 2 x ? 0}, Q ? {x | 1 ? x ? 2} ,则 (CR P) ? Q ? ( A. [0,1) 2.复数 z ? B. (0,2]

C. (1,2) D. [1,2] ) )

2?i (其中 i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( 2?i
B.第二象限 )条件 C、充要 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.“ p ? q 为真”是“ ?p 为假”的( A、充分不必要 B、必要不充分

D、既不充分也不必要

4.如图,四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形,AB 是大正方形 的一条边,Pi(i=1,2,?,7)是小正方形的其余顶点, → → 则AB·APi(i=1,2,?,7)的不同值的个数为( A.7 B.5 C.3 ) D.1

5.将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位 长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. π 12 π B. 6 π C. 3 ) 5π D. 6

6.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足

(b ? a)sin A ? (b ? c)(sin B ? sin C ) ,则角 C 等于(
A.

) D.

? 3

B.

? 6

C.

? 4

2? 3
)

7.执行如图的程序框图,若程序运行中输出的一组数是 ? x, ?12? ,则 x 的值为( A. 27 B. 81 C. 243 D. 729

1

开始

x ? 1, y ? 0, n ? 1

n ? n?2
x ? 3x
y ? y ?3
输出 ? x, y ?

n ? 2016?
是 结束 8. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( A. 10 ? 5 B. 10 ? ) D. 6 ?

否 (第 7 题)

2

C. 6 ? 2 2 ? 6

2? 6

9.我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题: “ 远看巍巍 塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”. 诗中描述的这个宝塔 古称浮屠,本题说它一共有 7 层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,共有 381 盏灯, 那么塔顶有( )盏灯. A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

x2 y2 10.设 F 1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在 a b
一点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 心率为( A. ) B.

4 3

5 3

C.

5 4

D.

41 4

11 . 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , AB ? BC , AB ? BC ? 2, PA ? PC ? 2 , AC 中 点 为 M ,

cos ?PMB ?
A.

3 ,则此三棱锥的外接球的表面积为( 3
B. 2? C. 6?

) D. 6?

3? 2

2

12 已知方程 ln x ? ax2 ?
? e2 ? (A) ? 0, ? ? 2?

3 ? 0 有 4 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( 2
? e2 ? (B) ? 0, ? ? 2? ? e2 ? (C) ? 0, ? ? 3?



? e2 ? (D) ? 0, ? ? 3?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13 某单位有 420 名职工,现采用系统抽样方法抽取 21 人做问卷调查,将 420 人按 1, 2 , ? , 420 随机编号,则抽取的 21 人中,编号落入区间 ? 281, 420? 的人数为
???? ? ??? ? 14 在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4 , M 是边 BC 的中点,则 AM ? BC ?

.

.

? x ? 2, ? 15 不等式组 ? x ? y ? 6, 所表示的平面区域为 ? ,若直线 ax ? y ? a ? 1 ? 0 与 ? 有公共点,则 ?x ? 2 y ? 0 ?

实数 a 的取值范围是

. .

16 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , A ? 2C, c ? 2, a 2 ? 4b ? 4 ,则 a ?

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 12 分) 已知递增等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 a2 ? 1, a4 ? 1, S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
an a ? n ?1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ?1 an

18.(本题满分 12 分) 周立波主持的《壹周·立波秀》节目以其独特的视角和犀利的语言,给观众留下了深刻
3

的印象.央视鸡年春晚组为了了解观众对《壹周·立波秀》节目的喜爱程度,随机调查 了观看了该节目的 140 名观众,得到如下 2×2 的列联表: (单位:名) 男 喜爱 不喜爱 总计 40 20 60 女 60 20 80 总计 100 40 140

(Ⅰ)从这 60 名男观众中按对《壹周·立波秀》节目是否喜爱采取分层抽样,抽取一个 容量为 6 的样本,问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名? (Ⅱ) 根据以上列联表, 问能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与 喜爱《壹周·立波秀》节目有关. (精确到 0.001) (Ⅲ)从(Ⅰ)中的 6 名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜 爱《壹周·立波秀》节目的概率. 附:临界值表

p(k 2 ? k0 )

0.10 2.705

0.05 3.841

0.025 5.024
2

0.010 6.635

0.005 7.879

k0
参考公式: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

,n ? a ?b?c ? d .

19.(本小题满分 12 分) 如图:将直角三角形 PAO ,绕直角边 PO 旋转构成圆锥,四边形 ABCD 是圆 的内接矩形,

M 是母线 PA 的中点, PA ? 2 AO .
(I)求证: PC // 面 MBD ; (II)当 AM ? CD ? 2 时,求点 B 到平面 MCD 的距离.

4

20 已知定点 F ?1,0? ,定直线 l : x ? ?1 , H 是 l 上任意一点, 过 H 作 MH ? l ,线段 FH 的 垂直平分线交 MH 于点 M ,设点 M 的轨迹为曲线 C ,将曲线 C 沿 x 轴向左平移 1 个单位, 得到曲线 C ' . (Ⅰ)求曲线 C 的方程;
l y H M

(Ⅱ)过原点互相垂直的两条直线与曲线 C ' 分别相交于 D, E 和 P, Q , 求 DE ? PQ 的最小值.

O

F

x

21(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k ? 1)e x . (Ⅰ)当 x ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若 x ? x ,且 f ( x ) ? f ( x ) ,证明: x ? x ? 2k . 1 2 1 2 1 2

5

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对 应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答 第一题评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, 已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点, 过点 P 的割线交圆于 B, C 两点, 弦 CD // AP ,

AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC .
(Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

第 22 题图

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 直线 l 与曲线 C : ?y ? 2? 3 t ? ? 2
( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A , B 两点.
(Ⅰ)求 AB 的长; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点 P 的极坐标为

3? ? ? ? 2 2, ? ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 4 ? ?
6

24 本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲.

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a 2 2 2 (Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3 .
(Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

7

(1)C (7)B

(2)A (8)C

厦门外国语学校 2016 届高三适应性考试 数学(文科)参考答案 2016.5 (3)B (4)C (5)B (6)A (9)B (10)B (11)C (12)A (16) 2 3 .

(13) 7 ;

7 (14) ; 2

1 (15) [ , ??) ; 5

17(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,因为 a1 ? 1 , ∴ a2 ? 1=2+d , a4 ? 1 ? 2 ? 3d , S4 ? 4 ? 6d . ∵ a2 ? 1, a4 ? 1, S4 成等比数列, ∴ (a4 ? 1)2 ? (a2 ? 1)S4 ,即 ? 2 ? 3d ? ? (2 ? d )(4 ? 6d ). 解得 d ? 2 或 d ? ?
2

2 . ·5分 3

∵等差数列 ?an ? 是递增数列,∴ d ? 2 ,∴ an ? 2n ? 1 . ·········· 7 分 (Ⅱ)∵ bn ?
an a 2n ? 1 2n ? 1 ? n ?1 ? 2 ? ? ? 2 ············· 8 分[ an ?1 an 2n ? 1 2n ? 1

? (1 ?

2 2 1 1 ) ? (1 ? ) ? 2 ? 2( ? ) ········ 10 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 4n ∴ Tn ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( . ·· 12 分 ? ) ? 2(1 ? )? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

18.解: (Ⅰ)抽样比为

,则样本中喜爱的观众有 40×

=4 名;不喜爱的观众有 6

﹣4=2 名. ???????3 分 (Ⅱ)假设:观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目无关,由已知数据可求得,]

∴ 不能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目 有关. ???????????????????????????????? 8 分 (Ⅲ)设喜爱《壹周·立波秀》节目的 4 名男性观众为 a,b,c,d, 不喜爱《壹周·立波秀》节目的 2 名男性观众为 1,2; 则基本事件分别为: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,1) , (a,2) , (b,c) , (b,d) , (b,1) , (b, 2) , (c,d) , (c,1) , (c,2) , (d, 1) , (d,2) , (1,2) . 其中选到的两名观众都喜爱《壹周·立波秀》节目的事件有 6 个,

故其概率为 P(A)=

????? 12 分

8

19.解:(Ⅰ)连接 因为四边形 ∴ 又∵ 又 ∴ 面 到平面 又∵AD=

,连接 是圆 的内接矩形,

.

,且 ∴

的中点.

??????????? 6 分 的距离为 d,由题设,⊿PAC 是边长为 4 的等边三角形

(Ⅱ)设点 ∴CM=

∴⊿CDM≌⊿AMD

∴ 又∵

∴由



=

∴d=

∴点 分

到平面

的距离为



???????????????? 12

9

20 解答: (Ⅰ)线段 FH 的垂直平分线交 MH 于点 M ,所以 MF ? MH ,由抛物线定义 知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,所以曲线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,所以曲线 C ' 的方程为 y 2 ? 4 ? x ? 1? ,
y

P

1 设直线 DE 的方程为 y ? kx ,则直线 PQ 的方程为 y ? ? x , k

D O Q x

设 D ? x3 , y3 ? , E ? x4 , y4 ? ,
? 4 4 ? y ? kx ,得 y 2 ? y ? 4 ? 0 ,所以 y3 ? y4 ? , y3 y4 ? ?4 2 y ? 4 x ? 1 k k ? ? ? ?
1 ? 1 y3 ? y4 ? k2 1 ?1 k2

E

由?

DE ?

? y3 ? y4 ?

2

? 4 y3 y4 ?

1 16 ? 1 ? ? 1 2 ? 16 ? 4 ? 2 ? 1? 2 k k ?k ?

同理可得 PQ ? 4 ? k 2 ? 1? , 所以 DE ? PQ ? 4 ? k 2 ?
? ? 1 ? 1 1 ? 8 ? 8 k 2 ? 2 ? 8 ? 16 ,等号当且仅当 k 2 ? 2 即 k ? ? 1 时成立. 2 ? k ? k k

所以 DE ? PQ 的最小值为 16 . 21 解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? ( x ? k )e x , x ? 0 . ·················· 1 分 (i)当 k ? 0 时, f ?( x) ? 0恒成立 ,
(0, +? ) ∴ f ( x) 的递增区间是 ,无递减区间;无极值.

·········· 3 分

(ii)当 k ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得, x ? k ;由 f ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? k ; ∴ f ( x) 的递减区间是 (0, k ) ,递増区间是 (k , +?) ,
f ( x) 的极小值为 f (k ) ? ?ek ,无极大值. ················ 5 分

(Ⅱ)由已知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ,结合(Ⅰ)可知, k ? 0 , f ( x) 在 (??, k ) 上单调递 减,在 (k , +?) 上单调递增, 又 f (k ? 1) ? 0 , x ? k ? 1 时, f ( x) ? 0 . 不妨设 x1 ? k ? x2 ? k ? 1 , 此时 x2 ? k , 2k ? x1 ? k , 故要证 x1 ? x2 ? 2k ,只要证 2k ? x1 ? x2 ,
10

????????????????6 分

只要证 f (2k ? x1 ) ? f ( x2 ) , 因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即证 f (2k ? x1 ) ? f ( x1 ) . ··············· 8 分 设 g ( x) ? f (2k ? x) ? f ( x) ?

g ?( x) ?

( x ? k )e2k ex

(? x ? k ? 1)e2k ? ( x ? k ? 1)ex ( x ? k ) , ex ( x ? k )(e 2 k ? e 2 x ) , ············ 9 分 ? ( x ? k )ex ? ex

∴当 x ? k 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, k ) 上单调递减, ·········· 10 分 ∴ x ? (??, k ) 时, g ( x) ? g (k ) ? ?ek ? ek ? 0 , ·············· 11 分 故当 x ? k 时, f (2k ? x) ? ( ,即 f (2k ? x1 ) ? ( 成立, f x) f x1) ∴ x1 ? x2 ? 2k . ··························· 12 分

23 解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 代入曲线 C 的方程得 设点 A,B 对应的参数分别为 所以 . ,则

(t 为参数) ,





.?????????????????(5 分) ,

(Ⅱ)由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标为

所以点 P 在直线 l 上,中点 M 对应参数为

, .??(10 分)

由参数 t 的几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 24 证明:(Ⅰ)由 ,

有 (Ⅱ) ,由柯西不等式得:

, 所 以

(当且仅当 即



时取“ ”号)整理得:

,

??????????????????????10 分

11



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