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广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学2016届高三数学五月联考(模拟)试题 理



2015-2016 学年度理数三模联考
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的。 )

i?2 ? a ? bi (a, b ? R) ,则 a ? b ? ( ) . 1? i A. 1 B. 2 C. ? 1 D. ? 2 x 2.已知集合 P={x|1<2 <2},Q

= ?x | log0.5 x ? 1? ,则 P∩Q=( ) . 1 1 1 A.(0, ) B.( ,1) C.(﹣1, ) D.(0,1) 2 2 2 3.已知 a ? 0, b ? 0 ,则“ ab ? 1 ”是“ a ? b ? 2 ”的( ) .
1.设复数 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.在△ABC 中,若 sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC 的形状一定是( A.等边三 角形 B.不含 60°的等腰三角形
2

) .

C.钝角三角形

D.直角三角形 开 输 始 k ?1 , p ?1 入 p ? p(n ? m ? k )
k ? m?

5.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2a7+3a8=0, 数列{bn}是等比数列,且 b7= a7,则 b6b7b8 等于( A.1 B.2 C.4 ) . D.8 ) .

n, m

k ? k ?1

6.如果执行程序框图,且输入 n=6,m=4,则输出的 p=( A.240 B.120 C.720 D.360

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, 7.设 F1,F2 为椭圆 C: 4
|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( A. ) .

是 否 输出 p 结 束

7 16

B.

25 16

C. ?

7 16
15 2

D. ?

25 16
) . 13 2 ) .

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 16 3 B. 20 3 C. D.

9. 对于函数 f ( x) ? x 3 cos 3( x ? A. f ( x) 是奇函数且在( ?

?
6

( ) ,下列说法正确的是

π π , )上递增 6 6 π 6

B. f ( x) 是奇函数且在( ?

π π , )上递减 6 6 π 6

C. f ( x) 是偶函数且在( 0, )上递增

D. f ( x) 是偶函数且在( 0, )上递减
1

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 10.当实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围( ?x ? 1 ?
A.[1,

) .

3 ] 2

B.[﹣1,2]

C.[﹣2,3]
4 3

D.[1,2]
2

4 3 2 11.已知等式 x ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ? x ? 1? ? b1 ? x ? 1? ? b2 ? x ? 1? ? b3 ? x ? 1? ? b4 ,

定义映射 f : ? a1, a2 , a3 , a4 ? ? ?b1, b2 , b3 , b4 ? ,则 f ? 4,3,2,1? ? ( A. ?1, 2,3, 4 ? B. ? 0,3,4,0? C.

) . D. ? ?1,0, 2, ?2? ) .

? 0, ?3, 4, ?1?

12.对 ?? ? R, n ?[0,2] ,向量 c ? (2n ? 3cos? , n ? 3sin ? ) 的长度不超过 6 的概率为( A.

5 10

B.

2 5 10

C.

3 5 10

D.

2 5 5

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 则实数 m 的值为 .

y2 x2 ? ? 1 的离心率为 5 , m 2 ? 1 2m ? 6

14. 已知三棱锥 P ? ABC 中, 底面 ?ABC 是边长为 3 的等边三角形, 侧棱长都相等, 半径为 7 的球 O 过三棱锥 P ? ABC 的四个顶点,则点 P 到面 ABC 的距离为
2 15.已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? b , ( x ? R ) ,给出下列命题:



① ?a ? R ,使 f ? x ? 为偶数;
2

②若 f ? 0? ? f ? 2? ,则 f ? x ? 的图象关于 x ? 1 对称;

③若 a ? b ? 0 ,则 f ? x ? 在区间 [a, ??) 上是增函数; ④若 a ? b ? 2 ? 0 ,则函数 h( x) ? f ? x ? ? 2 有 2 个零点。
2

其中正确命题的序号为

. .

16. 已知数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn , 当 n ? 2 时, 则 S2016 的值为 a1 ? 2 , 2Sn ? an ? n , 三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共 70 分)

17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,f (x)=sin(2x-A) (x∈R),函数 f (x) 的图象关于点 (

?
6

,0) 对称.

π ⑴当 x∈(0, )时,求 f (x)的值域; 2 13 3 ⑵若 a=7 且 sin B+sin C= ,求△ABC 的面积. 14
2

18.从 2016 年 1 月 1 日起,广东、湖北等 18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围, 其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表: 上一年的 出险次数 下一年 保费倍率

0

1

2

3

4

5 次以上 (含 5 次)

85?

100?

125?

150?

175?

200?

连续两年没有出险打 7 折,连续三年没有出险打 6 折 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数的频数 分布如下(并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率): 一年中出险次数 频数 0 500 1 380 2 100 3 15 4 4 5次以上(含5次) 1

⑴求某车在两年中出险次数不超过 2 次的概率; ⑵经验表明新车商业车险保费与购 车价格有较强的线性相关关系,估计其回归直线方程 为: ? (其中 x (万元)表示购车价格, y (元)表示商业车险保费) 。 y ? 120x ? 1600 . 李先生 2016 年 1 月购买一辆价值 20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在 2017 年 1 月续保时应缴交的保费, 并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担。 (假设车辆下 一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保)

19.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=2,AA1= 2 2 ,D 是 AA1 的中点,BD 与 AB1 交于点 O,且 CO⊥平面 ABB1A1. ⑴证明:CD⊥AB1;
B

C

C1

⑵若 OC=OA,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.
A

B1
O
D

A1

20. 设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F , 准线为 l ,A 为 C 上一点, 已知以 F 为圆心,FA
2

为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点. ⑴若 p ? 2 且 ?BFD ? 90 时,求圆 F 的方程;
0

⑵若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,设直线 m 与抛物线 C 的另一个交点为 E ,在 y 轴上求 一点 G ,使得 ?OGE ? ?OGA .
3

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? m, m ? R . ⑴求函数 f ( x) 的极值点; ⑵若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 恒成立,求实数 m 的取值范围; ⑶在⑵的条件下,对任意 0 ? a ? b ,求证:

f (b) ? f (a) 1 ? b?a a(1 ? a)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题给分. 22.如图,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,且 AB 是⊙O 的直径,过点 D 的⊙O 的切线与 BA 的延长 线交于点 M. ⑴若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; ⑵若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

23.已知直线 l:? 的左焦点 F.

? ?x=m+tcosα ?y=tsinα ?

(t 为参数,α ≠0)经过椭圆 C:?

?x=2cosφ ?y= 3sinφ

(φ 为参数)

⑴求实数 m 的值; ⑵设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,求|FA|?|FB|取最小值时,直线 l 的倾斜角 ? .

24.已知函数 f (x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. ⑴当 a=-2 时,求不等式 f (x)<g(x)的解集;

? a 1? ⑵设 a>-1,且当 x∈?- , ? 时,f (x)≤g( x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

4

2015-2016 学年度理数三模联考卷答案 1. A. 2. A, ∵集合 P={x|1<2 <2}={x|0<x<1},Q={x|log0.5x>1}={x|0<x<0.5},∴P∩Q=(0,0.5). 3.A. 4.D,∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB π =1-2cosA?sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即 sin(A+B)=1,∴A+B= 2 5.D,∵a4-2a7+3a8=0,∴2a7=a4+3a8,∴2a7=a5+a7+2a8=a5+a7+a7+a9, 即 2a7=4a7 ,∴a7=2,∴b7=2,故 b6b7b8=b7b7=(b7) =8. 6.D,根据题中的程序框图,模拟运行如下:输入 n=6,m=4,k=1,p=1, ∴p=1?(6﹣4+1)=3,k=1<4,符合条件,∴k=1+1=2,p=3?(6﹣4+2)=12,k=2<4,符合条件, ∴k=2+1=3,p=12?(6 ﹣4+3)=60,k=3<4,符合条件,∴k=3+1=4,p=60?(6﹣4+4)=360,k=4=4,不 符合条件,故结束运行,输出 p=360. 7.C,设 | PF2 |? m ,则 | PF 1 |? 2m ,由椭圆定义 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 4 ∴ 2m ? m ? 4 ∴ m ?
2 2 3 2 2 2

x

4 . 又 | F1 F2 |? 2c ? 2 a 2 ? b 2 ? 2 3 , 3

∴由余弦定理可得 cos ?F1PF2 ?

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 7 ?? . 2 | PF1 || PF2 | 16

4 1 13 8.D,该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得,所以其体积为 8- - = . 3 6 2 9.D,∵ f ( x) ? x cos(3 x ?
3

?
2

) = ? x3 sin 3x , f (? x) ? ?(? x)3 sin(?3x) ? ? x3 sin x ? f ( x)
2 3

2 ∴ f ( x ) 是偶函数,∵ f ?( x ) = ?3x sin 3x ? 3x cos3x = ?3x (sin 3x ? x cos3x)

∴当 0 ? x ?

?
6

时, f ?( x ) <0,则 f ( x ) 在( 0, )上是减函数.

π 6

10.A,由约束条件作可行域如图, 联立 ,解得 C(1, ).

联立

,解得 B(2,1).

在 x﹣y﹣1=0 中取 y=0 得 A(1,0).要使 1≤ax+y≤4 恒成立,



,解得:1≤a≤ .

∴实数 a 的取值范围是[1, ].

5

11.C,由a1 ? C4 ? b1 , a1 ? 4可得b1 ? 0 所以a2 ? C4 ? b2 , 又因为a2 ? 3可得b2 ? ?3 .
1 2

12.C, 即







13.1 或 ?

1 ,根据双曲线方程的结构形式可知,此双曲线的焦点在 y 轴上, 2

2 2 2 2 2 且 a ? m ? 1 , b ? 2m ? 6 ? 0 ,故 c ? m ? 2m ? 7 且 m ? ?3 ,

于是 e ?
2

1 c 2 m 2 ? 2m ? 7 ? ? ( 5 ) 2 ,解得 m ? 1 ,或 m ? ? ,经检验符合题意. 2 2 2 a m ?1

14. 7 ? 2 . 15.

16. 1007 ,当 n ? 2 时, 2Sn ? an ? n ,则当 n ? 3 时, 2Sn?1 ? an?1 ? n ? 1 , 两式相减,故当 n ? 3 时, an ? an?1 ? 1 . 故?S2016 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ...? a2015 ? a2016 ? a1 ? a2 ? 1007, 又 a1 ? 2 , 2S2 ? a2 ? 2 ,? 2(a1 ? a2 ) ? a2 ? 2 ,? a2 ? ?2 ,故 S2016 ? 1007 . π π π 17. ⑴∵函数 f(x)的图象关于点( , 0)对称, ∴f( )=0, 即 sin(2? -A)=0.?????? 6 6 6 1分 π 又 A∈(0,π ),∴A= .??????2 分 3 π π π 2π ∵x∈(0, ),∴2x- ∈(- , ),??????3 分 2 3 3 3
6

∴-

3 π <sin(2x- )≤1,?4 分 2 3

即函数 f(x)的值域为(-

3 ,1].??????5 分 2

⑵由正弦定理 = = ,得 sin B+sin C= sin A sin B sin C 分

a

b

c

bsin A csin A + ,??????6 a a

π 3 又∵a=7,A= ,∴sin B+sin C= (b+c).??????7 分 3 14 13 3 ∵sin B+sin C= ,∴b+c=13. ??????8 分 14 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 49=b +c -bc, 即 49=(b+c) -3bc=169-3bc,??????10 分 ∴bc=40. ???11 分 18.⑴设某车在两年中出险次数为 N, 则 P( N ? 2) ? P( N ? 0) ? P( N ? 1) ? P( N ? 2) 1 ∴S△ABC= bcsin A=10 3.??????12 分 2
2 2 2 2 2 2

?

500 500 500 380 500 100 380 380 1 1 ? ? C2 ? ? ? C2 ? ? ? ? ??2 分 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

? 0.8744 ??????????4 分
∴某车在两年中出险次数不超过 2 次的概率为 0.8744 ?????????5 分 ⑵设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量,

X的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2?????????6分 X 的分布列为

?????9分 计算得下一年保费的期望倍率为 EX=0.85?0.5+1?0.38+ 1.25?0.1 +1.5?0.015 +1.75?0. 004 + 2?0.00 1 = 0.9615???10分 该车辆估计2017年应缴保费为:(120? 20 +1600) ? 0.9615 = 3846元???????? 12分 19.⑴证明:∵ABB1A1 是矩形,D 为 AA1 中点,AB=2,AA1=2 ,AD= ,

7

∴在直角三角形 ABB1 中,tan∠AB1B=

=

,在直角三角形 ABD 中,tan∠ABD=

=



所以∠AB1B=∠ABD,又∠BAB1+∠AB1B=90°,∠BAB1+∠ABD=90° ,??3 分 所以在直角三角形 ABO 中,故∠BOA=90°,即 BD⊥AB1, 又因为 CO⊥侧面 ABB1A1,AB1? 侧面 ABB1A1,所以 CO⊥AB1?????4 分 又因为 CO,BD 为相交于点 O,所以 AB1⊥面 BCD??????5 分 因为 CD? 面 BCD,所以 CD⊥AB1??????6 分 ⑵解:分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x,y,z 轴,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, 则 A(0,﹣ B1(0, 又因为 所以 ,0),B(﹣ ,0),D( =2 =(﹣ =( , ,所以 , , ,0), ), =(0, =( , ) )??????8 分 ,0,0),C(0,0, ,0,0), )

,0,﹣

设平面 ABC 的法向量为 =(x,y,z),

由?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? AC ? 0



可得 =(1,

,﹣

)是平面 ABC 的一个法向量????????10 分

∴ cos ? n, CD ??

n ? CD | n | ? | CD |

?

15 ????????11 分 5
??????????12 分

所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

20.⑴由已知可得 F (0,1) , ?BFD 为等腰直角三角形, | BD |? 4 , 圆 F 的半径 | FB |? 2 2 ,圆 F 的方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 8 ????????2 分 ⑵因为 A, B, F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径, ?ADB ? 90 .??3 分
0

由抛物线定义知 | AD |?| FA |?

1 3 3 | AB | ,所以 ?ABD ? 300 , m 的斜率为 或? . 2 3 3
????????4 分

①当 m 的斜率为

3 3 p x ? ???????????5 分 时,直线 m 的方程为: y ? 3 3 2
8

2 3 px ? p 2 ? 0(? ? 0) .????????????6 分 3 3 解得 x1 ? 3 p, x2 ? ? p. 3 3 3 p 不妨记 A( 3 p, p), E (? p, ) ,并设 G(0, y0 ) ?8 分 2 3 6 ? ?OGE ? ?OGA ,?kGE ? kGA ? 0 ???????????????9 分 p 3 y0 ? p y0 ? 6 ? 0 ,解得 y ? ? p ??????????????10 分 2 ? 即 0 2 ? 3p 3 p 3 p 3 ②当 m 的斜率为 ? 时,由图形对称性可知 G (0, ? ) ?????????11 分 2 3 p 综上,点 G 的坐标为 (0, ? ) ???????????12 分 2 1 ? mx 1 ( x ? 0) ???????????1 分 21.⑴ f ?( x ) ? ? m ? x x 当 m ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增, f ( x ) 无极值点??????2 分 1 1 当 m ? 0 时,当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 m m 1 x ? ????????????4 分 此时 f ( x ) 有极大值点 m ⑵ 由 ⑴ 得 m?0 时 , 显 然 不 成 立 , 当 m?0 时 , 1 1 ?0 m ? ln m ? 1 ,只需 m ? ln m ? 1 ? 0 ???????6 分 f ( x) m ? ( ) ? ln ? 1 ? m ? a fx m m 1 令 f1 ( x) ? x ? 1 ? ln x , f1?( x ) ? 1 ? 易得 f1 ( x) 在 (0,1) 递减,在 (1, ??) 递增 x 1 ∴ f1 ( x)max ? f1 (1) ? 0 ,则 f1 ( x) ? 0 ,所以 ln ? 1 ? m ? 0 的解为 m ? 1 m 综上所述: m ? 1????????????8 分 b b ln ln 1 f (b) ? f (a) ln b ? ln a ? a ? b ln b ? ln a 1 a? ⑶ ? a ? ? ? 1 ???????9 分 ? ? ?1 ? 1 b b b?a b?a b?a a a ? ?1 1 a a b b b 由 0 ? a ? b 得 ? 1 ,由⑴得 ln ? ? 1 则 ???????10 分 a a a b ln 2 1 a ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? a ? 1 ? a ? ???????11 分 b a a a a (1 ? a ) a (1 ? a ) ?1 a
代入 x =2py, x 2 ?
2

9

则不等式

f (b) ? f (a) 1 成立 ? b?a a(1 ? a)
2

???????12 分

22.⑴因为 MD 为⊙O 的切线,由切割定理知 MD =MA?MB??????????2 分 又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB,所以 MA=3,AB=12-3=9.??????4 分 ⑵因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,??????5 分 连接 DB,又 MD 为⊙O 的切线,由弦切角定理知∠ADM=∠ABD ???????6 分 又因为 AB 是⊙O 的直径,所以∠ADB 为直角,即∠BAD=90°-∠ABD。 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是 90°-∠ABD=2∠ABD, 所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°????????8 分 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°??10 分.

?x=2cosφ 23.⑴∵椭圆 C:? ?y= 3sinφ
直线 l:?
? ?x=m+tcosα ?y=tsinα ?

x2 y2 的普通方程为 + =1,∴F(-1,0)。????1 分 4 3
的普通方程为 y=tanα (x-m)????????2 分

∴0=tanα (-1-m)??3 分∵α ≠0,∴tanα ≠0 ??????4 分 ∴m=-1。????????5 分 ⑵将直线的参数方程?
2 2

?x=-1+tcosα ? ? ?y=tsinα
2

代入椭圆 C 的普通方程 + =1 中 4 3

x2 y2

整理得(3cos α +4sin α )t -6tcosα -9=0????????6 分 设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2 9 9 则|FA|?|FB|=|t1t2|= = ????????7 分 2 2 2 3cos α +4sin α 3+sin α 9 当 sinα =±1 时,|FA|?|FB|取最小值 .????????8 分 4 ∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ?

?
2

??9 分 ∴|FA|?|FB|取最小值时,直线 l 的倾斜角 ? ?

?
2

?10 分

24.⑴当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)转化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0 -5x,(x< ) 2 ? ? 1 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 y=? -x-2,( ≤x≤1) 2 ? ?3x-6,(x>1) 1
10

其图象如图所示。从图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0, ∴原不等式的解集是{x|0<x<2}????????5 分

? a 1? ⑵当 x∈?- , ?时,f(x)=1+a ? 2 2? ? a 1? 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3,x≥a-2 对 x∈?- , ?都成立 ? 2 2?
4? a 4 ? 故- ≥a-2,即 a≤ ,从而 a 的取值范围是?-1, ?????????10 分 3? 2 3 ?

11



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