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河北省保定一中2015年高考数学模拟试卷(理科)(6)



2015 年河北省保定一中高考数学模拟试卷(理科) (6)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤3},集合 B={x| <0},则 A∪B=( )

A. {x|﹣1<x<0} B. {x|﹣1≤x<0} C. {x|x<0} D. {x|x≤3} 2. 若各项均为正数的等比数列{an}满足 a2=1,

a3a7﹣a5=56, 其前 n 项的和为 Sn, 则 S5= ( A. 31 B. C. D. 以上都不对 )

3. “a=﹣2”是“直线 l1:ax﹣y+3=0 与 l2:2x﹣(a+1)y+4=0 互相平行”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为( A. B. C. 8 D. ﹣8
2





5.若定义在 R 上的偶函数 y=f(x)是[0,+∞)上的递增函数,则不等式 f(log2x)<f(﹣ 1)的解集是( ) A. ( ,2) B. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. R D. (﹣2,2)

6.计算

(1﹣cosx)dx=(



A. π+2 B. π﹣2 C. π D. ﹣2 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

8.将函数 y=f(x)的图象按向量 =(﹣ +2 的图象,则函数 f(x)的解析式为(

,2)平移后,得到函数 g(x)=sin(2x+ )



A. y=sin2x B. y=sin(2x+

) C. y=sin(2x+

) D. y=sin(2x﹣



9.已知不等式组

表示的平面区域恰好被圆 C: (x﹣3) +(y﹣3) =r 所覆

2

2

2

盖,则实数 k 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10.直线 l:y=k(x﹣ 取值范围是( ) A. {0,π) B. ( ) )与曲线 x ﹣y =1(x>0)相交于 A、B 两点,则直线 l 倾斜角的 , )∪( , ) C. [0, )∪( ,π) D. ( ,
2 2

11.设 f(x)=|lg(x﹣1)|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 ab 的取值范围是( A. [1,2] B. (1,2) C. (4,+∞) D. (2,+∞)



12.已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且仅有一个实数

解,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,0) B. (﹣∞,0)∪(0,1) C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+ ∞)

二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分) 13.函数 f(x)=xe 在点(1,f(1) )处的切线的斜率是
x



14.数列{

}(n∈N )的前 n 项的和 Sn=

*



15.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①函数 y=2x ﹣3x+1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对? x,y∈R,若 x+y≠0,则 x≠1,或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x +y =1,则
2 2 3



的最大值为



④若△ABC 为钝角三角形,则 sinA<cosB.

16.在△ABC 中,AC=6,BC=7,

,O 是△ABC 的内心,若 .

,其中 0≤x

≤1,0≤y≤1,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为

三、解答题(17 题 10 分,其它各题均为 12 分,共计 70 分) 17.已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x. (1)求 f( )的值;
2 2

(2)求 f(x)的递减区间.

18.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a=3,b=4,B= (1)求 cosB 的值; (2)求 sin2A+sinC 的值.

+A.

19.已知数列 (1)求 a2,a3; (2)若存在一个常数λ,使得数列 (3)求数列{an}通项公式.



为等差数列,求λ值;

20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60°,E、F 分别是 PB、CD 的中点,且 PB=PC=PD=4. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求证:EF∥平面 PAD; (3)求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值.

21.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣

,0) , (

,0) ,并且经过点(



) .

(1)求椭圆的标准方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 经过点(0,﹣2) ,且与椭圆交于不同的两点 A、B,求△OAB 面积 的最大值. 22.设函数 f(x)=x +x+aln(x+1) ,其中 a≠0.
2

(1)若 a=﹣6,求 f(x)在[0,3]上的最值; (2)若 f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; (3)求证:不等式 (n∈N )恒成立.
*

2015 年河北省保定一中高考数学模拟试卷(理科) (6)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤3},集合 B={x| <0},则 A∪B=( )

A. {x|﹣1<x<0} B. {x|﹣1≤x<0} C. {x|x<0} D. {x|x≤3} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用并集的性质求解. 解答: 解:∵集合 A={x|﹣1≤x≤3},集合 B={x| <0}={x|x<0}, ∴A∪B={x|x≤3}. 故选:D. 点评: 本题考查并集的求法,解题时要认真审题,是基础题. 2. 若各项均为正数的等比数列{an}满足 a2=1, a3a7﹣a5=56, 其前 n 项的和为 Sn, 则 S5= ( A. 31 B. C. D. 以上都不对 )

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等比数列的性质可得 a5=8,进而可得公比 q,代入求和公式可得. 2 解答: 解:由等比数列的性质可得 a3a7=a5 , 2 ∵a3a7﹣a5=56,∴a5 ﹣a5=56, 结合等比数列{an}的各项均为正数可解得 a5=8, ∴公比 q 满足 q =
3

=8,

∴q=2,∴a1= ,

∴S5=

=

=



故选:C 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和,求出数列的公比是解决问题的关键,属基础题. 3. “a=﹣2”是“直线 l1:ax﹣y+3=0 与 l2:2x﹣(a+1)y+4=0 互相平行”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案. 解答: 解:当 a=﹣2 时,l1:2x+y﹣3=0,l2:2x+y+4=0,两直线平行,是充分条件; 若直线 l1:ax﹣y+3=0 与 l2:2x﹣(a+1)y+4=0 互相平行,则 a(a+1)=2,解得:a=﹣2, 或 a=1,不是必要条件, 故选:A. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了两直线平行的性质及判定,是一道基础题. 4.抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为( A. B. C. 8 D. ﹣8
2



考点: 抛物线的定义. 分析: 首先把抛物线方程转化为标准方程 x =my 的形式,再根据其准线方程为 y=﹣ 即可 求之. 解答: 解:抛物线 y=ax 的标准方程是 x = y, 则其准线方程为 y=﹣ 所以 a=﹣ . 故选 B. 点评: 本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式. 5.若定义在 R 上的偶函数 y=f(x)是[0,+∞)上的递增函数,则不等式 f(log2x)<f(﹣ 1)的解集是( ) A. ( ,2) B. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C. R D. (﹣2,2) =2,
2 2 2

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 因为 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以在[0,+∞)上单调递增,则在对称区 间(﹣∞,0)上单调递减.所以 f(﹣1)=f(1) ,所以讨论 log2x 在区间[0,+∞)和(﹣ ∞,0)两种情况,所以 log2x≥0 即 x≥1 时,为了用上函数 y=f(x)在[0,+∞)上单调递 增的条件,将原不等式变成,f(log2x)<f(1) ,根据单调性,所以得到 log2x<1,x<2, 所以 1≤x<2,同样的办法,求出 log2x<0 时的原不等式的解,这两种情况所得的解求并集 即可. 解答: 解:根据已知条件知:y=f(x)在(﹣∞,0)是减函数,f(﹣1)=f(1) ; ∴①若 log2x≥0,即 x≥1,由原不等式得:f(log2x)<f(1) ; ∴log2x<1,x<2; ∴1≤x<2; ②若 log2x<0,即 0<x<1,f(log2x)<f(﹣1) ;

∴log2x>﹣1,x ∴ ;



综上得原不等式的解集为



故选 A. 点评: 考查偶函数的概念,偶函数在对称区间上的单调性的特点,以及对数函数的单调性.

6.计算

(1﹣cosx)dx=(



A. π+2 B. π﹣2 C. π D. ﹣2 考点: 定积分. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 求出原函数,即可求得定积分. 解答: 解: (1﹣cosx)dx=(x﹣sinx) =( ﹣sin )﹣[﹣ ﹣sin(﹣

)]=π﹣2, 故选:B. 点评: 本题考查定积分,考查学生的计算能力,比较基础. 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥,分别求出棱锥的 底面面积和高,代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥, 其底面面积 S=2×2=4, 高 h=2× = , = ,

故该几何体的体积 V= Sh= ×4×

故选:D 点评: 根据三视图判断空间几何体的形状,进而求几何的表(侧/底)面积或体积,是高考 必考内容,处理的关键是准确判断空间几何体的形状,一般规律是这样的:如果三视图均为 三角形,则该几何体必为三棱锥;如果三视图中有两个三角形和一个多边形,则该几何体为 N 棱锥(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个为矩形和一个多边形,则该 几何体为 N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个为梯形和一个多 边形,则该几何体为 N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个三角 形和一个圆,则几何体为圆锥.如果三视图中有两个矩形和一个圆,则几何体为圆柱.如果 三视图中有两个梯形和一个圆,则几何体为圆台.

8.将函数 y=f(x)的图象按向量 =(﹣ +2 的图象,则函数 f(x)的解析式为( A. y=sin2x B. y=sin(2x+

,2)平移后,得到函数 g(x)=sin(2x+ ) ) D. y=sin(2x﹣ )



) C. y=sin(2x+

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先求出向量 的相反向量﹣ ,然后将函数 y=sin(x+ 移整理,即可得到答案. 解答: 解:∵ =(﹣ ∴﹣ =( ,﹣2) , )+2 按照向量﹣ 平移后得到,y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin2x 的图象, ,2) , )+2 按照﹣ 的方向进行平

将 y=sin(2x+

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数按向量的方向进行平移.属基础题.

9.已知不等式组

表示的平面区域恰好被圆 C: (x﹣3) +(y﹣3) =r 所覆

2

2

2

盖,则实数 k 的值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,则可知, (0,﹣6)关于(3,3)的对称点(6,12)在 x ﹣y+k=0 上,从而解出 k. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

由平面区域恰好被圆 C: (x﹣3) +(y﹣3) =r 所覆盖可知, 平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上, 又∵三角形为直角三角形, ∴(0,﹣6)关于(3,3)的对称点(6,12)在 x﹣y+k=0 上,解得 k=6, 故选 D. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 10.直线 l:y=k(x﹣ 取值范围是( ) A. {0,π) B. ( ) )与曲线 x ﹣y =1(x>0)相交于 A、B 两点,则直线 l 倾斜角的 , )∪( , ) C. [0, )∪( ,π) D. ( ,
2 2

2

2

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 首先根据题意直线 l:y=k(x﹣ )与曲线 x ﹣y =1(x>0)相交于 A、B 两点,进 一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果. 解答: 解:曲线 x ﹣y =1(x>0)的渐近线方程为:y=±x 直线 l:y=k(x﹣ )与相交于 A、B 两点 所以:直线的斜率 k>1 或 k<﹣1
2 2 2 2

由于直线的斜率存在:倾斜角 故选:B 点评: 本题考查的知识要点:直线与双曲线的关系,直线的斜率和渐近线的斜率的关系. 11.设 f(x)=|lg(x﹣1)|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,则 ab 的取值范围是( A. [1,2] B. (1,2) C. (4,+∞) D. (2,+∞) )

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(x)是含有绝对值的函数,结合函数的图象或通过去绝对值考查 f(x)的单调性, 找出 a 和 b 的关系,结合基本不等式求范围即可. 解答: 解:先画出函数 f(x)=|lg(x﹣1)|的图象,如图: ∵0<a<b,且 f(a)=f(b) , ∴1<a<2,b>2, ∴﹣lg(a﹣1)=lg(b﹣1) , ∴ ∴a=1+ ∴ab=b+ =b﹣1, , =b+ =b﹣1+ +2>2 =4,

∴ab 的取值范围是(4,+∞) , 故选:C

点评: 本题考查函数的性质、基本不等式等,去绝对值是解决本题的关键,综合性强.

12.已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且仅有一个实数

解,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,0) B. (﹣∞,0)∪(0,1) C. (0,1) D. (0,1)∪(1,+ ∞) 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用换元法设 t=f(x) ,则方程等价为 f(t)=0,作出函数 f(x)的图象,利用数 形结合即可得出此题的关键是 a? 2 取不到 1 和 0. 解答: 解:设 t=f(x) ,则 f(t)=0, 若 a<0 时,当 x≤0,f(x)=a? 2 <0. 由 f(t)=0,即 ,此时 t=1,
x x

当 t=1 得 f(x)=1,此时 x= 有唯一解,此时满足条件. 若 a=0,此时当 x≤0,f(x)=a? 2 =0,此时函数有无穷多个点,不满足条件. x 若 a>0,当 x≤0,f(x)=a? 2 ∈(0,a]. 此时 f(x)的最大值为 a, 要使若关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且仅有一个实数解, 则 a<1,此时 0<a<1, 综上实数 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪(0,1) 故选:B
x

点评: 本题主要考查函数方程根的个数的应用,利用换元法,结合数形结合是解决本题的 关键.

二、填空题(每小题 5 分,共计 20 分) 13.函数 f(x)=xe 在点(1,f(1) )处的切线的斜率是 2e . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,在导函数解析式中取 x=1 得答案. 解答: 解:∵f(x)=xe , x x ∴f′(x)=e +xe , 则 f′(1)=2e. 故答案为:2e. 点评: 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,考查了基本初等函数的 导数公式,是基础题.
x x

14.数列{

}(n∈N )的前 n 项的和 Sn=

*



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: an= = ,利用“裂项求和”即可得出.

解答: 解:an=

=



∴Sn= = = . .

…+

故答案为:

点评: 本题考查了“裂项求和”求数列的前 n 项和,属于基础题. 15.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①②③ . ①函数 y=2x ﹣3x+1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对? x,y∈R,若 x+y≠0,则 x≠1,或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x +y =1,则
2 2 3

的最大值为



④若△ABC 为钝角三角形,则 sinA<cosB. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 本题考查的知识点是判断命题真假,比较综合的考查了函数的性质,我们可以根据 对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论. 解答: 解:①函数 y=2x ﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在 函数图象上,则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则 ①正确; ②对? x,y∈R,若 x+y≠0,对应的是直线 y=﹣x 以外的点,则 x≠1,或 y≠﹣1,②正确; ③若实数 x,y 满足 x +y =1,则 2,0)连线的斜率,其最大值为
2 2 3

= ,③正确;

,可以看作是圆 x +y =1 上的点与点(﹣

2

2

④若△ABC 为钝角三角形,若 A 为锐角,B 为钝角,则 sinA>cosB,④错误. 故答案为:①②③ 点评: ③的判断中使用了数形结合的思想,是数学中的常见思想,要加深体会.

16.在△ABC 中,AC=6,BC=7,

,O 是△ABC 的内心,若 .

,其中 0≤x

≤1,0≤y≤1,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为

考点: 平面向量的综合题. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据 ,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,可得动点 P 的轨迹所覆盖的面积是

以 OA,OB 为邻边的平行四边形,S=AB×r,r 为△ABC 的内切圆的半径,计算 AB 及 r,即可 得到结论. 解答: 解:∵ ,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,

∴动点 P 的轨迹所覆盖的面积是以 OA,OB 为邻边的平行四边形 ∴S=AB×r,其中 r 为△ABC 的内切圆的半径 在△ABC 中,由余弦定理可得 cosA= ∴5AB ﹣12AB﹣65=0 ∴AB=5 ∴ ∵O 是△ABC 的内心, ∴O 到△ABC 各边的距离均为 r, ∴ ∴r= ∴S=AB×r= = .
2

故答案为:



点评: 本题考查向量知识的运用,考查余弦定理,考查三角形面积的计算,属于中档题. 三、解答题(17 题 10 分,其它各题均为 12 分,共计 70 分) 17.已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x. (1)求 f( )的值;
2 2

(2)求 f(x)的递减区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先利用三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数,进一步求出函数的值. (2)根据(1)的结论,利用整体思想求单调区间. 解答: 解: (1)f(x)=1+2sinxcosx+2cos x=sin2x+cos2x+2= 所以: +2=
2

(2)令: (k∈Z) 所以 f(x)的单调减区间是

(k∈Z)

点评: 本题考查的知识要点:三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数,进一步求出函数 的值,利用整体思想求单调区间.

18.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a=3,b=4,B= (1)求 cosB 的值; (2)求 sin2A+sinC 的值.

+A.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式,即可得到 cosB; (2)由二倍角的正弦和余弦公式,以及诱导公式,化简计算即可得到. 解答: 解(1)∵ ∴cosB=cos( ,

+A)=﹣sinA,

又 a=3,b=4,所以由正弦定理得 所以 = ,
2



所以﹣3sinB=4cosB,两边平方得 9sin B=16cos B, 2 2 又 sin B+cos B=1, 所以 所以 ,而 . ,

2

(2)∵ ∴ ∵ , ,



∴2A=2B﹣π, ∴sin2A=sin(2B﹣π)=﹣sin2B = 又 A+B+C=π, ∴ ,
2

∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos B= ∴

. .

点评: 本题考查正弦定理和运用,考查三角函数的化简和求值,注意运用二倍角公式和诱 导公式,以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题.

19.已知数列 (1)求 a2,a3; (2)若存在一个常数λ,使得数列 (3)求数列{an}通项公式. 考点: 等差关系的确定;数列的函数特性. 专题: 计算题. 分析: (1)直接根据递推关系



为等差数列,求λ值;

,以及 a1=0,可求出 a2,a3;

(2)先假设数列

为等差数列,取前三项,根据等差中项可求出λ的值,然后根

据等差数列的定义证明即可; (3)根据(2)可求出数列 的通项公式,从而求出数列{an}通项公式.

解答: 解: (1)由

.…(4 分)

(2)由数列

为等差数列知

∴解得λ=1

=



为等差数列.

…(9 分)

(3)由(2)可知:





…(13 分)

点评: 本题主要考查了等差数列的判定,以及通项公式的求解,属于中档题. 20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60°,E、F 分别是 PB、CD 的中点,且 PB=PC=PD=4. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求证:EF∥平面 PAD; (3)求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)取 BC 的中点 M,连结 AM,PM,由已知条件推导出 PA⊥BC,PA⊥CD,由此能证 明 PA⊥平面 ABCD. (2)取 PA 的中点 N,连结 EN,ND,由已知得四边形 ENDF 是平行四边形,由此能证明 EF∥ 平面 PAD. (3)取 AB 的中点 G,过 G 作 GH⊥PB 于点 H,连结 HC,GC,由已知得∠GHC 是二面角 A﹣PB ﹣C 的平面角,由此能求出二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值. 解答: (1)证明:取 BC 的中点 M,连结 AM,PM. ∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC 为正三角形,∴AM⊥BC. 又 PB=PC,∴PM⊥BC,AM∩PM=M, ∴BC⊥平面 PAM,PA? 平面 PAM,∴PA⊥BC, 同理可证 PA⊥CD, 又 BC∩CD=C,∴PA⊥平面 ABCD.…(4 分) . (2)证明:取 PA 的中点 N,连结 EN,ND. ∵PE=EB,PN=NA,∴EN∥AB,且 又 FD∥AB,且 ,∴ , .

∴四边形 ENDF 是平行四边形, ∴EF∥ND,而 EF? 平面 PAD,ND? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.…(8 分) (3)解:取 AB 的中点 G,过 G 作 GH⊥PB 于点 H,连结 HC,GC. 则 CG⊥AB,又 CG⊥PA,PA∩AB=A, ∴CG⊥平面 PAB.∴HC⊥PB, ∴∠GHC 是二面角 A﹣PB﹣C 的平面角. 在 Rt△PAB 中,AB=2,PB=4,∴ . 又 Rt△BHG∽Rt△BAP,∴ 在 Rt△HGC 中,可求得 ∴ ,∴ , , .…(12 分) . ,∴ .

故二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值为

点评: 本题考查 PA⊥平面 ABCD 的证明,考查 EF∥平面 PAD 的证明,考查二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值的求法,解题时要注意空间思维能力的培养.

21.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣

,0) , (

,0) ,并且经过点(



) .

(1)求椭圆的标准方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 经过点(0,﹣2) ,且与椭圆交于不同的两点 A、B,求△OAB 面积 的最大值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程,在求 a 时利用椭圆的定义比较简单; (2)利用弦长公式先求出|AB|,然后利用面积公式构建关于斜率 k 的函数,通过换元法利 用基本不等求△OAB 面积的最大值. 解答: 解: (1)设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义可得 . ∴ ,又 ∴b=1, , ,

故椭圆的标准方程为



(2)设直线 l 的方程为 y=kx﹣2,
2 2



,得(1+3k )x ﹣12kx+9=0,

依题意△=36k ﹣36>0, 2 ∴k >1(*) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,

2





由点到直线的距离公式得















当且仅当

时,上式取等号, .

所以,△OAB 面积的最大值为

点评: 第(1)问用待定系数法求椭圆的方程时,也可以把点代入方程求解,但这种方法计 算量大;第(2)问得到的面积表达式比较复杂,当函数表达式比较复杂时,考虑用换元法 转化成简单函数,但要注意转化后函数的定义域. 22.设函数 f(x)=x +x+aln(x+1) ,其中 a≠0. (1)若 a=﹣6,求 f(x)在[0,3]上的最值; (2)若 f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 a 的取值范围; (3)求证:不等式 (n∈N )恒成立.
* 2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最 小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 a=﹣6 时,由 f′(x)=0 得 x=2,可判断出当 x∈(0,1)时,f(x)单调 递减;当 x∈(1,3]时,f(x)单调递增,从而得到 f(x)在[0,3]上的最值. (2)要使 f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,即 f(x)在定义域内与 X 轴有三个不 同的交点,即使 f′(x)=0 在(﹣1,+∞)有两个不等实根,即 2x +3x+1+a=0 在(﹣1,+ ∞)有两个不等实根,可以利用一元二次函数根的分布,即可求 a 的范围. (3)先构造函数 h(x)=x ﹣x +ln(x+1) ,然后研究 h(x)在 [0,+∞)上的单调性,求 出函数 h(x)的最小值,从而得到 ln(x+1)>x ﹣x ,最后令 x= ,即可证得结论. 解答: 解: (1)由题意知,f(x)的定义域为(﹣1,+∞) , a=﹣6 时,由 f'(x)=2x+1﹣ = =0,得 x=1(x=﹣ 舍去) ,
2 3 3 2 2

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,3]时,f′(x)>0, 所以当 x∈(0,1)时,f(x)单调递减;当 x∈(1,3]时,f(x)单调递增, 所以 f(x)min=f(1)=2﹣6ln2,f(x)max=f(3)=12﹣12ln2, (2)由题意 f'(x)=2x+1+
2

=

=0 在(﹣1,+∞)有两个不等实根,

即 2x +3x+1+a=0 在(﹣1,+∞)有两个不等实根, 设 g(x)=2x +3x+1+a,则
2 2

,解之得 0<a< ;
3 3 2

(3)对于函数 g(x)=x ﹣ln(x+1) ,令函数 h(x)=x ﹣g(x)=x ﹣x +ln(x+1) 则 h′(x)=3x ﹣2x+
2

=



∴当 x∈[0,+∞)时,h′(x)>0 所以函数 h(x)在[0,+∞)上单调递增, 又 h(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,恒有 h(x)>h(0)=0 即 x <x +ln(x+1)恒成立. 取 x= ∈(0,+∞) ,则有 ln( +1)> ﹣ 恒成立.
2 3

即不等式

(n∈N )恒成立

*

点评: 本题以函数为载体,考查函数的最值,考查函数的单调性.第一问判断 f(x)在定 义域的单调性即可求出最小值.第二问将 f(x)在定义域内既有极大值又有极小值问题转 化为 f(x)在定义域内与 X 轴有三个不同的交点是解题的关键,第三问的关键是构造新函 数,利用导数证明不等式.



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