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数 列 测 试 题



数 列 测 试 题 班级 姓名

总分

一、选择题 1、下列命题中正确的( ) (A)若 a,b,c 是等差数列,则 log2a,log2b,log2c 是等比数列 (B)若 a,b,c 是等比数列,则 log2a,log2b,log2c 是等差数列 (C)若 a,b,c 是等差数列,则 2a,2b,2c 是等比数列 (D)若 a,b,c 是等比数列,则 2a,2b,2c 是等差数列 2、若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 a c ? ?( ) m n (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则 a12+ a22+a32+…+an2 等于( ) 1 1 (A) (2 n ? 1) 2 (B) (2 n ? 1) (C) 4 n ? 1 (D) (4 n ? 1) 3 3 4、已知数列{an}是等差数列,首项 a1<0,a2005+a2006<0,a2005· 2006<0,则 a 使前 n 项之和 Sn<0成立的最大自然数 n 是( ) A 4008 B 4009 C 4010 D 4011 5、已知数列{an}满足 a1=4, an+1 +an =4n+6(n∈N*),则 a20 =( ) A 40 B 42 C 44 D 46 6、在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项之和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列, 则 Sn=( ) A 2n+1-2 B 3n C 2n D 3 n-1 7、已知数列{an}满足:a1=1, an+1 =2an +3(n∈N*),则 a10 =( ) 10 11 12 A、2 -3 B、 2 -3 C、2 -3 D、213-3 8、已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 ) )

9、 各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn, Sn=2,S30=14,则 S40 等于 若 ( A.80 B.30 C.26 D.16

10、 设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0, 1 ? 9d . ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, k ? 若 则 a A.2 B.4 C.6 D.8

二、填空题 11、 已知等比数列 n} a1+a2=9,a1a2a3=27,则 n} {a 中, {a 的前 n 项和 Sn= __________ n 2an-1 +n-1 1 12、 数列{an}满足:a1= ,且 a = a (n∈N*,n≥2),则数列{an}的通项 n n-1 3 公式是 an =______ 1 13、已知数列{an}满足:a1=2, an+1 =2(1+n)2·n (n∈N*),则数列{an}的通项公 a 式 an =____

14、已知数列{an}满足:a1=1, an+1 - an =4n-2(n∈N*),则使 an ≥163 的正整数 n 的最小值是____ n+1 15、已知数列{an}的通项公式 an =log2(n+2) (n∈N*),其前 n 项之和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的正整数 n 的最小值是_____ 三、解答题: a 16.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ? nn 1 .证明:数列 ?bn ? 是等 2? 差数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 17、 已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明
1 1 1 ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

18. 设数列 ?an ? 满足 a0 ? a, an?1 ? can ?1 ? c, c ? N * , 其中 a , c 为实数, c ? 0 (Ⅰ) 且
1 1 求数列 ?an ? 的通项公式 (2)设 a ? , c ? ,bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的 2 2

前 n 项和 Sn ; 19.已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项 an ; (2)求 ?an ? 前 n 项和 Sn 的最大值.
*

20. 已知正数数列{ a n }满足: a1 =1,n∈ N 时,有 a n ?1 =

a

n

an ?1 ? 1 1? an

(1)、求证:数列{

1

a

}为等差数列;并求{ a n }的通项公式; 、试问 a 3 · 6 (2) a
n

是否为数列{ a n }中的项,如果是,是第几项,如果不是,说明理由; 、设 (3)

c =a · a
n n

n ?1

(n∈ N ) ,若{ c n }的前n项之和为 S n ,求 S n
1 1 ? ?1 ( n ? N * ) 。 2an?1 2an

*

21. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

(I)求证:数列 {

1 } 是等差数列; an
16 ,求 n 的取值范围 33

(II)若 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ?

1、C B

参考答案:数列测试题(4) ;2、C ;3、D ;4、C;5、B ; 6、C; 7、B;8、B;9、C

;10、

? ? 1 ?n ? n 11、 S n ? 12?1 ? ? ? ? ;12、an =2n+1 ;13、n2·n ;14、n≥10;15、n≥63 2 ? ? 2? ? ? ?
an ?1 an a an ? n-1 ? 1 ? n+1 - n-1 =1 即 bn+1-bn =1,所以 n n 2 2 2 2 an 1 数列 ?bn ? 是等差数列 (Ⅱ)由(Ⅰ) n-1 ? 0 ? (n-1) ? 1 ? n ,所以 an ? n?2n?1 所以 2 2

16、解:(Ⅰ) an?1 ? 2an ? 2n ?

Sn ? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ??? n2n-1 ? 2Sn =
? -Sn ? 20 ? 21 ? 22 ??? 2n-1-n ? 2n ?

21 +2 ? 22 +…+(n- n-1 +n ? 2n 1)2

1-2n -n ? 2n ? 1 n)2n- (- ? 1 1-2

?Sn =(n- ? 2n +1 1)
17、解:设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d. 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1.所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 an ? 2 n ? 1. (II)证明因为
1 1 1 ? n?1 ? n , n an?1 ? an a ? 2 2

所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an 2 2 2 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2

18.解: (1) ∵an?1 ?1 ? c(an ?1) 为 c 的等比数列。

∴ 当 a ? 1 时, ?an ?1? 是首项为 a ? 1 ,公比

n ∴an ?1 ? (a ?1 ) ?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 。当 a ? 1 时,an ? 1 仍满足上式。 c

∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。

(2) 由(1)得

1 bn ? n(1 ? a)c n ?1 ? n( ) n 2 1 1 1 1 12 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2( ) 2 ? ? ? n( ) n Sn ? ( ) ? 2 ( 3? ? ? n ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2

1? 1 (n ) 2

∴ Sn ? 1 ?

1 1 2 1 1 1 1 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) n 2 2 2 2 2 2 2

? a1 ? d ? 1 d 19. (Ⅰ) ?an ? 的公差为 d , 解: 设 由已知条件, , 解出 a1 ? 3 , ? ?2 . 所 ? ? a1 ? 4d ? ?5

以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ)Sn ? na1 ? 以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 20、 解、 ①

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 所 2

a

n

+2· n · n?1 - a n?1 =0, 则 a a

1

a


n

1

a

n ?1

=2 则 a n =

1 2n ? 1

② a3 · 6 = a

1 1 1 1 1 1 1 , 是第 28 项; c n = a n · n?1 = ③ ( ( a 2n ? 1 ·2n ? 1 = 2 · 2n ? 1 - 2n ? 1 ) 则 S n = 2 · 1 55 1 - ) 2n ? 1
21 解: (I)由 公差 d ? 2 ∴

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 可得: ? ? 2 所以数列 { } 是等差数列,首项 ? 1 , an a1 an?1 an 2an?1 2an 1 1 ? ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 an a1
1 2n ? 1

∴ an ?

(II)∵ an an?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∴ a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ?

1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1



n 16 解得 n ? 16 ? 2n ? 1 33

解得 n 的取值范围: {n | n ? 16, n ? N *}



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