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选修4-2 第三节



第三节 变换的不变量与矩阵的特征向量

1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义,理解特征向量的意 考 义 纲 2.会求2×2矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两 要 个不同实数的情形) 求 3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An简单的表示,并

能用它来解决问题

1.变换与矩阵的特征值、特征向量的相关概念 (1)

非零向量 OP0 被变换A变到自己的倍向量 λ 0 OP0 ,称λ 0为A 的特征值,称 OP0 为A的属于特征值λ 0的特征向量,特征向量
OP0 的非零倍向量 kOP0 也是属于同一特征值λ 0的特征向量.

(2)对于实数λ 0,非零向量X0= ?

? x0 ? ?,若满足AX0=λ 0X0,则λ ? y0 ?

0

为矩阵A的特征值,X0为矩阵A的特征向量.

2.矩阵的特征矩阵及特征多项式

矩阵
?a b? ?c d? ? ?

特征矩阵
? ? ? a ?b ? ? ?c ? ? d ? ? ?

特征多项式

2-(a+d)λ +(ad-bc) λ ___________________

3.矩阵An的计算 (1)矩阵A的特征值为λ 1,λ 2,其对应的特征向量分别是 X1,X2(X1,X2不平行),则AnX1=λ 列方程组求An. (2)若任意向量X=t1X1+t2X2,则An(t1X1+t2X2)=t1λ
n ? a 0 a ? ? n (3)特别地,若A= ,则A = ? ?0 b? ? ? ?0

1

nX

1,A

nX

n n 2=λ 2 X2,设出矩阵A 后

1

nX

1+t2λ 2

nX

2.

0? . ? bn ?

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)任意向量都可以作为特征向量.( ) ) ) )

(2)矩阵A的属于特征值λ 的特征向量是唯一的.( (3)每一个2×2矩阵都有特征值及特征向量.( (4)矩阵A的属于特征值λ 的特征向量共线.(

(5)矩阵A的特征向量分别为ξ 1,ξ 2,任意非零向量α 均可以用
ξ 1,ξ 2表示.( )

【解析】(1)错误.特征向量必须是非零向量. (2)错误.矩阵A的属于特征值λ的特征向量有无数个. (3)正确.若X0是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,则 kX0(k≠0)也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量,它们为共线 向量. (4)正确.若ξ是矩阵A的特征向量,则kξ(k≠0)都是矩阵A的 特征向量,显然是共线向量.

(5)错误.当ξ1,ξ2不共线时可以表示为α=t1ξ1+t2ξ2(其中

t1,t2为实数)的形式,当ξ1,ξ2共线时则不可以.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×

考向1 典例1

2×2矩阵的特征值与特征向量的求法
3? ? 1 ? ?????? ? ? (2014·福州模拟)已知矩阵A的逆矩阵 A ?1 ? ? 4 4 ?, 1 1? ? ??????? ? ? 2? ?2

求矩阵A的特征值. 【思路点拨】已知矩阵A的逆矩阵,根据矩阵与其逆矩阵之间 的关系可求出矩阵A,从而求出矩阵A的特征值.

【规范解答】因为A-1A=E, 所以A=(A-1)-1.
3? ? 1 ? ?????? ? ? 2???3 ? 因为 A ?1 ? ? 4 4 ?, 所以A=(A-1)-1= ? ? 2???1 ? . 1 1 ? ? ? ? ??????? ? ? 2? ?2

所以矩阵A的特征多项式为f(λ)=

? ? 2???? 3 ?2?????? ? 1

? ? 2 ? 3? ? 4.

令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值λ1=-1,λ2=4.

【拓展提升】求一个矩阵的特征值和特征向量的步骤 (1)根据条件写出此矩阵的特征多项式λ2-(a+d)λ+(ad-bc). (2)令λ2-(a+d)λ+(ad-bc)=0得特征值λ. (3)根据特征向量的定义,得二元一次方程组,求得 x,y间的关 系式,取非零向量,得之.

【变式训练】已知2×2矩阵M有特征值λ =8及对应的一个特征
1 ? ,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成 向量e1= ? ? ? ?1?

(-2,4).

(1)求矩阵M. (2)求矩阵M的另一个特征值及对应的特征向量.

?a b? , ? ?c d? 则 ? a b ??1? ? 8 ?1? ? ? 8 ? , ? c d ??1? ? 1? ? 8 ? ? ?? ? ? ? ? ? a ? b ? 8, 故? ? ?c ? d ? 8. a b ?? ?1 ? ? ?2 ? , 又? ? c d ?? 2 ? ? ? 4 ? ? ?? ? ? ? 即 ??a ? 2b ? ?2, ? ??c ? 2d ? 4.

【解析】(1)设M= ?

联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4, 故M= ? 6 2 ? .
? 4 4? ? ?

(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为(λ-6)(λ-4)-8 =λ2-10λ+16,由λ2-10λ+16=0,解得λ1=2,λ2=8. 故其另一个特征值为λ=2.
x? 设矩阵M的特征值λ=2对应的特征向量e2= ? ?y? , ? ? 6x ? 2y ? ?x? , 则Me2= ? ? ? ? 2? ? ? 4x ? 4y ? ? y?

6x ? 2y ? 2x, 所以 ? ?

所以矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系 是2x+y=0. ∴(x,y)=(t,-2t),当t≠0时,矩阵M的属于特征值2的特征向量 为? t ? .
? ?2t ? ? ?

?4x ? 4y ? 2y,

考向 2

利用特征值、特征向量求矩阵
?c d?
? 3?

3 3? 【典例2】已知矩阵A= ? ? ?,若矩阵A属于特征值6的一个
1

?,属于特征值1的一个特征向量为α = 特征向量为α 1= ? . 2 ? ? ?1? ? ?2 ? ? ? (1)求矩阵A.

(2)判断矩阵A是否可逆,若可逆求出其逆矩阵.

【思路点拨】根据特征值的定义可知Aα=λα,利用待定系数法
建立等式关系,从而可求矩阵A,再利用公式求逆矩阵.

【规范解答】(1)∵Aα1=6α1,Aα2=α2,

∴? ?

3 3 ??1? ? 1? ,得,c+d=6,① ? 6 ?? ? ? ? ? c d ??1? ? 1? ? 3 3 ?? 3 ? ? 3 ?,得,3c-2d=-2.② ? c d ?? ?2 ? ? ? ?2 ? ? ?? ? ? ?

由①②联立,解得,c=2,d=4,

∴A= ? . ? ? 2 4?

? 3 3?

(2)矩阵A的行列式Δ= ∴矩阵A可逆,
1? ? 2 ? 3 2? . ∴A-1= ? ? ? 1? ??1 ? ? 2? ? 3

3 3 2 4

=6≠0,

【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩阵
(1)利用特征值、特征向量求矩阵的依据是特征值、特征向量 的定义. (2)利用特征值、特征向量求矩阵的关键是解相应的方程组 .

【变式训练】已知2×2矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量
1? ? 1 ? ,求矩阵A. 为? ,属于特征值 3 的一个特征向量为 ? ? ? ?
?1? 【解析】设A= ? a b ? ,由题知 ? a b ?? 1 ? = ? ?1 ? , ?c d? ? c d ?? ?3 ? ? 3 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? a b ??1? ? 1? ? c d ??1? =3 ? 1?, ? ?? ? ? ?

? ?3 ?

, ?a ? 3b ? ?1 ?a ? 2, ?c ? 3d ? 3, ? b ? 1, ? ? 即 ? 解得: ? ?a ? b ? 3, ?c ? 3, ? ? ?c ? d ? 3, ?d ? 0,

?2 1? ∴A= ? . ? ? 3 0?

考向 3

利用特征值、特征向量求An

6? 【典例3】已知矩阵M= ? 7 ?6 ? ,向量ξ = ? ?5? . ? 4 ?3 ? ? ? ? ? (1)求矩阵M的特征值λ 1,λ 2和特征向量ξ 1和ξ 2.

(2)求M6ξ 的值. 【思路点拨】矩阵M,向量ξ已知,可先根据求特征值、特征 向量的步骤求λ1,λ2及ξ1,ξ2,再求M6ξ.

7 ?6 ? 的特征多项式为 【规范解答】(1)M= ? ? ?

(λ-7)(λ+3)-6×(-4),即λ2-4λ+3, 解λ2-4λ+3=0,得矩阵的特征值为λ1=1,λ2=3,
t? 当λ1=1时,得相应的特征向量ξ1= ? ? ?(t≠0); ?t?

? 4 ?3 ?

当λ2=3时,得相应的特征向量ξ2= ? 3t ? (t≠0).
? 2t ? ? ?

1? (2)由(1)不妨令t=1,则ξ1= ? ?1? , ? ? 3? ?m ? 3n ? 6, ξ 2= ? ,令ξ=mξ +nξ 解得 1 2 ? ? ? ? 2? ?m ? 2n ? 5,

解得m=3,n=1.
因此M6ξ=M6(3ξ1+ξ2)=3(λ16ξ1)+λ26ξ2= ? . ? ? 1 461 ?
? 2 190 ?

【拓展提升】 1.利用特征值,特征向量求An的步骤 第一步:求矩阵A的特征值λ1,λ2,其对应的特征向量分别是 X1,X2. 第二步:设出An,由定义知AnX1=λ1nX1,AnX2=λ2nX2. 第三步:列出方程组,解方程组得An.

2.求AnX的方法

(1)求出矩阵A的特征值λ1,λ2及其对应的特征向量X1,X2.
(2)令X=t1X1+t2X2,列方程组求出t1,t2. (3)AnX=An(t1X1+t2X2)=t1λ1nX1+t2λ2nX2.

5. 【变式训练】已知矩阵A= ? , 求 A ? ?1 1?

?1 1?

【解析】矩阵A的特征矩阵为 ? λ ? 1
? ?1 ?

?1 ? ,特征多项式为 λ ? 1? ?

(λ-1)(λ-1)-(-1)×(-1),
即λ2-2λ,解方程λ2-2λ=0,得特征值λ1=0,λ2=2, 将λ1=0代入特征矩阵得 ? ?
?1 ?1 ? , ? ? ?1 ?1 ?

?x ? y ? 0 解方程组 ? ,得y=-x. ? ?? x ? y ? 0

即(x,y)=(t,-t),t为任意实数, 当t≠0时,得到属于特征值λ1=0的特征向量
t? X 1= ? ; ? ? ?t? 同理属于特征值λ2=2的特征向量X2= ? ?(t≠0). ?t? 1? ? 1 ? ,A ? 1? ? 1? , 取t=1,得A ? ? ?1 ? ? 0 ? ?1 ? ? 1? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ?

1? 5 ? 1 ?, ∴A5 ? ? ??0 ? ? ? ?1? ? ?1 ?

① ②

A5 ? 1 ? ? 25 ? 1 ?
?1? ? ?

? 1? ? ? a b ? ,代入①②得 设 A 5= ? ?c d? ? ? ? a b ?? 1 ? 5 ? 1? ? c d ?? ?1? ? 0 ? ?1? , ? ?? ? ? ? ? a b ??1? 5 ? 1? ? c d ??1? ? 2 ?1? , ? ?? ? ? ?

5 ?a ? b? ?0? ?a ? b? ? 2 ? 即? ? ? ?,? ? ? 5 ?, ? ? ?c ? d ? ?0? ?c ? d ? ? 2 ?

?a ? b ? 0, ?c ? d ? 0, ∴? 解得a=b=c=d=16, ? 5 ?a ? b ? 2 , ?c ? d ? 25 , ?
16 16 ? ∴ A 5= ? ? ?. ?16 16 ?



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