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北京市第四中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案



北京四中 2016~2017 学年度第一学期期中测试 高三数学 期中试卷(理)
(试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A ? {1, 2},则 ? UA? A. {4} C. {3} 2.设命题 p : ?n ? N, n2 ? 2n ,则 ?

p 为 A. ?n ? N, n2 ? 2n C. ?n ? N, n2 ≤ 2n 3.为了得到函数 y ? lg B. ?n ? N, n2 ≤ 2n D. ?n ? N, n2 ? 2n B. {3, 4} D. {1,3, 4}

x?3 的图象,只需把函数 y ? lg x 的图象上所有的点 10

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度
?x ? y ≤ 0 , ? 4.若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ≥ 0 , ?

A.0 C.
3 2

B.1 D.2

5.等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21, 则 a3 ? a5 ? a7 ? A.21 C.63 B.42 D.84

6.已知 x ? R ,则“ ? ? ? ”是“ sin( x ? ? ) ? ? sin x ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且在区间 [?1, 0] 上单调递增, 设 a ? f (3) , b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是 A. a > b > c C. b > c > a B. a > c > b D. c > b > a

?? x 2 ? 2 x, x ≤ 0 8.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ≥ ax ,则实数 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0
A. (??, 0] C. [?2,1] B. (??,1] D. [?2, 0]

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.设 i 是虚数单位,则
1?i ? 1? i

. .

10.执行如图所示的框图,输出值 x ?

11. 若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? ________时, {an } 的前 n 项和最大. 12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, 则不等式 x f ( x) ? 0 的解集为______. f ( x) ? x2 ? 4x , 13.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方 体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 200 元, 侧面造价是每平方米 100 元,则该容器的最低总造 价是________元. 14.已知函数 y ? f ( x ) ,任取 t ? R ,定义集合:
At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P(t , f (t )) , Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |≤ 2} .

设 Mt , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? Mt ? mt .则 (1) 若函数 f ( x ) ? x ,则 h (1) =______;

(2)若函数 f ( x) ? sin ? x ? ,则 h (t ) 的最小正周期为______. 2 三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 15. (本题满分 13 分) 集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | 其中 m ? R . (Ⅰ)求 A ? B ; (Ⅱ)若 ( A ? B) ? C ,求实数 m 的取值范围.
1 ? 2 x ?1 ? 8} ,C ? {x | ( x ? 2)( x ? m) ? 0} , 2

?π ? ? ?

16. (本题满分 13 分) 已知 ?an ? 是等差数列,满足 a1 ? 3 , a4 ? 12 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , b4 ? 20 , 且 ?bn ? an ? 是等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

17. (本题满分 13 分)
?? ? 已知函数 f ( x) ? 4sin x cos ? x ? ? , x ? R . 6
? ?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调减区间;
? ?? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值与最小值. ? 2?

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?
1? x ? x ≥ 0 ? ,其中 a ? 0 . 1? x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.

19. (本题满分 14 分)
b? ? 设函数 f ( x) ? ? a ln x ? ? e x ,曲线 y ? f ( x) 在点 P ? 1, f ? 1? ? 处的切线方程为 x? ?
y ? e( x ? 1) ? 2 .

(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)设 g ( x) ? xe ? x ?
2 ? x ? 0 ? ,求 g ( x) 的最大值; e

(Ⅲ)证明函数 f ( x) 的图象与直线 y ? 1 没有公共点.

20. (本题满分 14 分)

??1, x ? M , 对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ? . 对于两个集合 M , N ,定义集合 ?1, x ? M

M ?N ? {x f M (x) ? f N (x) ? ?1}. 已知 A = {2, 4,6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} .
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ; (Ⅱ) 用 Card (M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数, 求 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小值; (Ⅲ)有多少个集合对 ? P, Q ? ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ?

参考答案 一.选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 题号 答案 B C C D B 二.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 9 ?i 11 13 8 1600 6 A 10 12 14 7 D 8 D
12

? ??, ?4? ? ? 4, ???
2 2
1 ? 2 x ?1 ? 8} ? ? 0, 4 ? ; 2

15. 解: (Ⅰ) A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ? ?1,2? ; B ? {x | 所以 A ? B ? ?1,2? ; (Ⅱ) A ? B ? ? 0, 4? ,

若 m ? ?2 ,则 C ? ? ?2, m? ,若 A ? B ? ? 0,4? ? C ,则 m ? 4 ; 若 m ? ?2 ,则 C ? ? ,不满足 A ? B ? ? 0,4? ? C ,舍; 若 m ? ?2 ,则 C ? ? m, ?2? ,不满足 A ? B ? ? 0,4? ? C ,舍; 综上 m ??4, ??? . 16. 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得

d?

a4 ? a1 12 ? 3 ? ? 3. 3 3

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3n, n ? N? . 设等比数列 ?bn ? an ? 的公比为 q ,由题意得

q3 ?

b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

所以 bn ? an ? ?b1 ? a1 ? qn?1 ? 2n?1 . 从而 bn ? an ? 2n?1 ? 3n ? 2n?1, n ? N? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 3n ? 2n?1, n ? N? .

Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (3 ? 20 ) ? (6 ? 21 ) ? (9 ? 22 ) ? ?? (3n ? 2n?1 )2n?1 ? (3 ? 6 ? 9 ? ? ? 3n) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 )
n(3 ? 3n) 1 ? 2n ? ? 2 1? 2
? 3 2 3 n ? n ? 2n ? 1 2 2

3 3 所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 n 2 ? n ? 2n ? 1 . 2 2

17. 解: f ( x) ? 4sin x cos ? x ?

? ?

??

? 3 ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ? 4sin x ? cos x ? sin x ? ? ? ? 6? 2 ? 2 ?
3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 6

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2(

3? ? 2? ? 2k? , k ? Z ,解得 ? k? ? x ? ? k? , 2 6 2 6 3 ? 2? 所以函数 f ( x) 的单调减区间为 [k? + , k? ? ], k ? Z . 6 3 ? ? ? 7? 1 ? (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? 2 x ? ? ,所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6 6 6 2 6

(Ⅰ)令

?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

? 于是 ?1 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ,所以 ?2 ? f ( x) ? 1 . 6 ? ? 当且仅当 x ? 时 f ( x) 取最小值 f ( x) min ? f ( ) ? ?2 ; 2 2 ? ? ? ? 当且仅当 2 x ? ? ,即 x ? 时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 . 6 2 6 6
a 2 ax 2 ? a ? 2 . ? ? ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2

18. 解:定义域为 ?0, ??? . f ?( x) ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ?( x) ?

x2 ?1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 (舍 ?1 ). ( x ? 1)(1 ? x)2
1 0 极小值
(1, ??)

x
f ?( x )
f ( x)

(0,1)

?
?

?
?

所以 a ? 1 时, f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) . (Ⅱ) f ?( x) ?

ax 2 ? a ? 2 ,∵ x ? 0, a ? 0, (ax ? 1)(1 ? x)2

∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 在 ?1, ?? ? 单调递增,所以

f ( x)的最小值为f (0) ? 1;
②当 0 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?).所 以 f ( x) 在 a a

x?

2?a 2?a 处取得最小值,注意到 f ( ) ? f (0) ? 1, ,所以不满足 a a
综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??).

19. 解: (I)函数f ( x)的定义域为(0,+?),
b ?? b? b? ? ? ?a b f ?( x) ? ? a ln x ? ? e x ? ? a ln x ? ? ? e x ?? ? ? ? 2 ? a ln x ? ? e x . x? x? x? ? ? ?x x

由题意可得f (1) ? 2, f ?(1) ? e.

故a ? 1 ,b ?

2 . e

2 (Ⅱ) g ( x) ? xe? x ? , 则g '( x) ? e ? x (1 ? x) . e

所以当x ? (0,1)时g ?( x) ? 0; 当x ? (1, ??)时,g ?( x) ? 0.故g ( x)在(0,1)单调递增, 1 在(1,+?)单调递减,从而g ( x)在(0, ?)的最大值为g (1) ? ? . e
2 (Ⅲ)由(I)知f ( x) ? e x ln x ? e x ?1 , 又 f (1) ? e ln1 ? 2e0 =2 ? 1, 于是函数 f ( x) 的 x 2 图象与直线 y ? 1 没有公共点等价于 f ( x) ? 1 。 而f ( x) ? 1等价于x ln x ? xe? x ? . e

设函数h( x) ? x ln x, 则h?( x) ? ln x ? 1.
1 1 所以当x ? (0, )时,h?( x) ? 0; 当x ? ( , ??)时,h?( x) ? 0. e e

1 1 故h( x)在(0, )单调递减,在( , ??)单调递增,从而h( x)在(0,+?)的最小值为 e e 1 1 h( ) ? ? . e e

由(Ⅱ)知 综上,当x ? 0时,h( x) ? g ( x),即f ( x) ? 1. 20.解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= -1 , A?B ? {1,6,10,16} . (Ⅱ)根据题意可知:对于集合 C , X , ① a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ? {a}) ? Card (C?X ) ? 1; ②若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ? {a}) ? Card (C?X ) ? 1. 所以 要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6, 10, 16 是否属于 X 不影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值; 集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素. 所 以 当 X 为 集 合 {1,6,10,16} 的 子 集 与 集 合 {2,4,8} 的 并 集 时 ,
Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到最小值 4.

(Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} , 所以 A?B ? B?A . 由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) . 所以 对任意元素 x , f( A?B) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) ,
f A?( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .

所以 f( A?B)?C ( x) ? f A?( B?C ) ( x) . 所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) . 所以 P?Q?? ? ? . 所以 P?Q ? ? ,即 P = Q .

因为 P, Q ? A ? B , 所以 满足题意的集合对 ? P, Q ? 的个数为 27 ? 128 .



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