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6.数列、不等式、平面向量、三角函数小综合(2)


2014 届高三文数基础训练(六)
——三角函数、平面向量、数列、不等式(2) (时间:60 分钟 满分:100)
一、选择题(共 10 题) 1.已知 a ? 3, b ? 4, a ? b ? a ? 2b ? 23, 那么 a 与 b 夹角为 A、 60 ? 2.设首项为 1 ,公比为 A. S n ? 2an ? 1 B、 90 ? C、 120?

?

?

?

? ?

??

?

?

?

?

?





D、 150? ( )

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3
B. S n ? 3an ? 2 C. S n ? 4 ? 3an

D. S n ? 3 ? 2an ( D.(1,+ ) )

3.下列选项中,使不等式 x< A.( ,-1)

1 2 < x 成立的 x 的取值范围是 x
C.(0,1)

B.(-1,0)

4.下列函数中,最小正周期是 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin(2 x ?

?
3

对称的是(



? ? x ? ) B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin( ? ) 3 6 6 2 6 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5.已知向量 OA ? (4,6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于 ?
? 3 2? (A) ? ? , ? ? 7 7?

? 2 4 ? (B) ? ? , ? ? 7 21 ?

?3 2? (C) ? ,? ? ?7 7?

4 ? ?2 (D) ? ,? ? 7 21 ? ?

6.函数 f ( x ) ? 2 cos( x ? A. [ ?

?
6

) 的一个减区间为 (

) C. [ ?

? 2

, ?] 3 3

B. [

? 4

, ?] 3 3

? 5

, ?] 6 6

D. [

? 7

, ?] 6 6
( )

2 2 7.关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且: x2 ? x1 ? 15 ,则 a ?

A.

5 2

B.

7 2

C.

15 4

D.

15 2

8.设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 9.下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 ( )

p2 : 数列?nan ?是递增数列;

p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;

A. p1 , p2

B. p3 , p4

C. p2 , p3

D. p1 , p4

10.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 式是 ( ).

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 4
C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

A. y ? cos 2 x

B. y ? 2cos2 x

?
4

)

D. y ? 2sin2 x

二、填空题(共 4 题) 11.在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC=



12.已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC = a , CA = b , AB = c , 则下列各式:① EF =

?

?

?

④ AD + BE + CF = 0 . 其中正确的等式的个数为___________.

? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? c - b ② BE = a + b ③ CF =- a + b 2 2 2 2 ? 2

? x?0 ? 13.设 D 为不等式组 ? 2 x ? y ? 0 ,表示的平面区 域,区域 D 上的点与点(1,0) 之间的距离 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
的最小值为___________.
(1 ? 1) ? 2 ? 1

14.观察下列等式: (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3
(3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

照此规律, 第 n 个等式可为________. 三、解答题(共两题) 15.. 已知在 ?ABC 中,三条边 a , b, c 所对的角分别为 A, B, C ,向量 m ? (sin A, cos A) ,
? ?

n ? (cosB, sin B) 且满足 m? n ? sin 2C 。
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C, sin B 成等比数列,且 CA? ( AB? AC) ? 18 ,求 c 的值。
? ? ?

? ?

16.设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ? a1 ? S1 ? S n , n ? N (Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和 .

?

参考答案: 1-5:CDABD 6-10:CAADB 11. 3 ; 12.2 ;13.
2 5 ; 5

14. (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2n ?1? 3 ? 5?? (2n ?1)
15.解: (1)∵ m ? (sin A, cos A) , n ? (cosB, sin B) , m? n ? sin 2C ; ∴ sin A cos B ? cos A sin B ? sin 2C ;∴ sin( A ? B) ? sin 2C ∴ sin C ? 2 sin C cos C ;∴ cos C ?
? ?
? ?

? 1 ;又 C 为 ?ABC 的内角;∴ C ? ; 3 2
2

(2)∵ sin A, sin C, sin B 成等比数列,∴ sin C ? sin A sin B ,
2 由正弦定理知: c ? ab ;又且 CA? ( AB? AC) ? 18 ,即 CA? CB ? 18 ,

?

?

?

?

?

2 ∴ ab cos C ? 18 ;∴ ab ? 36 ;∴ c ? ab ? 36 ;∴ c ? 6

16.解:

2a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1. (Ⅰ) ? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时,
2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ?

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .
(Ⅱ)

设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1
? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * .

1? qn ? a1 ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q


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