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创新课堂2013高考总复习数学 第4节 数系的扩充与复数的引入



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平面向量与复数

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第四节 数系的扩充与复数的引入

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考纲解读
1. 2. 3. 4. 5. 理解复数的基本概念. 理解复数相等的充要条件. 了解复数的代数表示法及其几何意义. 会进行复数代数形式的四则运算. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知识汇合
1.复数的概念 集合 C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如 a+bi(a,b∈R) 虚数单位 的数叫做复数,其中 i 叫做_________.全体复数所组成的集合 C 叫做复数集. 复数 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形 式,其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的______与________. 实部 虚部

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2.复数的分类 复数 z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下: 3.复数的几何意义 ?实数,当 b≠0 , ? 复数 z? z = a + bi(a , b ∈ R) 复 数 ?虚数,当 b=0 复 ?当a=0时为纯虚数?.平 面 内 的 点 ? → Z(a,b) __________ 平面向量______. OZ 如下图表示 → 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|, a2+b2 由模的定义可知|z|=|a+bi|=r=____________. 4.i 的幂运算 1 i i4n=______, i4n+1=______, -1 -i i4n+2=______,i4n+3=______.(n∈Z)

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2. 复平面的概念 建立 来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 实轴 ,y轴叫做 直角坐标系 虚轴 .实轴上 的点都表示 实数 ;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 各象限内的点都表示虚数. ; 3. 共轭复数概念 当两个复数的实部相等,虚部 互为相反 时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z

数 的共轭复数用 z 表示,即z=a+bi,则 z =

4. 复数的加法与减法 (1)复数的加、减法运算法则 (a+bi)± (c+di)= (a±c)+(b±d)i . (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足 交换律 结合律 、 ,即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +z3= z1+(z2+z3) . 5. 复数的乘法与除法 设z1=a+bi,z2=c+di, (1)复数的乘法运算法则 (ac-bd)+(bc+ad)i z1z2=(a+bi)(c+di)= ; z 交换律z1·2= z2·1 z ; (z z 结合律(z1·2)·3= z1· 2·3) z z ; 分配律z1(z2+z3)= z1z2+z1z3 . (2)复数的除法运算法则 ac+bd bc-ad (a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(c+di≠0). c +d2 c2+d2

a- bi

(a,b∈R).

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典例分析
考点一 复数的概念及几何意义 【 例 1 】 ( 2012 届 微 山 一 中 高 三 10 月 考 试 题 ) 已 知复 数 z 满 足

(1? 3 )z ? 1? i,则 | z |? i





2 A. B. ? 2 C. 2 D. 2 2 答案: A 解析:该题主要考查复数模及复数的运算 ,实际上只要两边取模即得:

2 2 | z |? 2,?| z |? . 2

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考点二 复数代数形式的运算
【例 2】 ( 2012 届山东实验中学第一次诊断考试) 若复数

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i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( ) ( A) . -2 【答案】C 【解析】因复数是分式且分母含有复数,需要分子分母同乘 以 1-2 i ,再 进 行 化 简 整 理 ,由 纯 虚 数 的 定 义 令 实 部 为 零 求 出 a 的值。 (B). 4 (C).—6 (D). 6

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考点三 复数加减法的几何意义 【例3】 如图,平行四边形OABC,顶点O、A、C分别表 示0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO表示的复数,BC表示的复数; → (2)对角线CA表示的复数.

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→ → → 解 (1)∵AO=-OA,∴AO表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC表示的复数为-3-2i. → → → → (2)∵CA=OA-OC,∴CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 【互动探究】 → → 在本例中,若P为复平面上一点且满足|OP|=|CA|,求P点的轨迹方程. → → 解析:设P点坐标为(x,y),由|OP|=|CA|, → 2 2 2 可知x +y =|CA| , → → → 又CA=OA-OC=(3+2i)-(-2+4i)=5-2i, → 2 2 2 |CA| =25+4=29,∴P点的轨迹方程为x +y =29.

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高考体验

从近两年的高考试题来看,复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的 代数运算是高考的热点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题中出现, 主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算. 预测 2013 年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点,重 点考查运算能力及转化与化归思想、方程思想.

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(2012 年高考北京卷理科 3)设 a,b∈R,“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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练习巩固
1. 已知复数 z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|=|z2|,则实数 a 的值为( A. 1 B. 1 或-1 C. -1 D. ± 或 0 1 )

解析: z1|=|z2|知 a +4=4+1, a =1, a=±1. 由| ∴ ∴ 答案:B 2. 在复平面内,复数 z=i(1+2i)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2

2

解析:由 z=i(1+2i)=-2+i 可知,复数 z 在复平面内 对应的点为(-2,1),位于第二象限. 答案:B

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3. (2011 大同市高三学情调研)巳知 i 是虚数单位,若
( 则乘积 (A) -3 (B) -15 答案:A 解 析 : (C) 3 (D) 15 ),

1 ? 7i x ? yi ? ? ?1 ? 3i 2?i







x ? ?1, y ? 3, xy ? ?3 .

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4. 若复数 Z ? (a ? 2 ) ? 3i 为纯虚数,则 log2 a 的值为( A. –i 【答案】C 【解析】解:? Z ? (a ? 2) ? 3i为纯虚数,故a ? 2 i B. 1 C. )

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1 2
D.

? log 2 a ? log 2

1+ 3i 5.复数 等于( 3-i A. i B. -i

1 ,因此选择 C 2? 2

) C.
2

3+i

D.
3-i? 3-i

3-i
=i.

1+ 3i -i + 3i i? 解析: = = 3-i 3-i 答案:A

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6. (2010· 湖北)若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z,则表 z 示复数 的点是( ) 1+i A. E B. F C. G D. H

3+i 解析:由图知,z=3+i,∴ = 1+i 1+i ? 3+i? ? 1-i? 4-2i = = =2-i. ? 1+i? ? 1-i? 2 ∴表示复数 答案:D 的点为 H.故选 D. 1+i

z

z

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?1 ? x, x ? R, 7. 2012 届四川自贡高三一诊) ( 已知 f ( x) ? ? 则f ( f (1 ? i)) 等 ?(1 ? i) x, x ? R,
于 A. 3 ? i 答案:B 解析: f ( f (1 ? i)) ? f ((1 ? i)(1 ? i)) ? f (2) ? 1 ? 2 ? 3 .
8.(2012 届景德镇市高三第一次质检)若复数 为 A. 2 【答案】A 【解析】 B. ?



) C . 0

B.3 D.—3

a?i 是纯虚数,则实数 a 的值 1 ? 2i
D. ?

1 2

C.

1 5

2 5

a ? i ? a ? i ???? ?i ? a ? ? ?a ?? ? ? ? i , a ? ?. ?? ?i ? ? ?

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9.(2012 届无锡一中高三第一学期期初试卷) 若 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是 虚 数 单 位 ) 则 ,

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z

的共轭复数

z =_____________



答案:i 解析:该题考查复数的运算及其概念,属于简单题.

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10. (2011· 北京)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( ) A. 4+8i B. 8+2i C. 2+4i D. 4+i

解析:易知 A(6,5),B(-2,3), 由中点坐标公式知 C(2,4), 所以点 C 对应的复数为 2+4i. 答案:C

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11. (2011· 浙江)对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下 列结论正确的是( ) A. |z- z |=2y C. |z- z |≥2x
2 2

B. z2=x 2+y 2 D. |z|≤|x|+|y|
2 2 2

解析:|z|= x +y ≤ x +2|xy|+y = ? |x|+|y|? =|x| +|y|,故 D 正确,易知 A、B、C 错误. 答案:D



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