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福建省2016届高中毕业班4月质量检查考试数学(文)试题(扫描版)


2016 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题答案及评分参考 2016.4
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果 后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)C (2)D (7)B (8)D (3)A (9)C (4)C (10)B (5)D (11)A (6)A (12)D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分. (13) 8 (14) 7 (15) 2 ? 1 (16) ? sin ?x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函 数与方程思想、化归与转化思想等.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,
2 ? ?a q ? 2a1q ? 0, 依题意,得 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 ? ?a1 ? a1q ? a1q ? 7,

? a ? 1, 解得 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? q ? 2,

所以 an ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,
n n 2 3 n ? n ?1 ,所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ,① · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 an 2 2 2 2

1 1 2 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n ,② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得, Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 2 2 2 2
1 2n ? n ? 1 2n 1? 2 1?

?2?
所以 Tn ? 4 ?

n?2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 2n

n?2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2n ?1

18.本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等基础知识,考查数据处理能力、 运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解:(Ⅰ)依题意可得,使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的众数为 55(分钟). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 使用 A 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的平均数:
15 ? 0.06 ? 25 ? 0.34 ? 35 ? 0.12 ? 45 ? 0.04 ? 55 ? 0.4 ? 65 ? 0.04 ? 40 (分钟).

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)(ⅰ)使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家的比例估计值为 0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故可认为使用 B 款订餐软件“平均送达时间”不超过 40 分钟的商家达到 75%. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
(ⅱ)使用 B 款订餐软件的 50 个商家的 “平均送达时间”的平均数:

15 ? 0.04 ? 25 ? 0.2 ? 35 ? 0.56 ? 45 ? 0.14 ? 55 ? 0.04 ? 65 ? 0.02 ? 35 ? 40 ,

所以选 B 款订餐软件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 注:本小题答案开放,只要能够按照统计知识合理作答,即给满分。如以下回答也符 合要求。 根据样本估计总体的思想可知,使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”在 30 分钟 内的概率为 0.4, 使用 B 款订餐软件的商家的“平均送达时间” 在 30 分钟内的概率为 0.24, 所以可选 A 款订餐软件. 19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识,考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)如图,取 AD 中点 O ,连结 EO , BO . ∵ EA ? ED ,∴ EO ? AD .……………………1 分 ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴ AB ? AD , 又 ?DAB ? 60 ,∴△ ABD 为等边三角形,∴ BA ? BD ,
?

F E D O A B C

∴ BO ? AD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∵ BO ? EO ? O , BO ? 平面BEO , EO ? 平面BEO ,∴ AD ? 平面BEO , · · · · 5分 ∵ BE ? 平面BEO ,∴ AD ? BE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅱ)在 △ EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 , ∴ EO ?

AE2 ? AO2 ? 2 ,

∵ △ABD 为等边三角形,∴ AB ? BD ? AD ? 2 ,∴ BO ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · 7分 又 BE ? 5 ,∴ EO 2 ? OB 2 ? BE 2 ,∴ EO ? OB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ∵ AD ? OB ? O , AD ? 平面ABCD , BO ? 平面ABCD , ∴ EO ? 平面 ABCD .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 又 S△ABD ?

1 1 ? AD ? OB ? ? 2 ? 3 ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 2

∴ S△BCD ? S△ABD ? 3 . 又∵ EF ∥ AC , ∴ VF ? BCD ? VE ? BCD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

1 1 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? S△BCD ? EO ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3
解法二:(Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

F

(Ⅱ)在△ EAD 中, EA ? ED ? 3 , AD ? 2 , ∴ EO ?

E D O A B C

AE2 ? AO2 ? 2 ,

∵ △ABD 为等边三角形,

∴ AB ? BD ? AD ? 2 ,∴ BO ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 又 BE ? 5 ,∴ EO 2 ? OB 2 ? BE 2 ,∴ EO ? OB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 S△EOB ?

1 1 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? EO ? OB ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2

又 S△BCD ? S△ABD , EF ∥ AC , AD ? 平面EOB , ∴ VF ?BCD ? VE ?BCD ? VE ? ABD · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

1 1 6 6 ? S△EOB ? AD ? ? ?2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 3 3 2 3
20. 本小题考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 12 分.

MA = 解法一:(Ⅰ)设点 M ? x, y ? ,依题意, MB

? x ? 4? ? y2 2 ? x ? 1? ? y 2
2

? 2,· · · · · · · · · · · · · · · · 3分

化简得 x2 ? y 2 ? 4 ,即曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 则直线 PE 的方程为 y ? y0 ? x ? 2? , 由?
A E P T S y

B

F

x

O

? ? y ? y0 ? x ? 2 ? , 2 2 2 2 得 ? y0 ? 1? x ? 4 y0 x ? 4 y0 ? 4 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 x ? y ? 4 ? ?

2 2 4y 4 y0 ?4 2 ? 2 y0 所以 ?2 x1 ? 2 ,即 x1 ? 2 , y1 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1

直线 PF 的方程为 y ? ?

y0 ? x ? 2? , 3

y0 ? ? y ? ? ? x ? 2? , 2 2 2 2 由? 得 ? y0 ? 9 ? x ? 4 y0 x ? 4 y0 ? 36 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
所以 2 x2 ?
2 2 12 y 4 y0 ? 36 2 y0 ? 18 ,即 , y2 ? 2 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 x ? 2 2 2 y0 ? 9 y0 ? 9 y0 ? 9

所以 k AS

4 y0 2 y0 ?1 2y y ? 1 ? ? 2 0 , 2 x1 ? 4 2 ? 2 y0 y0 ? 3 ?4 2 y0 ? 1
S A E B

y

P T

k AT

12 y0 2 y0 ?9 2y y2 ? ? 2 ? 2 0 , x2 ? 4 2 y0 ? 18 y0 ? 3 ?4 2 y0 ? 9

F

x

O

所以 k AS ? kAT ,所以 A, S , T 三点共线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x ? y ? 4 ,
2 2

令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? .

设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 则直线 PE 的方程为 y ? y0 x ? 2 y0 , 由?

? y ? y0 x ? 2 y0 , ?x ? y ? 4
2 2

2 2 消去 x 得 y0 ? 1 y ? 4 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

2 4 y0 2 ? 2 y0 所以 y1 ? 2 , x1 ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 y0 ? 1 y0 ? 1

直线 PF 的方程为 y ? ?

y0 2 x ? y0 , 3 3

y0 2 ? ? y ? ? x ? y0 , 2 2 由? 得 ? y0 ? 9 ? y ? 12 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?
所以 y2 ?
2 12 y0 2 y0 ? 18 , .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 x ? 2 2 2 y0 ? 9 y0 ? 9

以下同解法一. 解法三:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 令 y ? 0 得 x ? ?2 ,不妨设 E ? ?2,0? , F ? 2,0? . 设 P ? ?1, y0 ? , S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ? , 当 y0 ? 0 时, S ? ?2,0? , T ? 2,0? ,此时 A, S , T 三点共线. 当 y0 ? 0 时,则直线 PE 的方程为 y ? y0 x ? 2 y0 , 由?
A E P T S y

B

F

x

O

? y ? y0 x ? 2 y0 ,
2 2 ?x ? y ? 4

2 2 消去 x 得 y0 ? 1 y ? 4 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?

?

所以 y1 ?

4 y0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 y0 ?1
y0 2 x ? y0 , 3 3

直线 PF 的方程为 y ? ?

y0 2 ? ? y ? ? x ? y0 , 2 2 由? 消去 x 得 ? y0 ? 9 ? y ? 12 y0 y ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 3 ? x2 ? y 2 ? 4 ?

所以 y2 ?

12 y0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 y0 ?9
? 3y ? ?y ? y1 ? ? 2 ? 6 ? ? y2 ? 1 ? 2 ? y0 y ? x ? 4 ? ? y2 ? x1 ? 4 ? y y ? ? y0 ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1 2 x1 ? 4 x2 ? 4 ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ? ? x1 ? 4?? x2 ? 4?

k AS ? k AT

?

y1 ? ?3 y2 ? 6 y0 ? ? y2 ? y1 ? 2 y0 ? ?4 y1 y2 ? 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? y0 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? y0 ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ?
2 2 2 24 y0 24 y0 192 y0 ? ? , 2 2 2 2 y0 ? 1 y0 ? 9 ? y0 ? 1?? y0 ? 9?

因为 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ?

?4 y1 y2 ? ?4 ?

2 4 y0 12 y0 192 y0 ? ? ? , 2 2 y0 ? 1 y0 ?9 ? y02 ? 1?? y02 ? 9 ?

所以 ?4 y1 y2 ? 6 y0 y1 ? 2 y0 y2 ? 0 . 所以 k AS ? kAT ,所以 A, S , T 三点共线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 21.本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算 求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解:(Ⅰ)因为 f ?( x) ? ? x ? 1? ex ?

a , x ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x

依题意得 f ?(1) ? 0 ,即 2e ? a ? 0 ,解得 a ? 2e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 f ?( x) ? ? x ? 1? e x ?

2e ? ? ? 单调递增且 f ?(1) ? 0 , ,显然 f ?( x) 在 ? 0, x

故当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,1? ,递增区间为 ?1, ?? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)①当 b≤0 时,由(Ⅰ)知,当 x ? 1 时, f ? x ? 取得最小值 e . 又 b x2 ? 2x ? 2 的最大值为 b ,故 f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ②当 0 ? b≤e 时,设 g ( x) ? xex ? 2eln x ? b x2 ? 2x ? 2 , 所以 g ?( x) ? ? x ? 1? e x ? 令 h( x) ? ? x ? 1? e x ?

?

?

?

?

?

?

2e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? 2b ? x ? 1? , · x

2e ? 2b ? x ? 1? , x ? 0 , x 2e 则 h?( x) ? ? x ? 2? e x ? 2 ? 2b , x

当 x ? ? 0,1? 时,

2e ? 2b≥0 , ? x ? 2? e x ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ,…………………………….9 分 x2

当 x ? ?1, ?? ? 时, ? x ? 2? e x ? 2b ? 0 ,

2e ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ,……….……………….10 分 x2

所以当 x ? ? 0, ?? ? 时, h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 又 h ?1? ? 0 ,所以当 x ? ? 0,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 . 所以 g ? x ? 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? 1 时, g ? x ? 取得最小值 g (1) ? e ? b≥0 , 所以 g ? x ?≥0 ,即 f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 综上,当 b≤e 时, f ? x ?≥b x2 ? 2x ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一.
x 2 (Ⅱ)设 g ? x ? ? xe ? 2e ln x ? b x ? 2 x ? 2 .

?

?

?

?

?

?

(1) 当 b ? e 时, g ' ? x ? ? ? x ? 1? e ? 2e ? 2e ? x ?
x

? ?

1? ?, x?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
x ①当 0 ? x≤1 时, ? x ? 1? e ≤2e, x ? ≥2 ,所以 g ' ? x ?≤0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

1 x

x 2 所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,所以 g ? x ?≥g ?1? ? 0 ,即 xe ? 2e ln x≥e x ? 2 x ? 2 .

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ②当 x ? 1 时,
x 令 M ( x) ? g ?( x) ? ? x ? 1? e ? 2e ? 2e ? x ?

? ?

1? ?, x?

则 M ? ? x ? ? ? x ? 2? e ?
x

2e ? 2e ? 3e ? 2e ? 0 , x2

所以 M ( x ) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 即 g? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ' ? x ? ? g ' ?1? ? 0 ,
x 2 所以 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 xe ? 2e ln x ? e x ? 2 x ? 2 . 2 故当 x ? 0 时, f ? x ?≥e x ? 2 x ? 2 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

?

?

?

?

2 (2) 当 b ? e 时,因为 x ? 2 x ? 2 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 , 2 2 2 所以 e x ? 2 x ? 2 ? b x ? 2 x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

?

?

?

?

? ? 综合(1)(2),当 b≤e 时, f ? x ?≥b ? x ? 2 x ? 2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分
2 2 由(1)知, f ? x ?≥e x ? 2 x ? 2 ,所以 f ? x ? ? b x ? 2 x ? 2 . 2

?

?

解法三:(Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)设 g ? x ? ? ex ? ex ,则 g ' ? x ? ? ex ? e , 令 g ' ? x ? ? ex ? e = 0 ,得 x ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 当 x ? ? 0,1? 时, g ' ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, g ' ? x ? ? 0 ; 所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 所以 g ? x ?≥g ?1? ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 所以 e ≥ex ,所以 x≥ ln ex ,即 ln x≤x ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分
x
2 因为 b≤e, x ? 2 x ? 2 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 , x ? 0 , 2

x 2 2 2 所以 f ? x ? ? xe ? 2e ln x≥ex ? 2e ? x ? 1? ? e x ? 2 x ? 2 ≥b x ? 2 x ? 2 .

?

?

?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分,作答时请写清题号. (22)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分 10 分. 解法一:(Ⅰ)连结 DE ,因为 D, C , E , G 四点共圆,则 ?ADE ? ?ACG . · · · · · · · 2分 又因为 AD, BE 为△ ABC 的两条中线, 所以 D, E 分别是 BC , AC 的中点,故 DE ∥ AB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 ?BAD ? ?ADE , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 从而 ?BAD ? ?ACG . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)因为 G 为 AD 与 BE 的交点, 故 G 为△ ABC 的重心,延长 CG 交 AB 于 F , 则 F 为 AB 的中点,且 CG ? 2GF .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 在△ AFC 与△ GFA 中,因为 ?FAG ? ?FCA , ?AFG ? ?CFA ,
B F G E A

D

C

所以△ AFG ∽△ CFA , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以

FA FG ,即 FA2 ? FG ? FC .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? FC FA 1 1 3 AB , FG ? GC , FC ? GC , 2 2 2

因为 FA ? 所以

1 3 AB2 ? GC 2 ,即 AB ? 3GC , 4 4

又 GC ? 1 ,所以 AB ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, ?BAD ? ?ACG , 因为 D, C , E , G 四点共圆,所以 ?ADB ? ?CEG , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 △ABD ∽ △CGE ,所以

AB AD ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 CG CE

由割线定理, AG ? AD ? AE ? AC , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 又因为 AD, BE 是 △ABC 的中线,所以 G 是 △ABC 的重心,

2 AD ,又 AC =2 AE =2 EC , 3 2 AD 2 2 ? 3, 所以 AD =2 EC ,所以 3 CE AB ? 3 ,因为 CG ? 1 ,所以 AB ? 3 .· 所以 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 CG
所以 AG ? (23)选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解法一:(Ⅰ)由 ?

? x ? 3cos ? , x2 ? y 2 ? 1, 消去参数 ? ,得 9 ? y ? sin ?

x2 ? y 2 ? 1. · 即 C 的普通方程为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 9
由 ? sin ? ? ? 将?

? ?

?? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? ? 2 ,得 ? sin ? ? ? cos? ? 2 ,(*) · 4?

? x ? ? cos ? , 代入(*),化简得 y ? x ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? y ? ? sin ?
? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4

所以直线 l 的倾斜角为

? ? x ? t cos , ? ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,点 P ? 0,2? 在直线 l 上, 可设直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数), ? y ? 2 ? t sin ? ? ? 4

? 2 t, ?x ? ? 2 即? ( t 为参数), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ?y ? 2? 2 t ? ? 2
代入

x2 ? y 2 ? 1并化简,得 5t 2 ? 18 2t ? 27 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 9

? ? 18 2

?

?

2

? 4 ? 5 ? 27 ? 108 ? 0 .

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? ?

18 27 2 ? 0, t1t2 ? ? 0 ,所以 t1 ? 0, t2 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 5 18 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 5

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ?

解法二:(Ⅰ)同解法一. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 . 由?

? y ? x ? 2,
2 2 ?x ? 9 y ? 9

消去 y 得 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
2

于是 ? ? 36 ? 4 ?10 ? 27 ? 216 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

27 18 ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 . ? 0, x1 x2 ? 10 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故 PA ? PB ? 1 ? 1 | x1 ? 0 | ? 1 ? 1 | x2 ? 0 |?
2 2

2 | x1 ? x2 |?

18 2 . 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 (24)选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证 能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解法一: (Ⅰ)(ⅰ) 当 x≤ ? 1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 ,

此时原不等式的解是 x ? ?1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (ⅱ)当 ?1 ? x ? ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 2

此时原不等式无解; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (ⅲ)当 x≥ ?

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 2 此时原不等式的解是 x ? 1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
综上, M ? x x ? ?1或x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

?

?

(Ⅱ)因为 f ? ab ? ? ab ? 1 ? ? ab ? b ? ? ?1 ? b ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ≥ ab ? b ? 1? b · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? b a ?1 ? 1? b . · 因为 a, b ? M ,所以 b ? 1, a ? 1 ? 0 , 所以 f ? ab? ? a ?1 ? 1? b ,即 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? . · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f ? a ? ? f ? ?b ? ? a ? 1 ? ?b ? 1 ≤ a ? 1 ? ? ?b ? 1? ? a ? b , · · · · · · 7分 所以,要证 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? ,只需证 ab ?1 ? a ? b , 即证 ab ? 1 ? a ? b , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 即证 a b ? 2ab ? 1 ? a ? 2ab ? b ,
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 即证 a b ? a ? b ? 1 ? 0 ,即证 a ? 1 b ? 1 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 2

?

?? ?

?

2 2 2 2 因为 a, b ? M ,所以 a ? 1, b ? 1 ,所以 a ? 1 b ? 1 ? 0 成立,

??

?

所以原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分


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