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数列和三角函数



数列和三角函数
1 丶数列和三角函数的重要知识点
① 数列 1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用?
2.掌握常见的求数列通项的一般方法? 3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质?并能解决简单的实际问题. 4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. ②三角函数

1. 2. 3. 4. 5.

r />
三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) 三角函数线 三角函数的定义域 同角三角函数的基本关系式 诱导公式: “奇变偶不变,符号看象限” ① 基本关系 ② 角与角之间的互换 6.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质等

2 丶数列和三角函数的一些公式和性质
① 数列

㈠等差数列通项公式等差数列前 n 项和公式
⑴ an ? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d
Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d Sn ? na1 ? d S n ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2 2 , ,

⑵等差数列中的重要性质: p ? q ? m ? n ? 2s ? ap ? aq ? am ? an ? 2as
等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差数列。 ㈡等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. (1) an ? a1qn ?1 ? amq n ? m ;
( q ? 1) ?na1 ? . Sn ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?

(2)等比数列中的重要性质: p ? q ? m ? n ? 2s ? ap ? aq ? am ? an ? as 2
等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、 S4m - S3m、??仍为等比数列。 ②三角函数

⑴1.任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意 一 (异于原点) , 它与原点的距离是 r ? x 2 ? y 2 ? 0 , 那么 sin ? ?
tan ?? y ? ,x ? x 0 ?.

y , r

cos ? ?

x , r

2:三角函数在各象限的符号 3.同角三角函数的基本关系式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? = 4.正弦、余弦的诱导公式 5.和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
王新敞
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sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角公式) ?? ?? ? ? 特别地: sin ? ? cos? ? 2 sin?? ? ? sin ? ? 3 cos? ? 2 sin ?? ? ? 4? 3? ? ? 6.二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? (变形 2sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ,cos2 ? ? 1 ? cos 2? ) 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
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⑵⒈研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质, 1:函数 y = Asin??x + ? ? 是奇函数 ? ? ? k? ?k ? Z ? . 函数 y = Asin??x + ? ? 是偶函数 ? ? ? k? ?

?
2

?k ? Z ? . ?k ? Z ? .

函数 y = Acos??x + ? ? 是奇函数 ? ? ? k? ? 函数 y = Acos??x + ? ? 是偶函数 ? ? ? k?

?
2

?k ? Z?
?
2 (k ? Z ) 后求出 x 即可。

2 求 y ? A sin(? x ? ? ) 的对称轴的方法: 先令 ?x ? ? ? k? ?

3.三角函数的周期公式: 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) 的周 期 T ? 2? ;
|? |

函数 y ? tan(? x ? ? ) 的周期 T ? ⑶正弦定理 :

? |? |
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a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C ⑷余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ⑸面积定理 1 1 1 (1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高) 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2 ⑹三角形内角和定理 C ? A? B 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ? ? ? 2 2 2 三、数列与函数的解题方法掌握
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1.数列 数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式;(2) 通过适当变形
(构造)将未知数列转化为等差、等比数列,再用公式求和;(3) 根据数列特征, 采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和;(4) 通过分组、拆项、裂项 等手段分别求和;(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题 (如 n(n-1)<n2<n(n+1),能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及 恒成立问题. 2.数列是特殊的函数,这部分内容中蕴含的数学思想方法有:函数与方程思 想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等,高考题中所涉及的知识综 合性很强,既有较繁的运算又有一定的技巧,在解题时要注意从整体去把握 2. 三角函数 三角函数问题的题型主要有:三角函数式的化简、求值、证明,方法诸多, 如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的顺用、逆用、变用等,解题中 心是“变角” 、 “变名” 、 “变式” ,基本思路是从“角” “名” “形”入手,根据问 题的目标,对其变换或通过对“角” “名” “形”的变换,确立变形目标,使问题 向有利解决的方向转化。

㈠、三角函数式的化简
化简三角函数的基本方法:统一角、统一名 通过观察“角” “名” “次幂” , 找出突破口,利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。

㈡、 三角函数的求值。 ⑴、给角求值。
利用和、差公式变形,使其出现特殊角,若非特殊角,则可能出现正负抵 消或约分的情况,从而求出其值。一般来说,三角式的化简,应首先考虑角, 其次是函数名,再次是代数上的结构特点。本题也可用倍角公式,降幂求解。 ⑵给值求值。 已知某三角函数值、求其它三角函数的值。一般先化简,再求值。主要方法 有:三角变换法、消元法、解方程法、逆用公式等

㈢、三角恒等式的证明
三角恒等式的证明可分为条件恒等式和绝对恒等式,它的证明方法灵活多 变。常用思路有: (1)根据式子特征,化繁为简、左右归一,使等式两边化异 为同。 (2)条件恒等式,注意观察已知条件与求证的等式间的关系,选择适当 途径。常用方法有:代入法、消元法、分析法、综合法等。

三丶数列和三角函数的例题 1 丶数列 ① 已知数列{an}的通项公式为 an=3n+2n+(2n-1),求前 n 项和。 解 : Sn=a1+a2+ ? +an=(31+21+1)+(32+22+3)+ ? +[3n+2n+(2n-1)]=(31+32+ ? +3n)+(21+22+ ? 2n)++[1+3+ ?
3(1 ? 3n ) 2(1 ? 2 n ) n(1 ? 2n ? 1) 3n?1 7 ? ? ? ? 2 n?1 ? n 2 ? 1? 2 2 2 2 +(2n-1)]= 1 ? 3

② 设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1) an?1 -na n +an+1 an=0(n=1, 2,3,?) ,则它的通项公式是 an=__________ 解:所给条件式即(a n+1 a n)[(n+1)a n+1-n a n]=0,由于a n+1 a n>0,所以(n +1)a n+1= na n,
1 又a 1=1,故na n=(n-1)a n-1=(n-2)a n-2=?=2a 2= a 1=1,∴a n= n .

2

2

2 丶三角函数 ①化简 2sin 2 ? sin 2 ? ? 2cos2 ? cos2 ? ? cos 2? cos 2? 分析 本题中出现的角的形式多,故应先变角。 解:原式= 2sin 2 ? sin2 ? ? 2cos2 ? cos2 ? ? (2cos2 ? ?1)(2cos2 ? ?1) = 2sin 2 ? sin 2 ? ? 2cos2 ? cos2 ? ? 2cos2 ? ? 2cos2 ? ?1 = 2sin 2 ? sin 2 ? ? 2cos2 ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 = 2sin 2 ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 = 2sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 =1. [点评] 化简三角函数的基本方法:统一角、统一名 通过观察“角” “名” “次幂” ,找出突破口,利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。 ②已知

? 3 cos( ? ? ) ? , 4 5

17? 7? sin 2? ? 2sin 2 ? ?? ? , 求 的值。 12 4 1 ? tan ?

解:原式=
?

sin ? cos ? ? 2sin 2 ? 2sin ? (cos ? ? sin ? ) = 1 ? tan ? 1 ? tan ?

? ? ? 2 ? sin 2? ? ? cos( ? 2? ) ? ? cos[2( ? ? )] ? ?[2 cos 2 ( ? ? ) ? 1] ? 。 2 4 4 25

sin 2? (1 ? tan ? ) 。 1 ? tan ?



tan ? tan ? 1 ? tan ? ? 4 ? ? tan( ? ? ) 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan ? 4 4

?

, 由

17? 7? ?? ? 12 4

,

5? ? ? ? ? ? 2? , 3 4
所以

? 3 4 sin( ? ? ) ? ? 1 ? ( )2 ? ? . 4 5 5



? 4 t a n ( ?? ? ) ? ,故 原式 4 3

?

7 4 28 (? ) ? ? 。 25 3 75
[点评]: “变角”是解三角函数问题一种常用手段。常用方法:将已知角拆(合)成

已知角、特殊角或与已知角有互余、互补关系的角。如

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

? ? ? ? ? ? ? , 75? ? 45? ? 30? ,70? ? 60? ? 10? 。



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