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2016届瑞安五中高二导学案直线与平面垂直的性质



§ 2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、储备
(一)学习目标 1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用; 2. 了解反证法证题的思路和步骤; 3. 掌握平行与垂直关系的转化. (二)自主导航 (预习教材 P70~ P71,找出疑惑之处) 复习 1:①什么是二面角?什么是二面角的平面角? ②当两个平面所成的二面角____________时,这两个平面互

相垂直. 复习 2:两个平面垂直的判定定理: 图形语言:

符号语言

复习 3:①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________; ②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.

二、导学
探究:直线与平面垂直的性质定理 问题 1:操场旗杆外围竖着的栏杆,它们与地面的位置关系如何?你感觉它们之间的位置关 系又是什么样的?

问题 2:如图 12-1,长方体的四条棱 AA? 、 BB? 、 CC ? 和 DD? 与底面 ABCD 是什么关系?它们之间又是什么关系? .

反思:由以上两个问题,你得出了什么结论?自己能试着证明吗?和其它同学讨论讨论,看 看难在哪里?

思考: 如图,已知直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,求证: a ∥ b .

例 1 判断下列命题是否正确,并说明理由. ⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线,则另一条也垂直于这条直线; ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面; ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面,则另一个也垂直与这个平面; ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
C

例 2. 如图, CA ? ? 于点 A , CB ? ? 于点 B , ? ? ? l , a ? ? ,且 a ? AB ,求证: a ∥ l .

?

B A
l

a
?

例 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 .

(1)求证: A1C⊥B1D1 ;

(2)若 M、N 分别为 B1D1 与 C1D 上的点, 且 MN⊥B1D1 , MN⊥C1D , 求证: MN//A1C . A B A1
=

D

C N M
=

D1
=

B1
=

C1
=

思考:除了刚才的结论,你还能结合实际情况和定理,得到其他的直线与平面垂直的性质 你能把它们用图形表示出来吗?

三、追踪
1. 下列四个命题中错误的是( ). A. a ? ? , b ? ? ? a ∥ b B. a ? ? , a ∥ b ? b ? ? C. a ? ? , b ∥ ? , ? a ? b D. a ? ? , a ? b ? b ∥ ? 2. 平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是( A.平面 ABC 必平行于 ? B.平面 ABC 必垂直于 ? C.平面 ABC 必与 ? 相交 D.存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内 3. 已知平面 ? 和平面 ? 相交, a 是 ? 内一条直线,则有( ). A.在 ? 内必存在与 a 平行的直线 B.在 ? 内必存在与 a 垂直的直线 C.在 ? 内不存在与 a 平行的直线 D.在 ? 内不一定存在与 a 垂直的直线 4. 直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 ? ∥ ? ,则 a ___ b .

).

5. 设直线 a , b 分别在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中两个不同的平面内, 欲使 a // b ,a , b 应 满足________________________.(至少写出 2 个不同答案) 6. 已知 a ? ? , a ? b , b ? ? ,则 a 与平面 ? 的位置关系是 . 7. 如图, AB 是异面直线 a , b 的公垂线(与 a , b 都垂直相交的直线) ,a ?? ,b? ? , ? ? ? c, 求证: AB ∥ c .

c

a

A
?

?
b

B

8. 如图 12-5,在三棱锥中, PA ? PB , AB ? BC ,若 M 是 PC 的中点,试确定 AB 上点 N 的位置,使得 MN ? AB .

图 12-5

9. 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC, BC ? BC1 , AB ? BC1 , E , F , G 分别为线段

AC1 , A1C1 , BB1 的中点,求证:
(1)平面 ABC ? 平面 ABC1 ; (2) EF // 面 BCC1 B1 ; (3) GF ? 平面 AB1C1 F E B C G B1 C1 A A1

§ 2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、储备
(一)学习目标 1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用; 2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想. (二)自主导航 (预习教材 P71~ P72,找出疑惑之处) 复习 1:直线与平面垂直的性质定理

复习 2:直线与平面垂直的判定定理

复习 3:两个平面垂直的定义是什么?

二、导学
※ 探索新知 探究:平面与平面垂直的性质 问题 1: 如图 13-1, 黑板所在平面与地面所在平面垂直, 在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?
黑板

地面

图 13-1 问题 2:如图 13-2,在长方体中,面 A?ADD? 与面 ABCD 垂直, AD 是其交线,则直线 AA? 与 AD 关系如何?直线 AA? 与面 ABCD 呢?

图 13-2 反思:以上两个问题有什么共性?你得出了什么结论?请用图形和符号语言把它描述在下 面,并试着证明这个结论.

反思:这个结论实现了什么关系的转化?

※ 典型例题 例 1 如图 13-3,已知平面 ? , ? , ? ? ? ,直线 a 满足 a ? ? , a ? ? ,求证: a ∥面 ? .

图 13-3

例 2 如图 13-4,四棱锥 P ? ABCD 的底面是个矩形, AB ? 2, BC ? 2 ,侧面 PAB 是等边三 角形,且侧面 PAB 垂直于底面 ABCD . ⑴证明:侧面 PAB ? 侧面 PBC ; ⑵求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角.

P

A B
图 13-4
C

D

※ 动手试试 练 1. 平面 ? ? 平面 ? , P ? ? ,过点 P 作平面 ? 的垂线 a ,求证: a ? ? .

练 2. 如图 13-5,平面 ? ? 平面 ? , ? a ∥ ? , a ? AB ,求证: a ? ? .
?

? ? AB ,

B A
图 13-5

a
?

三、追踪
1. 下列命题错误的是( ). A. ? ? ? ? ? 内所有直线都垂直于 ? B. ? ? ? ? ? 内一定存在直线平行于 ? C. ? 不垂直 ? ? ? 内不存在直线垂直 ? D. ? 不垂直 ? ? ? 内一定存在直线平行于 ? 2. 已知 ? ? ? ,下列命题正确个数有( ). ① ? 内的已知直线必垂直于? 内的任意直线 ② ? 内的已知直线必垂直于? 内的无数条直线 ③ ? 内的任一直线必垂直于 ? A.3 B.2 C.1 D.0 3. 已知 ? ? ? , a ? ? , b ? ? , b 是 ? 的斜线, a ? b ,则 a 与 ? 的位置关系是( A. a ∥ ? B. a 与 ? 相交不垂直 C. a ? ? D.不能确定

).

4. 若平面 ? ? 平面? ,直线 a ? ? ,则 a 与 ? 的位置关系为_____________________. 5. 直线 m 、n 和平面 ? 、? 满足 m ? n ,m ? ? , ? ? ? , 则 n 和 ? 的位置关系为__________. 6. 如图 13-6,平面 ? ? 平面 ? , 平面? ? 平面? , ? ? ? l ,求证: l ? ? .

图 13-6

7. 如图 13-7, ? ? ? , CD ? ? , CD ? AB , CE , EF ? ? , ?FEC ? 90 °, 求证:面 EFD ? 面 DCE .
?

D
C

A
?

F
E

B

图 13-7

8. 如图 l,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=600,E 是 BC 的中点.如图 2, 将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连结 BC,BD,F 是 CD 的中点, P 是棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥BD; ’ A D A P D F B E 图1 C E 图2 C B

(2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC? 并说明理由.



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