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宁夏石嘴山市第三中学2017届高三上学期第三次适应性(期中)考试数学(理)试题 Word版含答案



石嘴山三中 2017 届高三年级第三次适应性考试 数学(理科)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每 小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. )
2 1.集合 A ? x ? z x ? 3x ? 0 , B ? x ln x ? 1 ,则A I B ?

?

?

>?

?

A. ?1, 2? B. ?1, 2,3?

C. ?0,1, 2? D.

?2,3?
1 ? ai (a ? R) 对应的点在直线 x ? y ? 1 , 则a ? 1? i

2.已知在复平面内 i 是虚数单位,复数 z ?

A. ?2 B. ?1
3.下列命题中,是真命题的是

C. 1 D. 2

A. ?x0 ? R ,使得 e x0 ≤ 0 B. sin x ?

2 ? 2 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. ?x ? R, 2x ? x2 D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件
4.设 m , n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,给出下列四个命题:

① m ⊥ ? , n ∥ ? ,则 m ⊥ n ;
②若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ;

③若 ? ∥ ? , ? ∥ ? , m ⊥ ? ,则 m ⊥ ? ; ④若 ? ? ? ? m , ? ? ? = n , m ∥ n ,则 ? ∥ ? .
其中正确命题的序号是

A.①和③ B.②和③ C.③和④D.①和④
5.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? ?

? ?2an (n为正奇数) , 则其前六项的和是 ? ?an ? 1(n为正偶数)
C.33 D.120

A.16

B.20

? ? ? ? ? ? 6.已知非零向量 a ,b 的夹角为 60 ? ,且 b ? 1 ,2a ? b ? 1 ,则 a ?

A.

1 2

B.1 C. 2
?

D.2
??
?的 2?

7.已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? ? A ? 0 ,? ? 0 ,? ?
部 分图像如图所示,下列说法正确的是

A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? B.函数 f ? x ? 的图像关于点 ? ??
5? ? ,0 ? 对称 ? 12 ?

C.将函数 f ? x ? 的图像向左平移 个单位得到的函数图像关于 y 轴对称
7? 13? ? ,k ? ? ,? k ? Z ? 12 12 ? ? ? 8.已知某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,

? 6

D.函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ?k? ?
则该几何体的体积是

A.108 cmB.100 cm3 C.92 cmD.84 cm3
?x ? 2 y ? 0 ? 9.设 z ? x ? y, 其中x, y满足 ? x ? y ? 0 , 则当z的最大值为6时实数k的值为 ?0 ? y ? k ?

A .3

B.4

C.5

D.6

10.若三棱锥S ? ABC的所有顶点都在球O上,SA ? 平面ABC,SA=2 3, AB ? 1, AC ? 2
?BAC ? 60o ,则球 O 的表面积为

A. 64?

B. 16? C. 12? D. 4? 恒成立, 且 f (ln 4) ? 2 ,

11. 已知函数 f ( x ) 在 R 上的导函数为 f / ( x) , x) 2 ? f (x )/ 若 f(


x

不等式 f ( x) ? e 2 的解集是
A. ? ??,ln2? B. ? ln2, ??? C. ? ??,2ln2? D. ? 2ln2, ??? 12. 已知定义在 R 上的 函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 ?1 ? x ? 1 时,

f ( x ) ? sin

?
2

x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则实数 a 的取值范围是

A. ? , ? ? ? 5,7 ? B. ? 0, ? ? ?5, ?? ? C. ? 0, ? ? ? 5, ?? ? D. ? , ? ? ?5,7 ? 7 5 5 5 7 5

? 1 1? ? ?

? ?

1? ?

? ?

1? ?

?1 1? ? ?

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分.)
13.《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共为 4 升,则第五节的容积为升.

14.已知直线 l : 3x ? 4 y ? m ? 0 ( m ? 0 )被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 6 ? 0 所截的弦
长是圆心 C 到直线 l 的距离的 2 倍,则 m ? .

15.已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan(? ? ) ? ,那么 tan(? ? )= . 5 4 4 4

16.已知函数 f ( x) ? x ? sin 2 x .给出以下四个命题: ① ?x ? 0, 不等式 f ( x) ? 2 x 恒成立; ② ?k ? R ,使方程 f ( x) ? k 有四个不相等的实数根; ③函数 f ( x ) 的图像存在无数个对称中心; ④若数列 ?an ? 为等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? 3? ,则 a2 ? ? . 其中的正确命题有. (写出所有正确命题的序号)

三.解答 题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
17.(本小题满分10分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 ,

CD ? 3 , cos B ?

3 . 3

A

D

(Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

B

C

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
2 x?1

( x2 ? ax ? 2a2 +1) . (a ? R)

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调性. 19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ?

Sn ? 2 ? n ? 1?? n ? N ? ? . n

(Ⅰ)证明:数列 ?an ? 为等差数列,并求出 an ; (Ⅱ)设数列 ?

?

1 ? 1 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? . 5 4 ? an an ?1 ?

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2 ? y 2 ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0, 2) 且斜 率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由.

??? ? ??? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ﹣ ABCD 中, PA ⊥ AD , AB ∥ CD , CD ⊥ AD , AD=CD=2AB=2,E,F 分别为 PC,CD 的中点,DE =EC. (Ⅰ)求证:平面 ABE⊥平面 BEF; (Ⅱ )设 PA=a,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角

?? ? ? ? ? ? , ? ,求 a 的取值范围. ?4 3?
ax (a ? R且a ? 0) . x ?1

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

(Ⅰ)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,求 a 的取值范围;

? 2015 ? (Ⅲ)证明: ? ? ? 2016 ?

2016

1 . ? ( e 为自然对数的底数) e

2017 届高三年级第三次适应性考试理科数学答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 选项 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 A 7 D 8 B 9 A 10 B 11 D 12 C

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分, )

67 14. 9 66 3 15. 16.③④ 22
13. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分) 【解析】 (Ⅰ)因为∠D=2∠B, cos B ?

3 3 ,

A

2 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?

1 3 (2 分)

D

因为 ?D ? ? 0, ? ?



所以 sin D ?

2 2 3 , (4 分)
2
. (5 分)

B

C

所以△ ACD 的面积 S ? 2 ? AD ? CD ? sin D ?

1

2 2 2 (Ⅱ)在△ ACD 中, AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 ,

所以 AC ? 2 3 . (7 分)
2 2 2 在△ ABC 中, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 2 把已知条件代入并化简得: AB ? 4 AB ? 0

因为 AB≠0,所以 AB = 4 18. (本题满分 12 分)

(10 分)

解:(I) 当a ? 1时,f ( x) ? e2 x?1 ( x 2 ? x ? 1), f / ( x) ? e2 x?1 (2 x 2 ? 4 x ? 1) ? f (1) ? e, f / (1) ? 5e,? 切线方程是:y ? e ? 5e( x ? 1),即:y ? 5ex ? 4e

/ (II) f / ( x) ? e 2 x ?1 ?2 x 2 ? (2a ? 2) x ? 4a 2 +a +2? , 令f( x) =0得: 2 x 2 ? (2a ? 2) x ? 4a 2 +a +2=0

? =4(9a 2 ? 3) 当? ? 0,即:3 3 / ?a? 时,f( x) ? 0恒成立, ?( f x)在R上为增函数; 3 3 3 3 或a ? 时, 3 3

当? ? 0,即:a ? ?

? a ? 1 ? 9a 2 ? 3 ? a ? 1+ 9a 2 ? 3 / 由f( x)<0得: ?x? 2 2 ? a ? 1 ? 9a 2 ? 3 ? a ? 1+ 9a 2 ? 3 或x ? 2 2 ? ?a ? 1 ? 9a 2 ? 3 ? a ? 1+ 9a 2 ? 3 ? ?( f x)在 ? , ? 上为减函数; ? ? 5 5 ? ?
/ 由f( x)>0得:x ?

? ? ?a ? 1 ? 9a 2 ? 3 ? ? ?a ? 1+ 9a 2 ? 3 在 ? ??, ,+? ? 上为增函数 ?, ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 综上可知:3 3 ?a? 时,( f x)在R上为增函数; 3 3 ? ?a ? 1 ? 9a 2 ? 3 ? a ? 1+ 9a 2 ? 3 ? 3 3 a?? 或a ? 时时( f x)在 ? , ? 上为减函数; ? ? 3 3 2 2 ? ?

? ? ?a ? 1 ? 9a 2 ? 3 ? ? ?a ? 1+ 9a 2 ? 3 在 ? ??, ,+? ? 上为增函数 ?, ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
19. (本题满分 12 分) 试题解析: (1)由 an ?

Sn ? 2 ? n ? 1? na ? Sn ? 2n ? n ?1? n ,得 n ,??①

所以当 n ? 2 时, (n ?1)an?1 ? Sn?1 ? 2(n ?1) ? n ? 2? ?② ① ? ② 得 nan ? (n ?1)an?1 ? an ? 4(n ?1) , 即 (n ?1)an ? (n ?1)an?1 ? 4(n ?1) , 所 以

an ? an?1 ? 4 ,即数列

?an ? 是以 4 为公差、首项为 a1 ? 1 的等差数列,所以 a

n

? 4n ? 3

(6 分) (2)

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 ? 4n ? 3?? 4n ? 1? 4 ? 4n ? 3 4n ? 1 ? (8 分)


1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?Tn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ? , n ? N? 4 ?? 5 ? ? 5 9 ? ? 9 13 ? ? 4n ? 3 4n ? 1 ? ? 4 ? 4n ? 1 ? 4

又 Tn 单调递增,? Tn ? T1 ? 20. (本题满分 12 分)

1 1 1 ,故? ? Tn ? . (12 分) 5 5 4
2 2

0) , (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6) ? y ? 4 ,所以圆心为 Q(6,
过 P(0, 2) 且斜率为 k 的直线方程为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x2 ? (kx ? 2)2 ?12x ? 32 ? 0 整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 . , ①

直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,
解得 ? 4 ? k ? 0

3



? 3 ? 0? 即 的取值 范围为 ? ? 4 , k ? ?

.(6 分)

??? ? ??? ? A ( x , y ) , B ( x , y ) OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 1 1 2 2 (Ⅱ)设 ,则
由方程①,

x1 ? x2 ? ?

4(k ? 3) 1? k 2

② ③(8 分)



y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 .

??? ? P (0 ,, 2) Q (6 ,, 0) PQ ? (6, ? 2) . 而

? ??? ? ??? ? ??? ( x ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) , PQ OA ? OB 所以 与 共线等价于 1
k ??
将②③代入上式,解得

3 4. (10 分)

0? 由(Ⅰ)知 k ? ? 4 ,

?3 ?

? ? ,故没有符合题意的常数 k . (12 分)

21.(本题满分 12 分) 证明:如图, (1)∵AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F 为 CD 的中点, ∴ABFD 为矩形,AB⊥BF. ∵DE=EC,∴DC⊥EF,又 AB∥CD,∴AB⊥EF ∵BF∩EF=F,∴AB⊥面 BEF,又 AE? 面 ABE, ∴平面 ABE⊥平面 BEF. (4 分) (2)解:∵DE=EC,∴DC⊥EF,又 PD∥EF,

AB∥CD,∴AB⊥PD 又 AB⊥PD,所以 AB⊥面 PAD,AB⊥PA. AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建立空间坐标系, 以 AB 所在直线为 x 轴, (6 分) 则 B(1,0,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,a) ,C(2,2,0) ,E(1,1, )

平面 BCD 的法向量 设平面 EBD 的法向量为

, (8 分) ,



?

,即

,取 y=1,得 x=2,z=





所以

. (10 分)

因为平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角



所以 cosθ∈

,即





得:



得:





所以 a 的取值范围是

(12 分)

22:解(I) ? f ( x) ? ln(1 ? x) ?

ax x ?1? a (a ? 0),? f / ( x) ? x ?1 ( x ? 1)2

又? x ? 1是函数的一个极值点, ? f / (1) ? 0, 解得: a ? 2??? (2分)

(II)? f ( x) ? 0在? 0, +? ? 上恒成立,? f ( x) min ? 0 当0<a ? 1时,f / ( x ) ? 0在? 0, +? ? 上恒成立, ? f ( x) ? 0在? 0, +? ? 上为增函数, ? f ( x) min =f (0) ? 0满足条件; 当a ? 1时,由f / ( x) ? 0得x ? a ? 1,由f / ( x) ? 0得0 ? x ? a ? 1, ? f ( x)在? 0,a ? 1? 上为减函数,在? a ? 1, +? ? 上为增函数 ? f ( x) min =f ( a ? 1) ? 0, 又f (0) ? 0>f ( a ? 1), 矛盾,所以不成立. 综上可知,所求a的取值范围是 ? 0,1???? (7分) 2015 2016 1 2016 2016 2016 ) ? ? ( ) ? e ? 2016 ? ln ?1 2016 e 2015 2015 2016 1 2016 1 1 1 ? ln ? ? ln ? ? 0 ? ln(1 ? )? ?0 2015 2016 2015 2016 2015 1+ 2015 x 由(II) 可知,当a =1时f ( x)= ln(1 ? x) ? 在? 0, +? ? 上为增函数, 1+ x 1 1 1 1 又1 ? ? 0, f (0) ? 0, ? f ( ) ? ln(1 ? )? ? f (0) ? 0 2015 2015 2015 1+ 2015 2015 2016 1 ? ( ) ? 成立. ??? ( 12分) 2016 e

(III)(



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