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概率统计高考题2014



概率统计专题——2014 年全国各地高考题
1.[2014· 重庆卷] 某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人.为了解学生的学习情况, 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( ) A.100 B.150C.200 D.250 2.[2014· 湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件

,采用分层抽样的方法 从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙设 备生产的产品总数为________件. 3.[2014· 湖南卷] 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1, p2,p3,则( ) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 4.[2014· 四川卷] 在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间, 从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000 名居民的阅读时间 的全体是( ) A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 5.[2014· 天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分 层抽样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校 一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生 中抽取________名学生. 6.[2014· 天津卷] 某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级 情况如下表: 一年级 二年级 三年级 A B C 男同学 X Y Z 女同学 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率.

7.[2014· 安徽卷] 某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4500 人.为调 查该校学生每周平均体育运动时间的情况, 采用分层抽样的方法, 收集 300 位学生每周平均 体育运动时间的样本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据, 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 14 所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估 计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率.

图 14

(3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均 体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运 动时间与性别有关”. P(K2≥k0) k0 0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad-bc) 附:K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

8.[2014· 北京卷] 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位: 小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图(如图 16). 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 100 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2

图 16 (1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值;

9.[2014· 广东卷] 为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容 量为 40 的样本,则分段的间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20

10.[2014· 江苏卷] 为了了解一片经济林的 生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周 长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上, 其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株 树木中,有____株树木的底部周长小于 100 cm.

11.[2014· 山东卷] 为了研究某药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的 舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13), [13,14),[14,15),[15,16),[16,17].将其 按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二 组,??,第五组,图是根据试验数据制成的频 率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人, 第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效 的人数为( ) A.6 B.8 C.12 D.18 12. [2014· 山东卷] 海关对同时从 A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测, 从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品 中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相 同地区的概率.

13.[2014· 陕西卷] 某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,?,x10,其均值和 - 方差分别为 x 和 s2,若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的 均值和方差分别为( ) - - C. x ,s2 D. x +100,s2

- - A. x ,s2+1002 B. x +100,s2+1002

14.[2014· 重庆卷] 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

15.[2014· 湖北卷] 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 -0.5 -2.0 -3.0 ^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( ) A.a>0,b<0 B.a>0,b>0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 16.[2014· 辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行 了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 60 20 80 南方学生 10 10 20 北方学生 70 30 100 合计 (1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食 习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. n(n11n22-n12n21)2 附:χ2= , n1+n2+n+1n+2 0.100 0.050 0.010 P(χ2≥k) k 2.706 3.841 6.635

17.[2014· 广东卷] 某车间 20 名工人年龄数据如下表: (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人 年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差.

年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计

工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

18.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的 运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________. 19. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为________. 20.[2014· 浙江卷] 在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各抽 取 1 张,两人都中奖的概率是________. 21.[2014· 四川卷] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片 除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字 依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

22.[2014· 广东卷] 从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率 为________. 23.[2014· 湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率 记为 p1,点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则( ) A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2

24.[2014· 江苏卷] 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘 积为 6 的概率是________. 25.[2014· 江西卷] 掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 18 9 6 12 26.[2014· 陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点 的距离小于该正方形边长的概率为( ) 1 A. 5 2 3 4 B. C. D. 5 5 5

27.[2014· 福建卷] 如图 15 所示,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.

图 15 28.[2014· 湖南卷] 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 29.[2014· 辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图 11 所示的长方形 ABCD 中,其中 AB= 2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

图 11 π π π π A. B. C. D. 2 4 6 8 30.[2014· 重庆卷] 某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~ 7:50 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分 钟到校的概率为________.(用数字作答)

2014 年全国各地高考题——概率统计专题答案
70 n [解析] 由题意,得 = ,解得 n=100. 3500 3500+1500 80-50 80 2.1800 [解析] 设乙设备生产的产品总数为 n,则 = ,解得 n=1800. n 4800 3.D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样,它们都是等概率抽样. 4.A [解析] 根据抽样统计的概念可知,统计分析的对象全体叫做“总体”.故选 A. 4 5.60 [解析] 从一年级本科生中抽取的学生人数为 300× =60. 4+5+5+6 6.解:(1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A, C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y}, {C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A, Y}, 6 2 {A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种.故事件 M 发生的概率 P(M)= = . 15 5 1.A 4500 7.解: (1)300× =90,所以应收集 90 位女生的样本数据. 15 000 (2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为 1-2×(0.100+0.025)= 0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. (3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225(位)的每周平均体育运动时间超过 4 小时, 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 男生 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 每周平均体育运动时间超过 4 小时 总计 45 165 210
2

女生 30 60 90

总计 75 225 300

300×(165×30-45×60) 100 结合列联表可算得 K2= = ≈4.762>3.841. 21 75×225×210×90 所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” . 8.解:(1)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6+ 10 2+2=10(名),所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1- =0.9. 100 故从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9. 频率 0.17 (2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有 17 人,频率为 0.17,所以 a= = =0.085. 2 组距 频率 0.25 课外阅读时间落在组[8,10)内的有 25 人,频率为 0.25,所以 b= = =0.125. 2 组距 1000 9.C [解析] 由题意得,分段间隔是 =25. 40 10.24 [解析] 由频率分布直方图可得,数据在[80,90]的频率为 0.015×10=0.15, 数据在[90,100]的频率为 0.025×10=0.25.又样本容量为 60 株,故所求为(0.15+0.25)×60 =24(株). 11.C [解析] 因为第一组与第二组共有 20 人,并且根据图像知第一组与第二组的频 3 率之比是 0.24∶0.16=3∶2, 所以第一组的人数为 20× =12.又因为第一组与第三组的频率 5

2 之比是 0.24∶0.36=2∶3 , 所以第三组有 12÷ =18 人. 因为第三组中没有疗效的人数为 6, 3 所以第三组中有疗效的人数是 18-6=12. 6 1 12.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 = ,所以 A,B,C 50 50+150+100 1 1 1 三个地区的商品被选取的件数分别是:50× =1,150× =3,100× =2. 50 50 50 (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1, B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2}, {C1,C2},共 15 个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2}, {B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个.所以 P(D)= 4 率为 . 15 13.D - x1+x2+x3+?+x10 [解析] 由题目中所给的数据可知 x = ,不妨设这 10 位员工下月 10 4 ,即这 2 件商品来自相同地区的概 15

- - (x1+x2+x3+?+x10)+1000 - 工资的均值为 y ,则 y = = x +100,易知方差没发生变化. 10 1 14. 解: (1)据直方图知组距为 10, 由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1, 解得 a= =0.005. 200 (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3, 则从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个,即(A1,A2),(A1,B1),(A1, B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).其中 2 人的 成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个,即(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).故所求概率为 P 3 = . 10 15.A [解析] 作出散点图如下: ^ 由图像不难得出,回归直线y=bx+a 的斜率 b<0,截距 a>0,所以 a>0,b<0.故选 A. 16.解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n(n11n22-n12n21)2 100×(60×10-20×10)2 100 K2 = = = ≈4.762. 21 n1+n2+n+1n+2 70×30×80×20 由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为“南方学 生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组 成的基本事件空间Ω ={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1, a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1, b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3)}, 其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢 甜品的学生,j=1,2,3. Ω 由 10 个基本事件组成, 且这些基本事件的出现是等 可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件, 则 A={(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3), (b1,b2,b3)}.

7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10 1 18. 3 [解析] 甲有 3 种选法,乙也有 3 种选法,所以他们共有 9 种不同的选法.若他

3 1 们选择同一种颜色,则有 3 种选法,所以其对应的概率 P= = . 9 3 2 19. 3 [解析] 2 本数学书记为数 1,数 2,3 本书共有(数 1 数 2 语),(数 1 语数 2),(数 2

数 1 语),(数 2 语数 1),(语数 1 数 2),(语数 2 数 1)6 种不同的排法,其中 2 本数学书相邻 4 2 的排法有 4 种,对应的概率为 P= = . 6 3 1 20. 3 [解析] 基本事件的总数为 3×2=6,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只

2 1 有 2 种情况,所以两人都中奖的概率 P= = . 6 3 21.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1, 3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3), (2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2, 2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种, 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1- = . 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9 2 22. 5

[解析] 所有事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,

d),(c,e),(d,e),共 10 个,其中含有字母 a 的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a, 4 2 e),共 4 个,所以所求事件的概率是 P= = . 10 5 23.C [解析] 掷出两枚骰子,它们向上的点数的所有可能情况如下表: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 10 26 18 则 p1= ,p2= ,p3= .故 p1<p3<p2.故选 C. 36 36 36

1 24. 3

[解析] 基本事件有(1,2),(1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共 6 种情况,

1 乘积为 6 的是(1,6)和(2,3),则所求事件的概率为 . 3 [解析] 掷两颗均匀的骰子,一共有 36 种情况,点数之和为 5 的有(1,4),(2, 4 1 3),(3,2),(4,1),共 4 种,所以点数之和为 5 的概率为 = . 36 9 26.B [解析] 由古典概型的特点可知从 5 个点中选取 2 个点的全部情况共有 10 种, 其中选取的 2 个点的 4 2 距离小于该正方形边长的情况共有 4 种,故所求概率为 P= = . 10 5 27.0.18 [解析] 设阴影部分的面积为 S.随机撒 1000 粒豆子,每粒豆子落在正方形内 任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即 S 落在阴影部分中的豆子数 180 ≈ = =0.18, 1 落在正方形中的豆子数 1000 所以可以估计阴影部分的面积为 0.18. 1-(-2) 3 [解析] 由几何概型概率计算公式可得 P= = . 3-(-2) 5 29.B [解析] 由题意 AB=2,BC=1,可知长方形 ABCD 的面积 S=2×1=2,以 AB π 2 π 1 为直径的半圆的面积 S1= ×π ×12= .故质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P= = 2 2 2 π . 4 9 30. [解析] 设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y,(x,y)可以看成平面中的 32 15 47 15 47? ? 点.试验的全部结果所构成的区域为 Ω=?(x,y)| 2 ≤x≤ 6 , 2 ≤y≤ 6 ?,这是一个正方 ? ? 1 1 1 形区域,面积为 SΩ = × = .事件 A 表示小张比小王早到 5 分钟,所构成的区域为 A=(x, 3 3 9 1 15 47 15 47 1 1 1 1 y)x-y≥ , ≤x≤ , ≤y≤ ,即图中的阴影部分,面积为 SA= × × = .这是一 12 2 6 2 6 2 4 4 32 SA 9 个几何概型问题,所以 P(A)= = . SΩ 32 28.B 25.B



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