创新设计2016

第二章 空间向量与立体几何

§1 从平面向量到空间向量

学习 目标

1.了解空间向量的概念. 2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程. 3.了解空间中直线的方向向量，平面的法向量，共面向量与不共面 向量的概念.

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知识梳理

自主学习

知识点一

空间向量

(1)在空间中，既有 大小 又有 方向 的量，叫作空间向量.

(2)向量用 小写字母 表示，如：a，b.也可用大写字母表示， → ，其中 A 叫作向量的起点， B 叫作向量的终点. 如： AB (3)数学中所讨论的向量与向量的 起点 无关，称之为自由向量.
|a| 表示.
→ (4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用 |AB| 或

答案

(5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b，在空间中任取点 O， → → 作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 .

(6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π .
π (7)特殊角：当〈a，b〉＝2时，向量 a 与 b 垂直 ，记作 a⊥b ；

当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b 平行 ，记作 a∥b .
答案

知识点二

向量、直线、平面

(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线 平行 或 重合 的向量，一条直线

的方向向量有 无数 个.
(2)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量 ，

叫作平面α的法向量.
平面α有 无数 个法向量，平面α的所有法向量都 平行 . (3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个向量平行 于该平面. (4)把 平行于同一平面 的一组向量称作共面向量，不平行于同一个平面 的 一组向量称为不共面向量. (5)平行于一个平面的向量垂直 于该平面的法向量.
答案

思考

→ → 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA，OB，

→ OC，它们和以前所学的向量有什么不同？
答案 → → → OA，OB，OC是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量

都在同一平面内.

答案

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题型探究

重点突破

题型一 空间向量的概念
例1 判断下列命题的真假.

(1)空间中任意两个单位向量必相等；
解 解 解 假命题.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同. 假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等. 假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是

(2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； 任意的.
解析答案

→ → (4)向量AB与BA的长度相等.

解

→ → 真命题.因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的.

反思与感悟

空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其

他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量
等都可以拓展为空间向量的相关概念.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 1

如图所示，以长方体 ABCD－A1B1C1D1的

八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
→ (1)试写出与AB相等的所有向量；

解

→ → → → 与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1共 3 个.

→ (2)试写出AA1的相反向量；
解 → → → → → 向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D.

→ (3)若 AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模.
解 → |AC1|＝3.
解析答案

题型二 直线的方向向量与平面的法向量
例2 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直

角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90° ，PB＝ 3，PA＝PD ＝CD＝BC＝1， AD＝ 2， AB＝2， E 是 AD 的中点， → → 试证明PE是面 ABCD 的一个法向量，BD是面 PAD 的一个法向量.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD

为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点.

(1)试以F为起点作直线DE的方向向量；
解 ∵E、F分别是PC、PB的中点，
1 1 ∴EF 綊2BC，又 BC 綊 AD，∴EF 綊2AD，

取AD的中点M，连接MF， 则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，
→ ∴MF∥DE，∴FM就是直线 DE 的一个方向向量.

解析答案

(2)试以F为起点作平面PBC的法向量.
解 ∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，

又BC⊥CD，∴BC⊥面PCD，
∵DE?面PCD，∴DE⊥BC，

又PD＝CD，E为PC中点，
∴DE⊥PC，从而DE⊥面PBC，
→ ∴DE是面 PBC 的一个法向量，

→ → 由(1)可知FM＝ED，
→ ∴FM就是平面 PBC 的一个法向量.
解析答案

题型三 空间向量的夹角
例3 如图所示， 已知正方体ABCD－A1B1C1D1， 求：
→ → 由图知AB＝D1C1，则二者的方向相同，

→ → (1)〈AB，D1C1〉 ；
解

→ → 所以〈AB，D1C1〉＝0； → → (2)〈AB，CD〉 ；
解 → → 根据题意易知AB与CD的方向相反，

→ → 所以〈AB，CD〉＝π；
解析答案

→ → (3)〈BA1，AD1〉.
解 连接BC1，A1C1，A1B，
→ → 因为AD1＝BC1， → → → → 所以〈BA1，AD1〉＝〈BA1，BC1〉 ，
π → → → → 而△A1BC1 为等边三角形，所以〈BA1，AD1〉＝〈BA1，BC1〉＝3.

反思与感悟

本题研究了三个特殊的夹角，在数学中所研究的向量是与

向量的起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后 再研究向量之间的夹角问题.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3

在正方体ABCD－A1B1C1D1中求下列向量的夹角：

→ → (1)〈AC，DD1〉 ；

解

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC?面ABCD，

π → → ∴AC⊥DD1，∴〈AC，DD1〉＝2.

→ → (2)〈AC，CD1〉 ；

解

连接AD1，则AC＝CD1＝AD1，

π 故△ACD1 为正三角形，∠ACD1＝3， 2π → → ∴〈AC，CD1〉＝ 3 .
解析答案

→ → (3)〈AC，A1D〉 ；
解 方法一 → → 连接 AB1，B1C，则有A1D＝B1C，

→ → → → ∴〈AC，A1D〉＝〈AC，B1C〉 ，

又AC＝CB1＝AB1，
π ∴△AB1C 为等边三角形，∠ACB1＝3，
π → → → → ∴〈AC，B1C〉＝3＝〈AC，A1D〉 ，

方法二

→ → 连接 A1C1，C1D，则A1C1＝AC，且△A1C1D 为正三角形.

π → → → → ∴∠C1A1D＝3＝〈A1C1，A1D〉＝〈AC，A1D〉.
解析答案

→ → (4)〈AC，BD1〉.

解

方法一

连接BD，则AC⊥BD，

又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D.∴AC⊥面BD1D，
π → → ∵BD1? 面 BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈AC，BD1〉＝2.

方法二 连接BD交AC于点O，取DD1的中点M，
→ 1→ → → → → 则OM＝2BD1，∴〈AC，BD1〉＝〈AC，OM〉 ，

在△MAC中，MA＝MC，O为AC的中点，∴MO⊥AC.
π π → → → → ∴〈AC，OM〉＝2，即〈AC，BD1〉＝2.
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当堂检测

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1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a＝b?|a|＝|b|；|a|＝|b|?a＝b.

解析答案

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2.在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与 ― ― → 的模相等的向量有( A ) 向量 A ′B′ A.7个
解析
＝|

B.3个
| ― ― → D′C′|＝|

C.5个

D.6个

― ― → → → → → C′D′|＝|DC|＝|CD|＝|BA|＝|AB|

― ― → B′A′|＝|

― ― → A′B′|.

解析答案

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3.下列说法中正确的是( B ) A.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C.空间向量的减法满足结合律
→ → → D.在四边形 ABCD 中，一定是AB＋AD＝AC

解析

若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故A不正确；

相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B正确； 空间向量的减法不满足结合律，故C不正确； → → → 在?ABCD 中，才有AB＋AD＝AC，故 D 不正确.故选 B.
解析答案

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→ 4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，各条棱所在的向量中，与向量 AD

相等的向量共有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
→ → → → 解析 与AD相等的向量有A1D1，BC，B1C1，共 3 个.

解析答案

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必要不充分 条件. 5.两向量共线是两向量相等的___________ 解析 两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的情况.

解析答案

课堂小结 空间两向量的夹角

(1)计算步骤：一作，二证，三算.
(2)作法 ①平移法：在一向量所在直线上选取 “特殊点”，作另一向量所在直线 的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线. ②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六 面体、长方体等，其目的在于容易发现两向量所在直线的关系，从而确 定两向量的夹角.
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