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创新设计2016



第二章 空间向量与立体几何

§1 从平面向量到空间向量

学习 目标

1.了解空间向量的概念. 2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程. 3.了解空间中直线的方向向量,平面的法向量,共面向量与不共面 向量的概念.

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知识梳理

自主学习

知识点一

空间向量

(1)在空间中,既有 大小 又有 方向 的量,叫作空间向量.

(2)向量用 小写字母 表示,如:a,b.也可用大写字母表示, → ,其中 A 叫作向量的起点, B 叫作向量的终点. 如: AB (3)数学中所讨论的向量与向量的 起点 无关,称之为自由向量.
|a| 表示.
→ (4)与平面向量一样,空间向量的大小也叫作向量的长度或模,用 |AB| 或

答案

(5)向量夹角的定义:如图所示,两非零向量 a,b,在空间中任取点 O, → → 作OA=a,OB=b,则 ∠AOB 叫作向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉 .

(6)向量夹角的范围:规定 0≤〈a,b〉≤π .
π (7)特殊角:当〈a,b〉=2时,向量 a 与 b 垂直 ,记作 a⊥b ;

当〈a,b〉=0或π时,向量a与b 平行 ,记作 a∥b .
答案

知识点二

向量、直线、平面

(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线 平行 或 重合 的向量,一条直线

的方向向量有 无数 个.
(2)如果直线l垂直于平面α,那么把直线l的方向向量 ,

叫作平面α的法向量.
平面α有 无数 个法向量,平面α的所有法向量都 平行 . (3)空间中,若一个向量所在直线 平行于 一个平面,则称这个向量平行 于该平面. (4)把 平行于同一平面 的一组向量称作共面向量,不平行于同一个平面 的 一组向量称为不共面向量. (5)平行于一个平面的向量垂直 于该平面的法向量.
答案

思考

→ → 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA,OB,

→ OC,它们和以前所学的向量有什么不同?
答案 → → → OA,OB,OC是不同在一个平面内的向量,而我们以前所学的向量

都在同一平面内.

答案

返回

题型探究

重点突破

题型一 空间向量的概念
例1 判断下列命题的真假.

(1)空间中任意两个单位向量必相等;
解 解 解 假命题.因为两个单位向量,只有模相等,但方向不一定相同. 假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等. 假命题.因为两个向量模相等时,方向不一定相同或相反,也可以是

(2)方向相反的两个向量是相反向量; (3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b; 任意的.
解析答案

→ → (4)向量AB与BA的长度相等.



→ → 真命题.因为BA与AB仅是方向相反,但长度是相等的.

反思与感悟

空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其

他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量
等都可以拓展为空间向量的相关概念.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 1

如图所示,以长方体 ABCD-A1B1C1D1的

八个顶点的两点为始点和终点的向量中,
→ (1)试写出与AB相等的所有向量;



→ → → → 与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1,DC及D1C1共 3 个.

→ (2)试写出AA1的相反向量;
解 → → → → → 向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D.

→ (3)若 AB=AD=2,AA1=1,求向量AC1的模.
解 → |AC1|=3.
解析答案

题型二 直线的方向向量与平面的法向量
例2 如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直

角梯形,∠ABC=∠BCD=90° ,PB= 3,PA=PD =CD=BC=1, AD= 2, AB=2, E 是 AD 的中点, → → 试证明PE是面 ABCD 的一个法向量,BD是面 PAD 的一个法向量.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

如图所示,四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,底面ABCD

为正方形且PD=AD=CD,E、F分别是PC、PB的中点.

(1)试以F为起点作直线DE的方向向量;
解 ∵E、F分别是PC、PB的中点,
1 1 ∴EF 綊2BC,又 BC 綊 AD,∴EF 綊2AD,

取AD的中点M,连接MF, 则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形,
→ ∴MF∥DE,∴FM就是直线 DE 的一个方向向量.

解析答案

(2)试以F为起点作平面PBC的法向量.
解 ∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC,

又BC⊥CD,∴BC⊥面PCD,
∵DE?面PCD,∴DE⊥BC,

又PD=CD,E为PC中点,
∴DE⊥PC,从而DE⊥面PBC,
→ ∴DE是面 PBC 的一个法向量,

→ → 由(1)可知FM=ED,
→ ∴FM就是平面 PBC 的一个法向量.
解析答案

题型三 空间向量的夹角
例3 如图所示, 已知正方体ABCD-A1B1C1D1, 求:
→ → 由图知AB=D1C1,则二者的方向相同,

→ → (1)〈AB,D1C1〉 ;


→ → 所以〈AB,D1C1〉=0; → → (2)〈AB,CD〉 ;
解 → → 根据题意易知AB与CD的方向相反,

→ → 所以〈AB,CD〉=π;
解析答案

→ → (3)〈BA1,AD1〉.
解 连接BC1,A1C1,A1B,
→ → 因为AD1=BC1, → → → → 所以〈BA1,AD1〉=〈BA1,BC1〉 ,
π → → → → 而△A1BC1 为等边三角形,所以〈BA1,AD1〉=〈BA1,BC1〉=3.

反思与感悟

本题研究了三个特殊的夹角,在数学中所研究的向量是与

向量的起点无关的自由向量,可以设法将向量平移到同一起点上,然后 再研究向量之间的夹角问题.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3

在正方体ABCD-A1B1C1D1中求下列向量的夹角:

→ → (1)〈AC,DD1〉 ;



在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱DD1⊥底面ABCD,AC?面ABCD,

π → → ∴AC⊥DD1,∴〈AC,DD1〉=2.

→ → (2)〈AC,CD1〉 ;



连接AD1,则AC=CD1=AD1,

π 故△ACD1 为正三角形,∠ACD1=3, 2π → → ∴〈AC,CD1〉= 3 .
解析答案

→ → (3)〈AC,A1D〉 ;
解 方法一 → → 连接 AB1,B1C,则有A1D=B1C,

→ → → → ∴〈AC,A1D〉=〈AC,B1C〉 ,

又AC=CB1=AB1,
π ∴△AB1C 为等边三角形,∠ACB1=3,
π → → → → ∴〈AC,B1C〉=3=〈AC,A1D〉 ,

方法二

→ → 连接 A1C1,C1D,则A1C1=AC,且△A1C1D 为正三角形.

π → → → → ∴∠C1A1D=3=〈A1C1,A1D〉=〈AC,A1D〉.
解析答案

→ → (4)〈AC,BD1〉.



方法一

连接BD,则AC⊥BD,

又AC⊥DD1,BD∩DD1=D.∴AC⊥面BD1D,
π → → ∵BD1? 面 BDD1,∴AC⊥BD1,∴〈AC,BD1〉=2.

方法二 连接BD交AC于点O,取DD1的中点M,
→ 1→ → → → → 则OM=2BD1,∴〈AC,BD1〉=〈AC,OM〉 ,

在△MAC中,MA=MC,O为AC的中点,∴MO⊥AC.
π π → → → → ∴〈AC,OM〉=2,即〈AC,BD1〉=2.
解析答案 返回

当堂检测

1

2

3

4

5

1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a=b?|a|=|b|;|a|=|b|?a=b.

解析答案

1

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3

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5

2.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,各条棱所在的向量中,模与 ― ― → 的模相等的向量有( A ) 向量 A ′B′ A.7个
解析
=|

B.3个
| ― ― → D′C′|=|

C.5个

D.6个

― ― → → → → → C′D′|=|DC|=|CD|=|BA|=|AB|

― ― → B′A′|=|

― ― → A′B′|.

解析答案

1

2

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5

3.下列说法中正确的是( B ) A.若|a|=|b|,则a,b的长度相等,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律
→ → → D.在四边形 ABCD 中,一定是AB+AD=AC

解析

若|a|=|b|,则a,b的长度相等,方向不确定,故A不正确;

相反向量是指长度相同,方向相反的向量,故B正确; 空间向量的减法不满足结合律,故C不正确; → → → 在?ABCD 中,才有AB+AD=AC,故 D 不正确.故选 B.
解析答案

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4

5

→ 4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,各条棱所在的向量中,与向量 AD

相等的向量共有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
→ → → → 解析 与AD相等的向量有A1D1,BC,B1C1,共 3 个.

解析答案

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必要不充分 条件. 5.两向量共线是两向量相等的___________ 解析 两向量共线就是两向量同向或反向,包含相等的情况.

解析答案

课堂小结 空间两向量的夹角

(1)计算步骤:一作,二证,三算.
(2)作法 ①平移法:在一向量所在直线上选取 “特殊点”,作另一向量所在直线 的平行线,常常利用中位线或成比例线段引平行线. ②补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六 面体、长方体等,其目的在于容易发现两向量所在直线的关系,从而确 定两向量的夹角.
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