9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

创新设计2016


第二章 空间向量与立体几何

§1 从平面向量到空间向量

学习 目标

1.了解空间向量的概念. 2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程. 3.了解空间中直线的方向向量,平面的法向量,共面向量与不共面 向量的概念.

栏目 索引

知识梳理 题型探究 当堂检测

自主学习
重点突破

自查自纠

知识梳理

自主学习

知识点一

空间向量

(1)在空间中,既有 大小 又有 方向 的量,叫作空间向量.

(2)向量用 小写字母 表示,如:a,b.也可用大写字母表示, → ,其中 A 叫作向量的起点, B 叫作向量的终点. 如: AB (3)数学中所讨论的向量与向量的 起点 无关,称之为自由向量.
|a| 表示.
→ (4)与平面向量一样,空间向量的大小也叫作向量的长度或模,用 |AB| 或

答案

(5)向量夹角的定义:如图所示,两非零向量 a,b,在空间中任取点 O, → → 作OA=a,OB=b,则 ∠AOB 叫作向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉 .

(6)向量夹角的范围:规定 0≤〈a,b〉≤π .
π (7)特殊角:当〈a,b〉=2时,向量 a 与 b 垂直 ,记作 a⊥b ;

当〈a,b〉=0或π时,向量a与b 平行 ,记作 a∥b .
答案

知识点二

向量、直线、平面

(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线 平行 或 重合 的向量,一条直线

的方向向量有 无数 个.
(2)如果直线l垂直于平面α,那么把直线l的方向向量 ,

叫作平面α的法向量.
平面α有 无数 个法向量,平面α的所有法向量都 平行 . (3)空间中,若一个向量所在直线 平行于 一个平面,则称这个向量平行 于该平面. (4)把 平行于同一平面 的一组向量称作共面向量,不平行于同一个平面 的 一组向量称为不共面向量. (5)平行于一个平面的向量垂直 于该平面的法向量.
答案

思考

→ → 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA,OB,

→ OC,它们和以前所学的向量有什么不同?
答案 → → → OA,OB,OC是不同在一个平面内的向量,而我们以前所学的向量

都在同一平面内.

答案

返回

题型探究

重点突破

题型一 空间向量的概念
例1 判断下列命题的真假.

(1)空间中任意两个单位向量必相等;
解 解 解 假命题.因为两个单位向量,只有模相等,但方向不一定相同. 假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等. 假命题.因为两个向量模相等时,方向不一定相同或相反,也可以是

(2)方向相反的两个向量是相反向量; (3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b; 任意的.
解析答案

→ → (4)向量AB与BA的长度相等.



→ → 真命题.因为BA与AB仅是方向相反,但长度是相等的.

反思与感悟

空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其

他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量
等都可以拓展为空间向量的相关概念.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 1

如图所示,以长方体 ABCD-A1B1C1D1的

八个顶点的两点为始点和终点的向量中,
→ (1)试写出与AB相等的所有向量;



→ → → → 与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1,DC及D1C1共 3 个.

→ (2)试写出AA1的相反向量;
解 → → → → → 向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D.

→ (3)若 AB=AD=2,AA1=1,求向量AC1的模.
解 → |AC1|=3.
解析答案

题型二 直线的方向向量与平面的法向量
例2 如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直

角梯形,∠ABC=∠BCD=90° ,PB= 3,PA=PD =CD=BC=1, AD= 2, AB=2, E 是 AD 的中点, → → 试证明PE是面 ABCD 的一个法向量,BD是面 PAD 的一个法向量.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

如图所示,四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,底面ABCD

为正方形且PD=AD=CD,E、F分别是PC、PB的中点.

(1)试以F为起点作直线DE的方向向量;
解 ∵E、F分别是PC、PB的中点,
1 1 ∴EF 綊2BC,又 BC 綊 AD,∴EF 綊2AD,

取AD的中点M,连接MF, 则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形,
→ ∴MF∥DE,∴FM就是直线 DE 的一个方向向量.

解析答案

(2)试以F为起点作平面PBC的法向量.
解 ∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC,

又BC⊥CD,∴BC⊥面PCD,
∵DE?面PCD,∴DE⊥BC,

又PD=CD,E为PC中点,
∴DE⊥PC,从而DE⊥面PBC,
→ ∴DE是面 PBC 的一个法向量,

→ → 由(1)可知FM=ED,
→ ∴FM就是平面 PBC 的一个法向量.
解析答案

题型三 空间向量的夹角
例3 如图所示, 已知正方体ABCD-A1B1C1D1, 求:
→ → 由图知AB=D1C1,则二者的方向相同,

→ → (1)〈AB,D1C1〉 ;


→ → 所以〈AB,D1C1〉=0; → → (2)〈AB,CD〉 ;
解 → → 根据题意易知AB与CD的方向相反,

→ → 所以〈AB,CD〉=π;
解析答案

→ → (3)〈BA1,AD1〉.
解 连接BC1,A1C1,A1B,
→ → 因为AD1=BC1, → → → → 所以〈BA1,AD1〉=〈BA1,BC1〉 ,
π → → → → 而△A1BC1 为等边三角形,所以〈BA1,AD1〉=〈BA1,BC1〉=3.

反思与感悟

本题研究了三个特殊的夹角,在数学中所研究的向量是与

向量的起点无关的自由向量,可以设法将向量平移到同一起点上,然后 再研究向量之间的夹角问题.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3

在正方体ABCD-A1B1C1D1中求下列向量的夹角:

→ → (1)〈AC,DD1〉 ;



在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱DD1⊥底面ABCD,AC?面ABCD,

π → → ∴AC⊥DD1,∴〈AC,DD1〉=2.

→ → (2)〈AC,CD1〉 ;



连接AD1,则AC=CD1=AD1,

π 故△ACD1 为正三角形,∠ACD1=3, 2π → → ∴〈AC,CD1〉= 3 .
解析答案

→ → (3)〈AC,A1D〉 ;
解 方法一 → → 连接 AB1,B1C,则有A1D=B1C,

→ → → → ∴〈AC,A1D〉=〈AC,B1C〉 ,

又AC=CB1=AB1,
π ∴△AB1C 为等边三角形,∠ACB1=3,
π → → → → ∴〈AC,B1C〉=3=〈AC,A1D〉 ,

方法二

→ → 连接 A1C1,C1D,则A1C1=AC,且△A1C1D 为正三角形.

π → → → → ∴∠C1A1D=3=〈A1C1,A1D〉=〈AC,A1D〉.
解析答案

→ → (4)〈AC,BD1〉.



方法一

连接BD,则AC⊥BD,

又AC⊥DD1,BD∩DD1=D.∴AC⊥面BD1D,
π → → ∵BD1? 面 BDD1,∴AC⊥BD1,∴〈AC,BD1〉=2.

方法二 连接BD交AC于点O,取DD1的中点M,
→ 1→ → → → → 则OM=2BD1,∴〈AC,BD1〉=〈AC,OM〉 ,

在△MAC中,MA=MC,O为AC的中点,∴MO⊥AC.
π π → → → → ∴〈AC,OM〉=2,即〈AC,BD1〉=2.
解析答案 返回

当堂检测

1

2

3

4

5

1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a=b?|a|=|b|;|a|=|b|?a=b.

解析答案

1

2

3

4

5

2.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,各条棱所在的向量中,模与 ― ― → 的模相等的向量有( A ) 向量 A ′B′ A.7个
解析
=|

B.3个
| ― ― → D′C′|=|

C.5个

D.6个

― ― → → → → → C′D′|=|DC|=|CD|=|BA|=|AB|

― ― → B′A′|=|

― ― → A′B′|.

解析答案

1

2

3

4

5

3.下列说法中正确的是( B ) A.若|a|=|b|,则a,b的长度相等,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律
→ → → D.在四边形 ABCD 中,一定是AB+AD=AC

解析

若|a|=|b|,则a,b的长度相等,方向不确定,故A不正确;

相反向量是指长度相同,方向相反的向量,故B正确; 空间向量的减法不满足结合律,故C不正确; → → → 在?ABCD 中,才有AB+AD=AC,故 D 不正确.故选 B.
解析答案

1

2

3

4

5

→ 4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,各条棱所在的向量中,与向量 AD

相等的向量共有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
→ → → → 解析 与AD相等的向量有A1D1,BC,B1C1,共 3 个.

解析答案

1

2

3

4

5

必要不充分 条件. 5.两向量共线是两向量相等的___________ 解析 两向量共线就是两向量同向或反向,包含相等的情况.

解析答案

课堂小结 空间两向量的夹角

(1)计算步骤:一作,二证,三算.
(2)作法 ①平移法:在一向量所在直线上选取 “特殊点”,作另一向量所在直线 的平行线,常常利用中位线或成比例线段引平行线. ②补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六 面体、长方体等,其目的在于容易发现两向量所在直线的关系,从而确 定两向量的夹角.
返回


赞助商链接

更多相关文章:
创新设计系列2016版专题通关大考卷全套——物理(全国通用)
创新设计系列2016版专题通关大考卷全套——物理(全国通用)_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。创新设计系列2016版专题通关大考卷全套——物理(全国通用) ...
2016届 《创新设计》高考语文总复习
2016届 《创新设计》高考语文总复习_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016届 《创新设计》高考语文总复习_高考_高中教育_教育专区。第...
创新设计2016年高考化学一轮复习教师用书WORD文档1...
创新设计2016年高考化学一轮复习教师用书WORD文档1-2章_理化生_高中教育_教育专区。《创新设计2016年高考化学一轮复习教师用书WORD文档1-2章。纯word,高清...
2016创新设计语法专题
2016创新设计语法专题 - 锐锋英语教育中心 专项一 冠词 Part 1 [边做边悟] 一、不定冠词的主要用法 1.不定冠词用在单数可数名词前,表示泛指某类人或事物中的...
2016创新设计配套课件6章
2016创新设计配套课件6章_数学_高中教育_教育专区。课件园 http://www.kejianyuan.net 第 1 讲 数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单...
创新设计2016年版第1-2章教师用书_图文
创新设计2016年版第1-2章教师用书_理化生_高中教育_教育专区。基础课时 1 [最新考纲] 化学实验常用仪器及基本操作 1.了解化学实验室常用仪器的主要用途和使用方法...
创新设计2016届历史专题通关练习测评实力综合卷(三).doc
创新设计2016届历史专题通关练习测评实力综合卷(三).doc - 测评实力综合卷(三) (时间:90 分钟 分值:150 分) 一、选择题(本大题共 25 小题,每小题 3 分...
创新设计2016届 数学一轮(理科) 苏教版 江苏专 课...
创新设计2016届 数学一轮(理科) 苏教版 江苏专 课时作业 第十三章 选修系列4部分-2_高中教育_教育专区。第2讲 ?3 1.(2009· 江苏卷)求矩阵 A=? ?...
创新设计2016届 数学一轮(理科) 苏教版 江苏专 课...
创新设计2016届 数学一轮(理科) 苏教版 江苏专 课时作业 第十三章 选修系列4部分-4_高中教育_教育专区。第4讲 参数方程 ?x= 3cos φ, 1. (2015· ...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)北师大版课时作业 4-...
2016届《创新设计》数学一轮(理科)北师大版课时作业 4-1角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数_数学_高中教育_教育专区。第 1讲 角的概念的推广、弧度制及...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图