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数列练习题与答案



数列练习题 [基础训练 A 组]
一、选择题

,34,55 中, x 等于( 1.在数列 1,1,2,3,5,8, x,21
A. 11 C. 13 B. 12 D. 14



2.等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 {an }前9 项 的和 S9 等于( A. 66 C. 144 ) B. 99 D. 297 )

3.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为( A. 81 C. 168 B. 120 D. 192 )

4. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A. 1 B. ?1 C. ? 1 D.

1 2

5.已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 , 那么 ? 13 A. 2

1 是此数列的第( 2 B. 4 C. 6

)项 D. 8

6.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列 的前 8 项之和为( ) A. 513 B. 512 C. 510 D.

225 8

二、填空题
1.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 33, 则 ?an ? 的公差为______________。 2.数列{ an }是等差数列, a4 ? 7 ,则 s7 ? _________ 3.两个等差数列 ?an ? , ?bn ?,

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________. b5 b1 ? b2 ? ... ? bn n?3

4.在等比数列 ?an ? 中, 若 a3 ? 3, a9 ? 75, 则 a10 =___________.

5.在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 , a10 是方程 3x ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a4 ? a7 =___________.
2

6.计算 log 3 3 3 ... 3 ? ___________.

?? ? ??? ?
n

三、解答题 1. 成等差数列的四个数的和为 26 ,第二数与第三数之积为 40 ,求这四个数。

2. 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 0.3, a12 ? 3.1, 求 a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 的值。

3. 求和: (a ? 1) ? (a 2 ? 2) ? ... ? (a n ? n), (a ? 0)

4. 设等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求数列的公比 q

数列 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6 C. ?8 D. ?10 )

2.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5



A. 1

B. ?1

C. 2

D.

1 2


3.若 lg 2, lg(2 x ? 1), lg(2 x ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( A. 1 B. 0 或 32 C. 32 D. log2 5

4.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q , 则 q 的取值范围是( ) A. (0,

1? 5 ) 2

B. (

1? 5 ,1] 2 ?1? 5 1? 5 , ) 2 2

C. [1,

1? 5 ) 2

D. (

5.在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差,

1 tan B 是以 为第三项, 9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( 3
A.钝角三角形 C.等腰直角三角形 B.锐角三角形 D.以上都不对



6.在等差数列 ?a n ? 中,设 S1 ? a1 ? a2 ? ... ? an , S 2 ? an?1 ? an?2 ? ... ? a2n ,

S 3 ? a2n?1 ? a2n?2 ? ... ? a3n ,则 S1 , S 2 , S3 , 关系为(
A.等差数列 C.等差数列或等比数列 B.等比数列 D.都不对



7.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 , 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? ( A. 12 B. 10 C. 1 ? log3 5 ) D. 2 ? log3 5

二、填空题
1.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a6 ? 33, 则 a3 ? a5 ? _________。 2.数列 7,77,777,7777 …的一个通项公式是______________________。 3.在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _______。 4.等差数列中,若 S m ? S n (m ? n), 则 S m? n =_______。 5.已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 ,

a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且 ak ? 13 ,则 k ? _________。

2 n 6.等比数列 ?an ? 前 n 项的和为 2 ? 1 ,则数列 an 前 n 项的和为______________。

? ?

三、解答题 1.三个数成等差数列,其比为 3 : 4 : 5 ,如果最小数加上 1 ,则三数成等比数列, 那么原三数为什么?

2.求和: 1 ? 2 x ? 3x ? ... ? nx
2

n ?1

3.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?2n ? 11,如果 bn ? an (n ? N ) , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和。

4.在等比数列 ?a n ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400 , 求 n 的范围。

数列 [提高训练 C 组] 一、选择题
1.数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 n ? n ?1



则该数列的前( )项之和等于 9 。 A. 98 B. 99 C. 96 D. 97 2.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,

则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A. 9 C. 16 B. 12 D. 17



3.在等比数列 ?an ? 中,若 a 2 ? 6 ,且 a5 ? 2a4 ? a3 ? 12 ? 0 则 an 为( A. 6 C. 6 ? 2
n?2

) B. 6 ? (?1) n?2 D. 6 或 6 ? (?1) n?2 或 6 ? 2
n?2

4.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? ... ? a50 ? 200 , a51 ? a52 ? ... ? a100 ? 2700, 则 a1 为( A. ?22.5 C. ?20.5 ) B. ?21.5 D. ?20

2 5.已知等差数列 {an }的前n 项和为 S n , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, 则m

等于( A. 38 C. 10

) B. 20 D. 9

6.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

Sn a 2n ,则 n =( ? Tn 3n ? 1 bn
D.



A.

2 3

B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1

2n ? 1 3n ? 4

二、填空题
1.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? an?1 ? an ,则数列通项 an ? ___________。 2.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。 3.三个不同的实数 a, b, c 成等差数列,且 a, c, b 成等比数列,则 a : b : c ? _________。 4.在等差数列 ?a n ?中,公差 d ?

1 ,前 100 项的和 S100 ? 45, 2

则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 =_____________。 5.若等差数列 ?a n ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 S13 ? __________. 6.一个等比数列各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和, 则公比 q 为_______________。

三、解答题 1. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,求 an

2. 一个有穷等比数列的首项为 1 ,项数为偶数,如果其奇数项的和为 85 ,偶数项的和为 170 ,求此数列的公比和项数。

3. 数列 lg1000 , lg(1000? cos600 ), lg(1000? cos2 600 ),...lg(1000? cosn?1 600 ), …的前多少 项和为最大?

4. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ... ? (?1) n?1 (4n ? 3) , 求 S15 ? S 22 ? S 31 的值。

参考答案(数学 5 必修)第二章 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.C an ? an?1 ? an?2 2.B

a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27,3a4 ? 39,3a6 ? 27, a4 ? 13, a6 ? 9

S9 ?
3.B

9 9 9 ( a1 ? a9) ? ( a4 ? a6) ? ( 1 3? 9 ) ? 99 2 2 2

a5 a 3(1 ? 34 ) ? 27 ? q3 , q ? 3, a1 ? 2 ? 3, S4 ? ? 120 a2 q 1? 3

4.C 5.B

x2 ? ( 2? 1 ) ( ?2 ?1 )x ?1? ,
x( 3x? 3 ) ? (x 2?
q?
2

1
? ? 4

2 )x ? , 或 ? 1 x ?而 ? 4x , ? ? ? 1x
3 ( n ?1) n ? , 2 4

3x ? 3 3 1 ? ,? 1 3 ? ? ? 4 2x ? 2 2 2

6.C

a1 (1 ? q3 ) ? 18, a1 (q ? q 2 ) ? 12,

1 ? q3 3 1 ? , q ? 或q ? 2, 2 q?q 2 2

而 q ? Z , q ? 2, a1 ? 2, S8 ? 二、填空题 1. 8

2(1 ? 28 ) ? 29 ? 2 ? 510 1? 2

3.

65 12

a5 ? a2 33 ? 9 7 ? ? d ? 8 2. 49 S7 ? ( a1 ? a7) ? 7 a4 ? 4 9 5?2 5?2 2 9 a5 2a5 a1 ? a9 2 (a1 ? a9 ) S9 7 ? 9 ? 2 65 ? ? ? ? ? ? b5 2b5 b1 ? b9 9 (b ? b ) S "9 9?3 12 1 9 2

4. ? 753 3 5. ? 2 6. 1 ?

q6 ? 25, q ? ? 3 5, a10 ? a9 ? q ? ?75 3 5
a4 a7 ? a1 a1 ? 2 0 ?

1 2n

log3 3 3 ... 3 ? log 3 (3 2 ? 3 4 ??? 3 2 ) ? log 3 (3 2 ?? ? ??? ?
n

1

1

1

1 1 1 ? ?...? n 4 2

)

n

1 1 [1 ? ( )n ] 1 1 1 2 2 ? 1? 1 ? ? 2 ? ... ? n ? 1 2 2 2 2n 1? 2
三、解答题 1. 解:设四数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,则 4a ? 26, a ? d ? 40
2 2

13 3 3 ,d ? 或? , 2 2 2 3 当 d ? 时,四数为 2,5,8,11 2 3 当 d ? ? 时,四数为 11,8,5, 2 2
即a ? 2. 解: a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 , a12 ? a5 ? 7d ? 2.8, d ? 0.4

a20 ? a12 ? 8d ? 3.1 ? 3.2 ? 6.3
∴ a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 ? 6.3? 5 ? 31.5 3. 解:原式= (a ? a2 ? ... ? an ) ? (1 ? 2 ? ... ? n)

? (a ? a 2 ? . .?. a n ?)

n( n ? 1 ) 2

? a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? (a ? 1) ? ? 1? a 2 ?? 2 ? n ? n (a ? 1) ? ?2 2
4. 解:显然 q ? 1 ,若 q ? 1 则 S3 ? S6 ? 9a1 , 而 2S9 ? 18a1, 与 S 3 ? S 6 ? 2S 9 矛盾 由 S3 ? S6 ? 2S9 ?

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q9 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

1 2q 9 ? q 6 ? q 3 ? 0, 2(q 3 ) 2 ? q 3 ? 1 ? 0, 得q 3 ? ? , 或q 3 ? 1, 2
而 q ? 1 ,∴ q ? ?
3

4 2

参考答案(数学 5 必修)第二章 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.B

a1a4 ? a32 ,(a2 ? 2)(a2 ? 4) ? (a2 ? 2)2 ,2a2 ? ?12, a2 ? ?6
S9 9a5 9 5 ? ? ? ?1 S5 5a3 5 9

2.A

3.D

lg 2 ? lg(2x ? 3) ? 2lg(2x ?1), 2(2x ? 3) ? (2x ?1)2
x 2 (2 )? 4 ? x2 ? 5 ? 0x, 2 ?x 5? , 2 log 5

4.D

?a ? aq ? aq 2 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ? 设三边为 a, aq, aq 2 , 则 ?a ? aq 2 ? aq ,即 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ?aq ? aq 2 ? a ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ?

?1 ? 5 1? 5 ?q? ? 2 2 ? ?1 ? 5 1? 5 ? 得 ?q ? R ,即 ?q? 2 2 ? ? 1 ? 5 ? 1 ? 5 ?q ? , 或q ? ? 2 2 ? 1 5.B a3 ? ?4, a7 ? 4, d ? 2, tan A ? 2, b3 ? , b6 ? 9, q ? 3, tan B ? 3 3
tan C ? ? tan( A ? B) ? 1 , A, B, C 都是锐角
6.A 7.B

S1 ? Sn , S2 ? S2n ? Sn , S3 ? S3n ? S2n , Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , 成等差数列

log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 ? log3 (a1a2 ...a10 ) ? log3 (a4a5 )5 ? log3 (310 ) ? 10
a3 ? a 5 ? a 2 ?a ? 6 38
7 (10 n ? 1) 9
1 2 9, 99, 999, 999 ? 9...1 0 ?

二、填空题 1. 38 2. a n ? 3. 5 4. 0 5. 18

1 ,3 1 ?0

4

7 1? , 1 0 ? 1 ,? 10 9

1, 7

9

2 2 (a3 ) ? 2 a3 a5? (a52 ) ? ( a3? a5 ) ? 2 5a,3? a5 ? 2 (m ? n , 0 ,即 ) Sm ? n ? 0 Sn ? a n ? b该二次函数经过 n

5

3a7 ? 1 7a, 7 ?

17 ,a 19 1 ? 7 2 1 3? 7 ? k(? ? 9) k? , 3

2 a7 7 ? 9 , d ? 7 , ak ? a , ? 9 k ? 3 18

d(

9)

6.

4n ? 1 3

1 2 Sn ? 2n ? 1, Sn ?1 ? 2n ?1 ? 1, an ? 2n ? 1, an 2? 4n ? , a 1 ? 1, q ? 4, S n ?

1 ? 4n 1? 4

三、解答题
2 1. 解:设原三数为 3t , 4t ,5t ,(t ? 0) ,不妨设 t ? 0, 则 (3t ? 1)5t ? 16t , t ? 5

3t ? 1 5 , t4?

2 0t ,?5 ∴原三数为 25, 1 5 , 2 0 ,。 25
2 n?1

2. 解:记 Sn ? 1 ? 2x ? 3x ? ... ? nx
2

, 当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
3 n?1

1 n(n ? 1) 2

当 x ? 1 时, xSn ? x ? 2x ? 3x ? ... ? (n ?1) x

? nxn ,

(1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x ? x ? ... ? x
2 3

n?1

? nx , Sn ?
n

1 ? xn ? nx n 1? x

?1 ? x n ? nxn ( x ? 1) ? ? 1? x ∴原式= ? ? n(n ? 1) ( x ? 1) ? 2 ?
3. 解: bn ? an ? ?

?11 ? 2n, n ? 5 n 2 ,当 n ? 5 时, S n ? (9 ? 11 ? 2n) ? 10n ? n 2 ?2n ? 11, n ? 6
n?5 (1 ? 2n ? 11) ? n 2 ? 10n ? 50 2

当 n ? 6 时, S n ? S5 ? S n ?5 ? 25 ?
2 ? ?? n ? 10n, (n ? 5) ∴ Sn ? ? 2 ? ?n ? 10n ? 50, (n ? 6)

4. 解: a1a3 ? a22 ? 36, a2 (1 ? q2 ) ? 60, a2 ? 0, a2 ? 6,1 ? q2 ? 10, q ? ?3,

2(1 ? 3n ) ? 400,3n ? 401, n ? 6, n ? N ; 当 q ? 3 时, a1 ? 2, Sn ? 1? 3
当 q ? ?3 时, a1 ? ?2, Sn ? ∴ n ? 8, 且n为偶数

?2[1 ? (?3)n ] ? 400,(?3)n ? 801, n ? 8, n 为偶数; 1 ? (?3)

参考答案(数学 5 必修)第二章 [提高训练 C 组]
一、选择题 1.B

an ?

1 n ? n ?1

? n ? 1 ? n , Sn ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 1 ? n

Sn ? n ?1 ?1 ? 9, n ?1 ? 10, n ? 99
2.A

S4 ? 1, S8 ? S4 ? 3, 而 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 , S20 ? S16 , 成等差数列
即 1,3,5,7,9, a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? S20 ? S16 ? 9

3.D

a5 ? 2a4 ? a3 ? 2a2 ? 0, a5 ? a3 ? 2a4 ? 2a2 , a3 (q2 ?1) ? 2a2 (q2 ?1)
a3 ? 2a2或q2 ?1 ? 0, q ? 2,1或 ?1 ,当 q ? 1 时, an ? 6 ;
当 q ? ?1 时, a1 ? ?6, an ? ?6 ? (?1)
n?1

? 6 ? (?1)n?2 ;

当 q ? 2 时, a1 ? 3, an ? 3 ? 2n?1 ? 6 ? 2n?2 ; 4.C

2700 ? 200 ? 50d ? 50, d ? 1, S50 ?

50 (a1 ? a50 ) ? 200 , 2

a1 ? a50 ? 8, 2a1 ? 49d ? 8, 2a1 ? ?41, a1 ? ?20.5
5.C

am ? am ? am2 ? 0, am (am ? 2) ? 0, am ? 2,
2m ? 1 (a1 ? a2 m ?1 ) ? (2m ? 1)a2 m ? 38, 2m ? 1 ? 19 2 2n ? 1 (a1 ? a2 n ?1 ) S an 2an 2(2n ? 1) 2n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ?1 ? ? bn 2bn 2n ? 1 (b ? b ) T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 1 3n ? 1 1 2 n ?1 2 S2 m?1 ?
1 n

6.B

二、填空题 1. ?

1 1 1 1 1 ? ?1 1 ? ?1, ? ? ? 1, ? ? 1 , ? 是以 为首项,以 ?1 为 an an a?n 1 an a ? ? a a1 ?1 1 n
公差的等差数列,

1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n, an ? ? an n

2. 100

a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? S12 ? S7 ? 122 ? 12 ? 1? (72 ? 7 ? 1) ? 100
2 a ? c ?2 b , c? 2 b? a , ab ? 2 c?( 2 ? b2 ) a , 2 a ?5 a ?b 4

3. 4 : 1 : (?2)

? b 0

a? b , a? 4 b , c ? ?2 b
4. 10

S1 0 0?

100 (a ? )0 ?045, a ? a1 ? 1 0.9, ? 1 a 1 0 0 a ?a 1 a ? 9a 9 2 50 50 S " ? (a1 ? a 9 9)? ? 0 .? 4 10 2 2

?1d ? 0.4, 1 0 0

5. 156 a3 ? a7 ? a10 ? a11 ? a4 ? 12, a3 ? a11 ? a10 ? a4 , a7 ? 12, S13 ?

13 (a1 ? a13 ) ? 13a7 2

6.

5 ?1 2

设 an ? an ?1 ? an ? 2 ? qan ? q an , q ? q ? 1 ? 0, q ? 0, q ?
2 2

?1 ? 5 2

三、解答题 1. 解: Sn ? 3 ? 2n , Sn?1 ? 3 ? 2n?1, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) 而 a1 ? S1 ? 5 ,∴ an ? ?

?5, (n ? 1)
n ?1 ?2 , (n ? 2)

2. 解:设此数列的公比为 q, (q ? 1) ,项数为 2 n ,

则 S奇 ?

a2 (1 ? q 2n ) 1 ? (q 2 ) n ? 85, S ? ? 170, 偶 1 ? q2 1 ? q2

a2 1 ? 22n ? ? q ? 2, ? 85, 22n ? 256, 2n ? 8, S奇 a1 1? 4 S偶
∴ q ? 2, 项数为 8 3. 解: an ? 3 ? (n ?1)lg 2, ?an ? 是以 3 为首项,以 ? lg 2 为公差的等差数列,

n lg 2 2 6 ? lg 2 Sn ? [3 ? 3 ? (n ? 1) lg 2] ? ? n ? n, 2 2 2
对称轴 n ?

6 ? lg 2 ? 10.47, n ? N * ,10,11 比较起来10 更靠近对称轴 2lg 2

∴前 10 项和为最大。

另法:由 ?

?an ? 0 ,得 9.9 ? n ? 10.9 a ? 0 ? n?1

?n ? (?4), n为偶数 ? ??2n, n为偶数 ?2 ,Sn ? ? , 4. 解: S n ? ? ?2n ? 1, n为奇数 ? n ? 1 ? (?4) ? 4n ? 3, n为奇数 ? ? 2

S1 5 ? 2 9 ,S 2 2? ? 4 4S , S15 ? S22 ? S31 ? ?76

31

? 6 1,



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