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微分与导数习题


第一部分:导数、微分计算方法的总结;导数应用
第二部分:与导数有关的证明题型的分析
1. 已知 lim
x ?0

1 ? f ( x) tan x ? 1 e2x ? 1

? 3 ,则 lim f ( x) ? (
x ?0

) (D)0。 )

(A) 12;

(B)3;
(1,2)

(C) 1;
f ( x ? y )dx ? f ( x ? y )dy ? (
f (3) ? f (0)

2. 设 f 有连续的一阶导数,则 ?(0,0)
(A) 2?
1 0

f ( x ) dx

; (B) ?

3

0

f ( x ) dx



(C)



(D) 0 .

3. 设函数 f ( x) 在 x0 的一个邻域内有定义,则在 x0 点处存在连续函数
g ( x) 使 f ( x) ? f ( x 0 ) ? ( x ? x 0 ) g ( x) 是 f ( x) 在 x0 点处可导的(



(A)充分而非必要条件; (C)充分必要条件;

(B)必要而非充分条件; (D)既非充分,也非必要条件。

4. 设 ? 为 f ( x) ? arctan x 在 [ 0, b] 上应用拉格朗日中值定理的“中值” ,则
lim
b?0

?2
b2

?

…………………( (B)
1 2

) (C)
1 3

(A) 1;





(D)

1 4

.

5.

设 f ( x ) , g ( x ) 连续,当 x ? 0 时, f ( x ) 与 g ( x) 为等价无穷小,令
x 0

F ( x ) ? ? f ( x ? t )dt

,G( x ) ? ? 0 x g ( xt ) dt , 则当 x ? 0 时,F ( x ) 是 G ( x ) 的 (B) 低阶无穷小;

1





(A) 高阶无穷小;

(C) 同阶无穷小但非等价无穷小;(D) 等价无穷小.

6. 设 f ( x, y) 在点 (0,0) 的某邻域内连续,且满足
则 f ( x, y ) 在点 (0,0) 处 (A) 取极大值; (C) 无极值; … ( )

lim
x ?0 y ?0

f ( x, y ) ? f (0,0) ? ?3 x 2 ? 1 ? x sin y ? cos2 y

(B) 取极小值; (D) 不能确定是否有极值.
f ( x)

7.



f ( x)

在 ( ??, ??) 连续,且导函数 y ? f ?( x ) 的图形如图所示,则

有…………………………… (



(A) 1 个极小值点与 2 个极大值点,无拐点; (B) 2 个极小值点与 1 个极大值点,1 个拐点; (C) 2 个极小值点与 2 个极大值点, 无拐点; (D) 2 个极小值点与 2 个极大值点,1 个拐点.

8.设 f ( x) ? ?

?x 2 , ?2 ? x ,

0 ? x ?1 1? x ? 2

F ( x) ? ? f (t )dt ,则 F(x)=(
0

x



? x3 , 0 ? x ?1 ? ?3 (A) ? ; 2 ? 1 ? 2 x ? x ,1 ? x ? 2 ? 2 ?3 ? x3 , 0 ? x ?1 ? ?3 ; (C) ? 3 2 x x ? ? 2 x ? ,1 ? x ? 2 ? 2 ?3

? x3 , 0 ? x ?1 ? ?3 (B) ? ; 2 ?2 x ? x ,1 ? x ? 2 ? 2 ? ? x3 , 0 ? x ?1 ? ?3 (D) ? 。 2 7 x ?? ? 2 x ? ,1 ? x ? 2 ? 2 ? 6

9.函数 f ( x, y ) ?

xy ,在点 (0,0) 处 f ( x, y ) (



(A)可微; (C)连续,但偏导数不存在;

(B)偏导数存在,但不可微; (D)不连续且偏导数不存在。

10. 设 ? ( x) 为区间 [0,1] 上的正值连续函数, a 与 b 为任意常数,区域
D ? ?( x, y ) 0 ? x, y ? 1?,则 ??
D

a? ( x) ? b? ( y ) dxdy ? ( ? ( x) ? ? ( y )

) (D) ?a ? b ? 。
1 2

(A) a ;

( B) b ;

(C) a ? b ;

11.设函数 f (x)可导,并且 f ??x0 ? ? 5 ,则当 ?x ? 0 时,该函数在点 x0 处
微分 dy 是 ?y 的( ) (B)同阶但不等价的无穷小; (D)低阶无穷小。

(A)等价无穷小; (C)高阶无穷小;

12.设函数 f (x)在点 x = a 处可导,则 f ?x ? 在点 x = a 处不可导的充要
条件是( ) (B)f (a)≠0,但 f ??a ? ? 0 ; (D)f (a)≠0,且 f ??a ? ? 0

(A)f (a) = 0,且 f ??a ? ? 0 ; (C)f (a) = 0,且 f ??a ? ? 0 ;
1 ? ? ? x sin x x ? 0 ? f ? x? ? ? n ?lim ? n ? x ? ? ? ? ? n ?? ? ?n?x? ?

13.设

,试讨论 f ? x ? 在 x ? 0 处的连续性。
x?0

14.设函数 y ? y ( x) 由参数方程 ?
f ?(0) ? 0 ,则
dy dx
?
t ?0

? x ? f (t ) ? ?
3t ? y ? f (e ? 1)

所确定,其中 f 可导,且



15. 由方程 xyz ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 所确定的函数 z ? z ( x, y ) 在点 (1,0,?1) 处
的全微分 dz = 16.
若关于x的方程kx ? 常数k ? ____ 1 ? 1( k ? 0)在区间(0,?)内有唯一的实数根,则 x2



17.

设f ( x )在( ? 1,1)上有定义,在x ? 0处可导,且( f 0) ? 0:证明 lim ? f (
n ?? k ?1 n

k f '(0) )? . 2 n 2

18.
设函数( f x)在区间【a, b]上连续,由积分中值公式得 ? f (t )dt ? ( x ? a ) f (? )
0 x

( a ? ? ? x ? b), 若导数f '? ( a )存在且非零,则 lim?
x ?a

? ?a
x?a

的值等于____ f ?x ? ? 0 , f ???0 ? ? 4 ,求 x

19. 设函数 f (x) 具有连续的二阶导数,且 lim
x ?0

f ?x ?? x ? lim ?1 ? 。 x ?0 x ? ? ?

1

? x ? 1 ? 2t 2 , d2 y u ?t ? 1? 所确定, 20、 设函数 y ? y ?x ? 由参数方程 ? 求 2 。 1? 2lnt e ? dx x ? 9 du , ? y ? ?1 u ?

21.

? 1 ax ?1?x ? ,其中 a ? 0, a ? 1 . 求 lim ? ? x ? ??? x a ?1 ? ? ?

1

22、设函数 f ( x) 满足 f (1) ? 1 ,且对 x ? 1 时,有 f ?( x) ?
(1) xlim f ( x) 存在; (2) xlim f ( x) ? 1 ? 。 ??? ???
f ( x) ? x ? 3 lim?1 ? x ? ? ?e x ?0 x ? ? 。 f ( x) ? x ? lim?1 ? ? x ?0 x ? 。 求: f (0) , f ?(0) , f ??(0) 及 ?
1 1

1 ,证明: x ? f 2 ( x)
2

?

4 f ( x ) 23、设函数 在点 x ? 0 的某邻域内具有二阶导数,且

24. 设 f ? x ? 在 x ? 1 点 附 近 有 定 义 , 且 在 x ? 1 点 可 导 , f ?1? ? 0 ,
f ? ?1? ? 2



25.求下列极限.
? ? 1 ?n ? lim n ? ?1 ? ? ? e ? ? n ?? ? ?? n ? ?; (1)
1 1 ? 1 n n a ? b ? cn ? lim n ?? ? 3 ? ? (2)

? ? ? ? ? ,其中 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 .

n

26. 设 f ( x) 在

x ?1 点 附 近 有 定 义 , 且 在 x ?1 点 可 导 , 并 已 知

f (1) ? 0, f ?(1) ? 2 .求 lim
x ?0

f (sin 2 x ? cos x) . x 2 ? x tan x

27、是否存在 ?1 中的可微函数 f ( x) 使得

f ( f ( x)) ? 1 ? x 2 ? x 4 ? x3 ? x5 ?

若存在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明.
e x ? e 2 x ? ? ? e nx x ( ) ,其中 n 是给定的正整数. 28.求极限 lim x ?0 n
1 f ( x) 29.设函数 f ( x) 连续,g ( x) ? ?0 f ( xt )dt , 且 lim 求 g ?( x) ? A ,A 为常数, x ?0
e

x

并讨论 g ?( x) 在 x ? 0 处的连续性.
x 30.设 f ( x) ? nlim ??
2 n ?1

? ax 2 ? bx

x 2n ? 1

(n ? N ) ,试确定 a 、b 的值,使 lim f ( x) 与 lim f ( x)
x?1
x??1

都存在.

31.设 F ( x) 是

f ( x) 的一个原函数,且 F (0) ? 1 , F ( x) f ( x) ? cos 2 x ,求 ? | f ( x) | dx .
0

?

?f ? ? f ( x, y ), 32.设函数 f ( x, y) 可微, ?x

? ?? f ? 0, ? ? 1 , ? 2?

1 ? ? ? f ( 0, y ? n ) ? coty 且满足 nlim ? ? ?e ?? f y 0, ? ? ? ? ? ? ? ?

n



f ( x, y ) .

33. ⑴ 证明:当 x 充分小时,不等式 0 ? tan 2 x ? x 2 ? x 4 成立。
⑵ 设 x n ? ? tan 2
k ?1 n

1

n?k

,求 lim x n 。
n ??

34. 设 函 数 f ? x ? 在 ?0,1? 上 连 续 , 在 ? 0,1? 内 可 微 , 且
?1? f ? 0 ? ? f ?1? ? 0,f ? ? ? 1 ?2? .

35. 证明方程 2 x ? x 2 ? 1有且仅有三个实根. 36. 设 常 数
k ? ln2 ? 1 , 证 明 : 当 x > 0 且 x ≠

1 时,

?x ? 1??x ? ln 2 x ? 2klnx ? 1? ? 0 。
37. 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续,且存在 c ? (a, b) 使得 f ?(c) ? 0 ,证明:
?? ? (a, b) 使得 f (? ) ? f (a ) f ?(? ) ? 。 b?a
2n 2 n ?1 38. 设正整数 n ? 1 , 证明方程 x ? a1 x ? ? ? a 2 n ?1 x ? 1 ? 0 至少有两个实

根。
39. 设 f ( x ) 在区间 ( ??, ??) 连续, F ( x ) ? 2a ? x ?a
1
x?a

f (t ) dt (a >0), G ( x ) ? ? f (t ) dt ,
0

x

试解答下列问题: (1)用 G ( x ) 表示 F ( x ) ; (2)求 F ?( x ) ; (3)求
F ( x ) ?? f ( x ) ; 证: lim a ?0

(4)设 f ( x ) 在 ? x ? a , x ? a ? 内的最大值和最小值分别是 M 、m ,求 证:
F ( x) ? f ( x) ? M ? m .

40.设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可微,且 f (0) ? f (1) ? 0, f ( ) ? 1 .

1 2

证明:(1) 存在一个 ? ? ( ,1) 使得 f (? ) ? ? ;(2) 存在一个 ? ? (0, ? ) 使得
f ' (? ) ? f (? ) ? ? ? 1 .

1 2

41. 设 n ? 1 为整数,
t t2 tn F ( x) ? ? e (1 ? ? ? ... ? ) dt . 0 n! 1! 2!
x ?t

证明:方程 F ( x) ? 在 ( , n) 内至少有一个根.
42. 假 设 函 数
f ( x) 在 [0, 1] 上 连 续 , 在 (0, 1) 内 二 阶 可 导 , 过 点
B (1, f (1)) 的 直 线 与 曲 线

n 2

n 2

A(0, f (0)) , 与 点

y ? f ( x) 相 交 于 点

C (c, f (c)) ,其中 0 ? c ? 1 . 证明:在 (0, 1) 内至少存在一点 ? ,使 f ??(? ) ? 0 .


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