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2017届高考数学二轮复习集合常用逻辑用语平面向量复数算法合情推理不等式2平面向量复数运算限时速解训练文


限时速解训练二

平面向量、复数运算

(建议用时 40 分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z =( A.2-3i C.3+2i D. B.2+3i 3-2i
2

)

解析:选 A.∵z=i(3-2i)=3i-2i =2+3i,所以 z =2-3i,故选 A. → → → → 2 2.在△ABC 中,(BC+BA)·AC=|AC| ,则△ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

→ → → → → → → → → → 2 解析:选 C.由(BC+BA)·AC=|AC| 得(BC+BA-AC)·AC=0,则 2BA·AC=0,即 BA⊥AC, 故选 C. ?1-i? 3.已知 =1+i(i 为虚数单位),则复数 z=(
2

z

)

A.1+i C.-1+i
2

B.1-i D.-1-i

?1-i? -2i -2i?1-i? 解析:选 D.z= = = =-1-i. 1+i 1+i ?1+i??1-i? → → 4.已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则BD·CD=( 3 2 A.- a 2 3 2 C. a 4 3 2 B.- a 4 3 2 D. a 2 )

→ → → → → → → → 1 3 2 2 2 2 解析:选 D.BD·CD=(BC+CD)·CD=BC·CD+CD = a +a = a . 2 2 5.(2016·广西南宁适应性测试)已知 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若(1-i) z =2,则 z 为( A.1+i C.2+i 解析:选 B.依题意得 z = ) B.1-i D.2-i 2 2?1+i? = =1+i,∴z=1-i,选 B. 1-i ?1-i??1+i?

1

→ → → 6.若向量AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=( A.(1,1) C.(3,7)

)

B.(-1,-1) D.(-3,-7)

→ → → → → 解析:选 B.因为AB=(2,4),AC=(1,3),所以BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1), 故选 B. 7.i 为虚数单位,则? A.-i C.i 解析:选 B.因为?

?1+i?2 018=( ? ?1-i?
D.1

)

B.-1

?1+i?2 018=(i2)1 009=(-1)1 009=-1. ? ?1-i?
)

→ → 8.已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为( 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 3 15 B. 2 3 15 D.- 2

→ → → 解析:选 A.AB=(2,1),CD=(5,5),|CD|=5 2, → → → → AB·CD 15 3 故AB在CD上的投影为 = = 2. → 5 2 2 |CD| 9.(2016·陕西西安质检)设复数 z1 和 z2 在复平面内的对应点关于坐标原点对称,且 z1=3 -2i,则 z1·z2=( A.-5+12i )

B.-5-12i

C.-13+12i D.-13-12i 解析:选 A.z1=3-2i,由题意知 z2=-3+2i, ∴z1·z2=(3-2i)·(-3+2i)=-5+12i,故选 A. → → → → 10.(2016·辽宁沈阳质检)在△ABC 中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC → → 的三等分点,则AE·AF=( 8 A. 9 25 C. 9 ) 10 B. 9 26 D. 9

2

→ → → → → → 解析: 选 B.由|AB+AC|=|AB-AC|, 化简得AB·AC=0, 又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边, → → 它们的长不可能为 0,所以AB与AC垂直,所以△ABC 为直角三角形.以 AC 所在直线为 x 轴, 以 AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(0,0),B(0,2),C(1,0).不妨

?2 2? 令 E 为 BC 的靠近 C 的三等分点,则 E? , ?, ?3 3? ? ? ? ? ? ? F? , ?,所以AE=? , ?,AF=? , ?,所以AE·AF= × + × = . 3 3 3 3 3 3
1 4 2 2 1 4 → → →

?

?

?

?

?

?

→ 2 1 2 3 3 3

4 10 3 9

11.(2016·辽宁五校联考)已知复数 z=1+i,则 A.-2i B.2i

z2-2z =( z-1

)

C.-2 D.2 解析:选 B.

z2-2z ?1+i?2-2?1+i? -2 = = =2i,故选 B. z-1 i i
)

12. 设 x, y∈R, 向量 a=(x,1), b=(1, y), c=(2, -4), 且 a⊥c, b∥c, 则|a+b|=( A. 5 C.2 5 解析:选 B.由?
?a⊥c, ? ?b∥c ?

B. 10 D.10
?2x-4=0, ? ?? ?2y+4=0 ?

??

?x=2, ? ?y=-2, ?

∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1), ∴|a+b|= 10,故选 B. 二、填空题(把答案填在题中横线上) 13.已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λ a+b=0(λ ∈R),则|λ |=________. 解析:∵λ a+b=0,即 λ a=-b,∴|λ ||a|=|b|. ∵|a|=1,|b|= 5,∴|λ |= 5. 答案: 5 14.设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=__________. 解析: 复数 a+bi(a, b∈R)的模为 a +b = 3, 则 a +b =3, 则(a+bi)(a-bi)=a -(bi) =a -b ·i =a +b =3.
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

答案:3 → → → → → 15.已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=__________. → → → → 解析:∵OA⊥AB,∴OA·AB=0, → → → 即OA·(OB-OA)=0, → → → 2 ∴OA·OB=OA =9. 答案:9 16.i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为________. 解析:∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i 为纯虚数,
? ?1-2a≠0, ∴? ?2+a=0, ?

解得 a=-2.

答案:-2

4


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