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2012备考高考数学模拟题(6)


2012 备考高考数学模拟题(6)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 P ? {x |

x 3 3 ? 0}, Q ? {x || x ? |? }, 那么" m ? P " 是 " m ? Q " 的 x ?1 2 2
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件





A.充分不必要条件 C.充要条件

2. 公差不为 0 的等差数列 {an } 中,

2 3a2005 ? a2007 ? 3a2009 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

b2007 ? a2007 ,则 b2006b2008 ? (



A.4 B.8 C.16 D.36 2 3. 若纯虚数 z 满足 (2 ? i) z ? 4 ? b(1 ? i) (其中 i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? ( ) A. ?2 B. 2 C.-4 D.4 4.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体 积为( )

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A. 12 3

B. 36 3

C.

27 3

D. 6

2 2 2 2 2 5.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A ? B ? C , C ? 0 )与圆 x ? y ? 4 交于 M , N ,

O 是坐标原点,则 OM · =( ON A.- 1 6.设 a ? B.- 1
?

) D.2

C. - 2

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?

1 6 ) ,展开式中含 x 2 项的系数是( x



A. ?192 B. 192 C. -6 D. 6 7.已知对数函数 f ( x) ? loga x 是增函数,则函数 f (| x | ?1) 的图象大致是( )

A
2

B

C

D

8 . 关 于 x 的 方 程 x ? (a ? 1) x ? a ? b ? 1 ? 0(a ? 0, a、b ?R) 的 两 实 根 为 x1 , x2 , 若

b 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则 的取值范围是( a 4 3 4 A. ( ?2, ? ) B. ( ? , ? ) 5 2 5

) C. ( ?

5 2 ,? ) 4 3

D. ( ?

5 1 ,? ) 4 2

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9—12 题) 9. 右图是 2008 年北京奥运会上,七位评委为某奥运项目打出 7 9 8 4 4 6 4 7 的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩 9 3 数据的平均数为 ;方差为 . 10.已知 f ( x) ? ?

?cos?x, x ? 0 4 ,则 f ( ) 的值为_______. 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
_. 结束

11. 在如下程序框图中,已知: f0 ( x) ? xe x ,则输出的是_________ 开始 输入f 0 (x )

i?0

i ? i ?1


f i ( x) ? f ' i ?1 ( x)


i =2009

输出 f i (x)

12. 设 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 点 P 在 椭 圆 上 , 且 a 2 b2 ???? ???? ? 3 ,则该椭圆的离心率为 . PF1 ? PF2 ? 0 , tan ?PF1F2 ? 3

(二)选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题) 13.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,从极点 O 作直线与另一直线 l : ? cos ? ? 4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM ? OP ? 12 .设 R 为 l 上任意一点,则 RP 的最小 值 . 14. (不等式选讲选做题)若关于 x 的不等式 x ? x ?1 ? a ( a ?R)的解集为 ? ,则 a 的取 值范围是 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,⊙ 1 与⊙ 2 交于 M、N 两 O O 点,直线 AE 与这两个圆及 MN 依次交于 A、B、C、D、E.且 AD=19,BE=16,BC=4,则 AE= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知在 VABC 中, ?A ?B﹑?C 所对的边分别为 a﹑b﹑c,若 ﹑ (Ⅰ)求角 A、B、C 的大小;
C (Ⅱ)设函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? A? ? cos ? 2x ? ? ,求函数 f ? x ? 的单调递增区间,并指出它相 ? ? .. ? 2?
cos A b 且 sin C ? cos A ? cos B a

邻两对称轴间的距离. 17. (本小题满分 13 分) 在 2008 年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名 队员, A 队队员是 A 、A2、A , B 队队员是 B 、 2、B3 , 按以往多次比赛的统计, B 1 3 1 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得 1 分,

负队得 0 分, 设 A 队、B 队最后所得总分分别为 ? 、 ? , 且 ? ? ? ? 3 . (Ⅰ)求 A 队得分为 1 分的概率; (Ⅱ)求 ? 的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强. 对阵队员

A 队队员胜

A 队队员负

A 对 B1 1

A2 对 B2
A3 对 B3
18. (本小题满分 13 分)

2 3 2 5 3 7

1 3 3 5 3 5

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 左右顶点分别为 A、C , 上顶点为 B , a 2 b2 过 F , B, C 三点作圆 P ,其中圆心 P 的坐标为 ?m, n? . (Ⅰ)当 m ? n ? 0 时,椭圆的离心率的取值范围. (Ⅱ)直线 AB 能否和圆 P 相切?证明你的结论.
已知椭圆 19. (本小题满分 13 分) 在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE:EB=CF:FA =CP:PB=1:2(如图 1).将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成直 二面角,连结 A1B、A1P(如图 2)

(Ⅰ)求证:A1E⊥平面 BEP; (Ⅱ)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (III)求二面角 B-A1P-F 的余弦值. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? logk x ( k 为常数, k ? 0 且 k ? 1 ) ,且数列 ? f (an )? 是首项为 4, 公差为 2 的等差数列. (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (Ⅱ) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 k ?

2 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ;

(III)若 cn ? an lg an ,问是否存在实数 k ,使得 ?cn ? 中的每一项恒小于它后面的项? 若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 F(x)=|2x-t|-x3+x+1(x∈R,t 为常数,t∈R). (Ⅰ)写出此函数 F(x)在 R 上的单调区间; (Ⅱ)若方程 F(x)-k=0 恰有两解,求实数 k 的值.

【答案及详细解析】
一、选择题:本大题理科共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 文科共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.【解析】A.

P ? Q .选 A.

x 3 3 3 3 3 ? 0 ? x( x ? 1) ? 0( x ? 1) ? 0 ? x ? 1 ; | x ? |? ? ? ? x ? ? ? 0 ? x ? 3 , x ?1 2 2 2 2 2

【链接高考】本题主要考查集合的有关知识,解不等式,以及充要条件等知识.集合是学习其 它知识的基础,在高考中时有出现,通常与函数、不等式的知识综合考查,难度不大,基本 是送分题.
2 2 2. 【 解 析 】 D. 解 : 3a2005 ? a2007 ? 3a2009 ? 0 , 即 6a2007 ? a2007 ? 0 , a2007 (a2007 ? 6) ? 0 , 由

2 a2007 ? b2007 ? 0 知, b2007 ? a2007 ? 6 . b2006b2008 ? b2007 ? 62 ? 36 .

【链接高考】 本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质. 纵观近几年的高考, 基本上是考查两个基本数列的通项公式和前 n 项和公式的简单运用.这种趋势近几年还会保 持. 两类基本数列问题,是高考的热点. 3. 【解析】 设 z ? ai (a ? 0) ,则有 (2 ? i) ? ai ? 4 ? 2bi ,即 a ? 2ai ? 4 ? 2bi ,即 a ? 4, 2a ? ?2b , C. b ? ?4 . 解得 【链接高考】有关复数的考查,最近五年只是一道选择题,主要考查复数的基本概念和 复数的简单运算. 4. 【解析】B.棱柱的高是 4,底面正三角形的高是 3 3 ,设底面边长为 a ,则

3 a?3 3, 2

? a ? 6 ,故三棱柱体积 V ?

1 2 3 ?6 ? ? 4 ? 36 3 . 2 2

【链接高考】三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题中,应予以重视. 5.解析】 【 C.圆心 O 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

C
2 2

A ?B ??? ??? ? ? 2? 2 ? ?2 ,故选 C. OA 所以 OM · =(· ?OB cos ?AOB ? 2? cos ON 3 【链接高考】本题是考察平面几何、向量、解析几何有关知识,预测也是今年是高
考考热点,要注意. 6. 【解析】A. a ?

所以 ? 1 , ?AOB ?

2? ,, 3

?
r

?

0

(sin x ? cos x)dx ? (? cos x ? sin x) ? ? 2 ,二项式 (2 x ? 0
6? r

1 6 ) 的 x

通项公式为 Tr ?1 ? C6 (2 x )
2

(?

1 r r ) ? (?1) r C6 26?r x3?r ,令 3 ? r ? 2 ,得 r ? 1 ,故展开 x

1 式中含 x 项的系数是 (?1)1 C6 26?1 ? ?192 .

【链接高考】本小题设计巧妙,综合考查定积分和二项式定理,是一道以小见大的中档 题,不可小视. 7. 【解析】B. f (| x | ?1) ? log a (| x | ?1) ? ?

?log a ( x ? 1), x ? 0 由函数 f ( x) ? loga x 是增 ?log a [?( x ? 1)], x ? 0.

函数知, a ? 1 .故选 B. 【链接高考】 本小题主要考查了对数函数的图象与性质, 以及分析问题和解决问题的能 力.这类试题经常出现,要高度重视.
2 8 . 解 析】 D.设 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ? b ? 1 , 则方程 f ( x) ? 0 的 两实根 x1 , x2 满 足 【

0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 的
? f (0) ? a ? b ? 1 ? 0 ? 充要条件是 ? f (1) ? 2a ? b ? 3 ? 0 ,作出点 ( a, b) 满足的可行域为Δ ABC 的内部,其中点 ? f (2) ? 3a ? b ? 7 ? 0 ?
b A(?2,1) 、 B(?3, 2) 、 C (?4,5) , 的几何意义是Δ ABC 内部任一点 ( a, b) 与原点 O 连线 a 1 2 5 b 5 1 的斜率,而 kOA ? ? , kOB ? ? , kOC ? ? 作图,易知 ? ( ? , ? ) . 2 3 4 a 4 2
【链接高考】 本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题, 考查化归转 化和数形结合的思想,能力要求较高. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9—12 题)

8 . 由茎叶图知,去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后,所剩数据 84, 5 84 ? 84 ? 86 ? 84 ? 87 ? 85 ;方差为 84,86,84,87 的平均数为 5 1 8 [(84 ? 85)2 ? (84 ? 85)2 ? (86 ? 85)2 ? (84 ? 85)2 ? (87 ? 85)2 ] ? . 5 5
9.【解析】 85 ; 【链接高考】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识,也是高考的新增内容, 考生应引起足够的重视,确保稳拿这部分的分数. 10.【解析】

3 4 4 1 .当 x ? 0 时, f ( x) ? f ( x ? 1) ? 1 ,故 f ( ) ? f ( ? 1) ? 1 ? f ( ) ? 1 2 3 3 3 1 2 2? 1 3 ? f ( ? 1) ? 1 ? 1 ? f ( ? ) ? 2 ? cos(? ) ? 2 ? ? ? 2 ? . 3 3 3 2 2

【链接高考】 本题主要考查分段函数,函数的周期性,三角函数的求值等.有关函数方程问 题时常出现在高考试题中,考生应该进行专题研究. 11. 由 f1 ( x) ? ( xex )' ? ex ? xex , f2 ( x) ? f1 '( x) ? 2e x ? xe x , ? f 2009 ( x) ? 2009e x ? xe x . 【链接高考】 读懂流程图是高考对这部分内容的最基本的要求, 也是最高考常见的题型. 本题是把导数的运算与流程图结合在一起的综合题.

3 知, ?PF F2 ? 30? . 1 3 c 2 ? 3 ? 1. 则 | PF | ? | PF2 |?| FF2 | (co s30? ? sin30? ) ? ( 3 ?1)c ? 2a ,即 e ? ? 1 a 3 ?1
12. 解析】 3 ? 1 .由 PF ? PF2 ? 0 知, PF1 ? PF2 .由 tan ?PF1 F2 ? 【 1 【链接高考】本题是有关椭圆的焦点三角形问题,却披上了平面向量的外衣,实质是解三 角形知识的运用. (二)选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题) 13.(坐标系与参数方程选做题) 【解析】1.设 P ? ? ,? ? , OM ?
2 2 2 在圆: x ? y ? 3 上,而 R 为直线 l : x ? 4 .由图象知, RP ? 1 . min

???? ???? ?

4 , ? ? 3cos ? .故 P cos ?

【链接高考】本小题主要考查直线与圆的极坐标方程的有关知识,以及转化与化归的思 想方法.解决本题的关键是将它们转化为直角坐标系下的直线与圆的位置关系问题来处理. 14. (不等式选讲选做题) 【解析】 (??,1] .因为 x ? x ?1 ? x ? ( x ?1) ? 1 ,所以若不等 式 x ? x ?1 ? a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围是 a ? 1 .

【链接高考】 本小题主要考查含绝对值三角不等式的性质, 这类问题是高考选做题中的 常规题,解题方法要熟练掌握. 15.(几何证明选讲选做题)解析】 因为 A, D, 四点共圆, 【 28. M, N 所以 AC ? CD ? MC ? CN . 同 ) 理,有 BC ? CE ? MC ? CN .所以 AC ? CD ? BC ? CE ,即 ( AB ? BC) ? CD ? BC? ( CD? CE , 所以 AB· CD=BC· DE. 设 CD = x, 则 AB = AD- BC-CD = 19-4-x=15-x, DE = BE- BC-CD = 16-4-x=12-x, 则

(15 ? x) x ? 4(12 ? x) ,即 x2 ? 19 x ? 48 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? 16 (舍).
AE=AB+ DE- BD=19+16-7=28. 【链接高考】本小题主要考查两圆的位置关系,以及相交弦定理的有关知识,分析问题和 解决问题的能力,以及转化与化归的思想方法. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理知:

cos A sin B ? ,得 sin 2 A ? sin 2 B cos B sin A

∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ? 当 A ? B 时,有 sin(? ? 2 A) ? cos A , 即 sin A ? 当 A? B ? ∴A?B?

?

?
?
6 2

时,有 sin(? ? ,C ?

?
2

2? 1 ? ,得 A ? B ? , C ? ; 3 2 6

2

) ? cos A ,即 cos A ? 1 不符题设

2? …………………7分 3

(Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知: f ( x) ? sin(2 x ? 当 2x ?

?

?
6

? [2k? ?

?

, 2k? ? ](k ? Z ) 时, f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 为增函数 2 2 6

?

) ? cos(2 x ? ) ? 2sin(2 x ? ) 6 3 6

?

?

?

即 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

6

) 的单调递增区间为 [k? ?

?

它的相邻两对称轴间的距离为

? . ………12 分 2

, k? ? ](k ? Z ) . ………11分 3 6

?

【链接高考】 解决本题的关键是,利用正弦定理把三角形边角问题转化为三角函数 问题是解题的关键,三角形与三角函数、向量与三角函数高考考察的热点. 17.【解析】 (Ⅰ)设 A 队得分为 1 分的事件为 A0 , ∴ P ( A0 ) ?

(Ⅱ) ? 的可能取值为 3 , 2 , 1 , 0 ;

2 3 4 1 2 4 1 3 3 41 . ………… 4 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105

2 2 3 12 P(? ? 3) ? P( A0 ) ? ? ? ? , 3 5 7 105
P(? ? 2) ? 2 2 4 1 2 3 2 3 3 40 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105

2 3 4 1 2 4 1 3 3 41 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105 1 3 4 12 P(? ? 0) ? ? ? ? , 3 5 7 105 ∴ ? 的分布列为:
?
0 1 2 3

P

12 105

41 105

40 105

12 105

………… 10 分 于是 E? ? 0 ? ∵ ? ?? ? 3 ,

12 41 40 12 157 , ? 1? ? 2? ? 3? ? 105 105 105 105 105

……………… 11 分

158 . ……………………… 12 分 105 由于 E? ? E? , 故 B 队比 A 队实力较强. ……………………… 13 分 【链接高考】 本题主要考查的是随机变量的分布列和数学期望问题.这是概率与统计大题 考查的主阵地,预计还有可能与函数、导数、方程、数列以及不等式等知识综合考查.
∴ E? ? ? E? ? 3 ? 18. 【解析】(Ⅰ)由题意 FC, BC 的中垂线方程分别为 x ? 于是圆心坐标为 ?

a?c b a? a? , y ? ? ? x ? ?, 2 2 b? 2?

? a ? c b 2 ? ac ? , ?. 2b ? ? 2

…………………………………4 分

a ? c b 2 ? ac ? ? 0 ,即 ab ? bc ? b2 ? ac ? 0 , m? n = 2 2b 2 2 2 2 2 即 ? a ? b ?? b ? c ? ? 0 ,所以 b ? c ,于是 b ? c > c 即 a ? 2c ,
1 2 ,即 0 < e < ? e ? 1. 2 2 (Ⅱ)假设相切, 则 k AB ? k PB ? ?1 ,
所以 e ?
2

………………7 分 ………………………………………9 分

b2 ? ac 2 2 2b ? b ? ac , k ? b ,? k ?k ? b ? ac ? ?1 ,……11 分 ? kPB ? AB PB AB a?c b( c ? a ) a a(c ? a) 0? 2 ?a2 ? c2 ? ac ? a2 ? ac,即c2 ? 2ac,?c ? 0,?c ? 2a 这与 0 ? c ? a 矛盾. 故直线 AB 不能与圆 P 相切. ………………………………………………13 分 b?
【链接高考】 本题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系以及分析问题与解决问题的能 力.圆锥曲线与圆的综合题经常出现在高考试题中,要引起足够的重视. 19. 【解析】不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 .

(解法一)(I)在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵AE : EB=CF : FA=1 : 2,∴AF=AD=2,而∠A=600,∴△ADF 是正三角形, 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD.…………2 分

在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE. 又 BE∩EF=E,∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP.……….4 分 (II)在图 2 中,∵A1E 不垂直于 A1B,∴A1E 是平面 A1BP 的斜线. 又 A1E⊥平面 BEP, ∴A1E⊥BP, 从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理) . 设 A1E 在平面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于点 Q,则 ∠EA1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角,…………………6 分 且 BP⊥A1Q. 在△EBP 中,∵BE=BP=2,∠EBP=600, ∴△EBP 是等边三角形,∴BE=EP. 又 A1E⊥平面 BEP,∴A1B=A1P,∴Q 为 BP 的中点,且 EQ= 3 , 又 A1E=1,在 Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=

EQ ? 3 ,∴∠EA1Q=600. A1 E

所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600.…………………8 分 (III)在图 3 中,过 F 作 FM⊥A1P 于 M,连结 QM,QF. ∵CF=CP=1, ∠C=600. ∴△FCP 是正三角形,∴PF=1. 又 PQ=

1 BP=1,∴PF=PQ. 2



∵A1E⊥平面 BEP,EQ=EF= 3 , ∴A1F=A1Q,∴△A1FP≌△A1QP, 从而∠A1PF=∠A1PQ. ∴∠QMP=∠FMP=900,且 MF=MQ, 从而∠FMQ 为二面角 B-A1P-F 的平面角.……………10 分 在 Rt△A1QP 中,A1Q=A1F=2,PQ=1,∴A1P= 5 . ∵MQ⊥A1P, ∴MQ= ② 由①②及 MP 为公共边知,△FMP≌△QMP,

A1Q ? PQ 2 5 2 5 ,∴MF= . ? 5 A1 P 5
MF 2 ? MQ 2 ? QF 2 7 ?? . 2MF ? MQ 8
7 ..……………..13 分 8

在△FCQ 中,FC=1,QC=2,∠C=600,由余弦定理得 QF= 3 . 在△FMQ 中,cos∠FMQ=

所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 ? (解法二)(I)同解法一.

(II)建立分别以 ED、EF、EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系, E(0,0,0),A(0,0,1), 则 B(2,0,0),F(0,

??? ? ??? ? ??? ? 3 ,0), P (1, 3 ,0),则 AE ? (0,0, ?1) , AB ? (2,0, ?1), BP ? (?1, 3,0) . ?? 设平面 ABP 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ?? ?? ??? ?? ??? ? ? 由 n1 ? 平面 ABP 知, n1 ? AB, n1 ? BP ,即

?? ?2 x1 ? z1 ? 0, ? 令 x1 ? 3 ,得 y1 ? 1, z1 ? 2 3 , n1 ? ( 3,1, 2 3) . ? ?? x1 ? 3 y1 ? 0. ? ??? ?? ? ??? ?? ? AE ? n1 3 ? 0 ? 1? 0 ? 2 3 ? (?1) 3 ? cos ? AE , n1 ?? ??? ?? ? ?? , 2 | AE | ? | n1 | ( 3) 2 ? 12 ? (2 3) 2 ? 02 ? 02 ? (?1) 2 ??? ?? ? ? AE, n1 ?? 120? ,
所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 600. (II) AF ? (0, 3, ?1), PF ? (?1,0,0) ,设平面 AFP 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) . 由 n2 ? 平面 AFP 知, n2 ? AF , n2 ? PF ,即

??? ?

??? ?

?? ?

?? ?

?? ?

??? ?? ? ?

??? ?

?? ? ??2 x2 ? 0, ? 令 y2 ? 1 ,得 x2 ? 0, z2 ? 3 , n2 ? (0,1, 3) . ? ? 3 y2 ? z2 ? 0. ? ?? ?? ? ?? ?? n1 ? n2 3 ? 0 ? 1? 1 ? 2 3 ? 3 7 ? cos ? n1 , n1 ?? ?? ?? ? ? , | n1 | ? | n2 | ( 3) 2 ? 12 ? (2 3) 2 ? 02 ? 12 ? ( 3) 2 8
所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 ?

7 ..……………..13 分 8

【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识,直线与平面垂直,直线于平面所成的角, 二面角的问题,以及分析问题与解决问题的能力.简单几何体是立体几何解答题的主要载体, 特别是棱柱和棱锥. 20. 解析】 【 (Ⅰ) 证: 由题意 f (an ) ? 4 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 2 , o k an 2 n ? , …… 即 lg ? 2
1分

an?1 k 2( n?1)? 2 ? 2 n? 2 ? k 2 . ……2 分 an k 2 ∵常数 k ? 0 且 k ? 1 ,∴ k 为非零常数, 4 2 ∴数列 ?an ? 是以 k 为首项, k 为公比的等比数列.
∴ an ? k 2n?2 ∴ (II) 解:由(1)知, bn 当k ?
3

……3 分

? an f (an ) ? k 2n?2 ? (2n ? 2) ,
…………4 分
4 5 n? 2

2 时, bn ? (2n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n?2 .


∴ S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2

① ②
……5 分

2Sn ? 2 ? 24 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?3 .
②-①,得 Sn ? ?2 ? 23 ? 24 ? 25 ??? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?3

? ?23 ? (23 ? 24 ? 25 ? ?? 2n?2 ) ? (n ?1) ? 2n?3
23 (1 ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2n ?3 ? n ? 2n?3 . ……8 分 1? 2 2 n?2 (III) 解:由(1)知, cn ? an lg an ? (2n ? 2) ? k lg k ,要使 cn ? cn?1 对一切 n ? N* 成立,
∴ Sn ? ?2 ?
3

即 (n ? 1)lg k ? (n ? 2) ? k ? lg k 对一切 n ? N 成立.
2
*

……9 分
*

① 当 k ? 1 时, lg k ? 0 , n ? 1 ? (n ? 2)k 对一切 n ? N 恒成立;……10 分
2
* 2 ② 当 0 ? k ? 1 时 , l gk ? 0, n ? 1 ? (n ? 2)k 对 一 切 n ? N 恒 成 立 , 只 需

? n ?1 ? k2 ? ? ? ,……11 分 ? n ? 2 ?min



n ?1 1 2 ? n ?1 ? ? 1? 单调递增,∴当 n ? 1 时, ? ? ? . n?2 n?2 ? n ? 2 ?min 3
2

……12 分

2 6 ,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? k ? . ……13 分 3 3 6 综上所述,存在实数 k ? (0, ) ? (1, ??) 满足条件. ……14 分 3
∴k ? 【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力,以及分类讨论和化归、 转化的思想方法. 错位相减法是数列求和的一种重要方法,备考复习中要引起重视.

t ? 3 ?? x ? 3 x ? 1 ? t , x ? 2 21.【解析】(Ⅰ) F ( x) ?| 2 x ? t | ? x 3 ? x ? 1 ? ? t ? ? x3 ? x ? 1 ? t x ? 2 ? t ? 2 ?? 3 x ? 3, x ? 2 ∴ F ' ( x) ? ? .……………..4 分 t ? ? 3 x 2 ? 1, x ? 2 ? 由-3x2+3=0 得 x1=-1,x2=1,而-3x2-1<0 恒成立, t ∴ i) 当 <-1 时,F(x)在区间(-∞,-1)上是减函数, 2 在区间(-1,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数. t t ii) 当 1> ≥-1 时,F(x)在区间(-∞, )上是减函数, 2 2 t 在区间( ,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数. 2 t iii) 当 ≥1 时,F(x)在(-∞,+∞)上是减函数. .……………..8 分 2 (II)由 1)可知 t i) 当 <-1 时,F(x)在 x=-1 处取得极小值-1-t, 2 在 x=1 处取得极大值 3-t,若方程 F(x)-m=0 恰有两解, 此时 m=-1-t 或 m=3-t. t3 t t t ii) 当-1≤ <1,F(x)在 x= 处取值为 ? ? ? 1 , 8 2 2 2 在 x=1 处取得极大值 3-t,若方程 F(x)-m=0 恰有两解, t3 t 此时 m= ? ? ? 1 或 m=3-t. 8 2 t iii) 当 ≥1 时,不存在这样的实数 m,使得 F(x)-m=0 恰有两解..……………..14 2 【链接高考】本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题,需要对参数进行分类 讨论. 在新高考中每年有一道导数综合题,同学们应高度重视.



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