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集合间的基本关系



思考 1、元素与集合的关系

2、集合与集合的相等关系

观察下面几个例子,你能发现两个集合间 的关系吗? A中的元素都属于B (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)设A为光明中学高一(2)班全体女生 组成的集合,B为这个班全体学生组成的集 合; (3)设A={x|x是两条边相等的三角形}, B={x|x是等腰三角形}。

上述各组集合中A与B有包含关系,我们 把集合A叫做集合B的子集.

二、讲解新课
1.子集 如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系, 称集合A是集合B的子集(subset)。
符号表示: A ? B(或B ? A) 读作:A含于B,或B包含A Venn图表示

B

A

2.子集的有关性质

(1)A ? A

(2)A ? B, B ? C ? A ? C
例1 写出满足 {1, 2} ? A ? {1, 2,3, 4}的所有集 合A. {1,2},{1,2,3},{1,2,4}, {1,2,3,4}

思考 :对于实数 a, b ,如果 a ? b 且 b ? a , 则 a与 b 的大小关系如何?

a ?b

3.集合相等
如果集合A是集合B的子集( A ? B), 且集合B是集合A的子集(B ? A),此时, 集合A与集合B中的元素是一样,因此,集 合A与集合B相等,记作A=B,即

A ? B, B ? A ? A ? B

1.考察下列两组集合: (1)集合A={1,2,3,4}与 B ? {x ? N || x |? 5} (2)集合A={0,1,2,3,4}与 B ? {x ? N || x |? 5} 上述两组集合中,集合A与集合B之间的关系如何?

4.真子集
若集合 A ? B,存在元素 x ? B且x ? A, 则称集合A是集合B的真子集(proper subset).

记作:A

B(或B

A)

读作:A真含于B(或B真包含A)

考察下列集合: (1){x|x是边长相等的直角三角形}; (2){x ? R | x2 ? 1 ? 0} ; (3){x ? R || x | ?2 ? 0} .
上述三个集合有何共同特点? 集合中没有元素

5.空集 不含有任何元素的集合称为空集, 记作: ?
规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集 合的真子集。

例2、(1)写出集合{a,b}的所有子集,并计 算子集的个数。 (2)写出集合 {a,b} 的所有真子集,并指 出真子集的个数。

思考 :一般地,集合{a1 , a2 , a3 ,?, an }共有多少 个子集?多少个真子集?多少个非空真子集?

练习1、教科书P12 练习 1,2 练习2.在以下六个写法中,错误写法的 个数是( ) ①{0} ?{0,1}② ? ? {0}③{0, ?1,1} ? {?1,0,1} ④ 0 ?? ⑤ Z ? {x | x是整数} ⑥ {(0,0)} ? {0} A. 3 B.4 C. 5 D. 6

例3 设集合 A ? {x | mx ? 1 ? 0}, B ? {1, 2} ,若 A ? B,求实数m的值.

例4 已知A={x|-1<x<2},B={x|x<m}, 若 B ? A ,求实数m的取值范围.

课堂小结
1、集合与集合之间的关系:子集、 集合相等、真子集及子集的性质 2、空集:是任何集合的子集,是任 何非空集合的真子集



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