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2016届高考数学复习 第九章 第六节 直线与圆锥曲线的位置关系 理(全国通用)



第六节

直线与圆锥曲线的位置关系

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2015?重庆,10)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作

x2 y2 a b

AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D

,若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(- 2,0)∪(0, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 解析 由题意 A(a,0),B?c, ?,C?c,- ?,由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上,设 D(x, a a )

? ?

b2?

?

? ?

b2?

?

b b -0 a a b4 b4 0),由 BD⊥AC 得 ? =-1,解得 c-x= 2 ,所以 c-x= 2 <a c-x a-c a (c-a) a (c-a)
+ a +b =a+c,所以 2<c -a =b ? 2<1? 0< <1,因此渐近线的斜率取值范围是 (-1,0)∪(0,1),选 A. 答案 A 2.(2014?辽宁,10)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. 1 2 B. 2 3
2 2 2 2

2

2

b4 a

2

2

2

b2 a

b a

) 4 3
2

C.

3 4

D.

解析 ∵A(-2,3)在抛物线 y =2px 的准线上,∴- =-2,∴p=4,∴y =8x,设直线 2
?x=k(y-3)-2, ? 2 AB 的方程为 x=k(y-3)-2①,将①与 y2=8x 联立,即? 2 得 y -8ky+ ?y =8x, ?

p

24k+16=0②,则 Δ =(-8k) -4(24k+16)=0,即 2k -3k-2=0,解得 k=2 或 k=-
? ?x=8, 1 8-0 4 (舍去),将 k=2 代入①②解得? 即 B(8,8),又 F(2,0),∴kBF= = ,故选 2 8-2 3 ?y=8, ?

2

2

D. 答案 D

1

3.(2014?新课标全国Ⅱ,10)设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直 线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. 3 3 4 B. 9 3 8 63 C. 32 ) D. 9 4

2

解析 易知直线 AB 的方程为 y=

3 3 2 2 (x- ),与 y =3x 联立并消去 x 得 4y -12 3y-9= 3 4

9 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=3 3,y1y2=- . 4

S△OAB= |OF|?|y1-y2|
1 3 2 = ? (y1+y2) -4y1y2 2 4 = 3 9 27+9= .故选 D. 8 4

1 2

答案 D 4.(2013?大纲,8)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 4 3 斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( )

x2 y2

?1 3? A.? , ? ?2 4? ?1 ? C.? ,1? ?2 ?

?3 3? B.? , ? ?8 4? ?3 ? D.? ,1? ?4 ?

解析 如图:

设直线 A2M 的方程为 y=-(x-2)=2-x, 代入椭圆方程 + =1,并整理得 7x -16x+4=0, 4 3 16 2 ∴2+x= ,∴x= , 7 7

x2 y2

2

?2 12? ∴M 点坐标为? , ?. ?7 7 ? ?26 24? 设直线 A2N 的方程为 y=-2(x-2)=4-2x,同理可得 N 点坐标为? , ?, ?19 19?
12 7 3 ∵kA1M= = , 2 4 +2 7

2

24 19 3 kA1N= = . 26 8 +2 19

?3 3? ∴直线 PA1 斜率的取值范围是? , ?. ?8 4?
答案 B 5.(2011?全国,10)已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F, 直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点, 则 cos∠AFB 等于( A. 4 5
2 2

) B. 3 5 3 C.- 5 4 D.- 5

解析

?y =4x, ? 联立? 不妨设 A 在 x 轴上方, ?y=2x-4. ?

则 A(4,4),B(1,-2). → → ∵F 点的坐标为(1,0),∴FA=(3,4),FB=(0,-2), ∴cos∠AFB= 答案 D 6.(2015?山东,15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与 抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 ________.
2

-8 4 = =- . → → 5?2 5 |FA|?|FB|

FA?FB

→ →

x2 y2 a b

b ? ?y= x, b b 解析 由题意, 不妨设直线 OA 的方程为 y= x, 直线 OB 的方程为 y=- x.由? a a a ? ?x2=2py, b 2 得 x =2p ? x, a
2 2pb 2pb ?2pb 2pb ? ∴x= ,y= 2 ,∴A? , 2 ?. 2

a

a

? a

a ? p?

设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F?0, ?, ? 2? 2pb ∴kAF=
2

?

a

2

- 2

p
.

2pb

a
∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF?kOB=-1,

3

2pb ∴

2

a2

2 ? b? b2 5 ??- ?=-1,∴ 2= . 2pb a 4 ? a?



p

a
设 C1 的离心率为 e,则 e = 2= 3 ∴e= . 2 答案 3 2
2

c2 a2+b2 5 9 =1+ = . 2 a a 4 4

7.(2012?浙江,16)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的 距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线
2 2 2

l:y=x 的距离,则实数 a=________.
解析 曲线 C2 到 l 的距离 d 等于圆心到直线的距离减去半径, |4| 即 d= - 2= 2, 2 所以曲线 C1 到 l 的距离为 2, 则曲线 C1 与直线 l 不能相交, 即 x +a>x, ∴x -x+a>0.设 C1:y=x +a 上一点为(x0,y0), 则点(x0,y0)到直线 l 的距离 |x0-y0| -x0+x0+a d= = 2 2 1 2 1 1 (x0- ) +a- a- 2 4 4 9 = ≥ = 2,所以 a= . 4 2 2 答案 9 4
2 2 2 2

8.(2015?浙江,19)已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y 2 1 =mx+ 对称. 2 (1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为 1

x2

2

y=- x+b. m

4

x ? ? 2 +y =1, 由? 1 y=- x+b, ? ? m
2

2

?1 1 ? 2 2b 2 消去 y,得? + 2?x - x+b -1=0. m ?2 m ?
1 x 4 2 2 因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点, 所以 Δ =-2b +2+ 2>0, ① m 2 m
2

mb ? 1 m +2 ? 2mb 将 AB 中点 M? 2 , 2 ?代入直线方程 y=mx+ 解得 b=- 2 ② 2 2m ?m +2 m +2?
由①②得 m<- 6 6 或 m> . 3 3

2

2

1 ? 6 ? ? 6? (2)令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?,则 m ? 2 2? ? ? 3 4 2 -2t +2t + 2 . 1 2 t+ 2

|AB|= t +1?

2

t2+
且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t), 1 1 所以 S(t)= |AB|?d= 2 2

1 2

t2+1

.

2 2 ? 2 1? -2?t - ? +2≤ . 2 2 ? ?

1 2 当且仅当 t = 时,等号成立. 2 故△AOB 面积的最大值为 2 . 2

9.(2015?江苏,18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+

x2 a

y2 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 b2 2
3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,

C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. c 2 a2 解 (1)由题意,得 = 且 c+ =3, a 2 c
解得 a= 2,c=1,则 b=1,

5

所以椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2,又 CP=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将 AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k )x -4k x+2(k -1)=0, 则
2 2 2 2

x2

2

x1



2


2

2k ± 2(1+k ) , C 2 1+2k
2

2

2

? 2k 2, -k 2? , 且 的 坐 标 为 ? ? ?1+2k 1+2k ?

2

AB =

(x2-x1) +(y2-y1) = (1+k )(x2-x1) 2 2(1+k ) = . 2 1+2k
2 2 2

若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为 2k ? 1? y+ 2?, 2=- ?x- 1+2k k? 1+2k ?

k

2

5k +2 ? ? 则 P 点的坐标为?-2, , k(1+2k2)? ? ? 2(3k +1) 1+k 从而 PC= . 2 |k|(1+2k ) 因为 PC=2AB, 2(3k +1) 1+k 4 2(1+k ) 所以 = , 2 2 |k|(1+2k ) 1+2k 解得 k=±1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 10.(2015?天津,19)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为
2 2 2 2 2 2 2

2

x2 y2 a b

3 , 3

4 3 点 M 在椭圆上且位于第一象限, 直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c, |FM|= . 4 3 (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范 围.

b2

c2 1 解 (1)由已知有 2= , a 3
又由 a =b +c ,可得 a =3c ,b =2c . 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),F(-c,0),则直线 FM 的方程为
2 2 2 2 2 2 2

6

y=k(x+c).由已知,有?
解得 k= 3 . 3

? kc ?2 ?c?2 ?b?2 ? +? ? =? ? , 2 ? k +1? ?2? ?2?

(2)由(1)得椭圆方程为
2

x2 y2 3 (x+c),两个方程联立,消 2+ 2=1,直线 FM 的方程为 y= 3c 2c 3
2

去 y,整理得 3x +2cx-5c =0, 5 ? 2 3 ? 解得 x=- c,或 x=c.因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为?c, c?. 3 3 ? ? 由|FM|= (c+c) +?
2

?2 3 ?2 4 3 . c-0? = 3 ? 3 ?
x2 y2

解得 c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t,

y ,即 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立. x+1 ?y=t(x+1),
得 t=

? 2 2 ?x y + =1, ? ?3 2

消去 y,整理得 2x +3t (x+1) =6, 6-2x 2, 2> 3(x+1)
2

2

2

2

又由已知,得 t=

3 解得- <x<-1,或-1<x<0. 2

y 2 2 2 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得 m = 2- . x x 3

? 3 ? ①当 x∈?- ,-1?时,有 y=t(x+1)<0, ? 2 ?
因此 m>0,于是 m= 2

x2 3

2 ? 2 2 3? - ,得 m∈? , ?. 3 ? ?3

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0. 因此 m<0,于是 m=- 2 3? ? 得 m∈?-∞,- ?. 3 ? ? 2 3? ? 2 2 3? ? 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪? , ?. 3 ? ? 3 3 ? ? 11.(2014?北京,19)已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与
2 2

2 - , x 3
2

2

7

圆 x +y =2 的位置关系,并证明你的结论. 解 (1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2
2 2

2

2

x2 y2

所以 a =4,b =2, 从而 c =a -b =2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =
2 2 2 2 2

c a

2 . 2

(2)直线 AB 与圆 x +y =2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0,即 tx0+2y0=0, 2y0 解得 t=- .

x0

当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t=± 2, 2 故直线 AB 的方程为 x=± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2. 此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离
2 2

t2

y0-2 (x-t), x0-t

d=

|2x0-ty0| (y0-2) +(x0-t)
2 2

.

2y0 2 2 又 x0+2y0=4,t=- ,故

x0

2y |2x0+ |

2 0

d=

x0

2 x2 0+y0+

4y0

2

x

2 0

+4



?4+x0? ? x0 ? ? ?
2 x4 0+8x0+16 2 2x0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 12.(2014?山东,21)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一 点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形.
8
2

2

2

(1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 解

? ? (1)由题意知 F? ,0?. ?2 ?
p

设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|,

?p+2t,0?. ? ? 4 ?

由抛物线的定义知 3+ =|t- |, 2 2 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由

p

p

p+2t
4

=3,解得 p=2.
2

所以抛物线 C 的方程为 y =4x. (2)(ⅰ)由(1)知 F(1,0), 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 2 代入抛物线方程得 y + y- =0,

y0

y0

y0

y0

64 32b 2 由题意 Δ = 2 + =0,得 b=- .

y0

y0

y0

4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2.

y0

y0

+y0 y0 yE-y0 4y0 当 y ≠4 时,kAE= =- , 2= 2 xE-x0 4 y0 y0-4 2- y0 4
2 0

4

可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y0=4x0,整理可得 y=
2

4y0 (x-x0), y2 0-4

4y0 (x-1), y2 0-4
9

直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0), 所以直线 AE 过定点 F(1,0). (ⅱ)由(ⅰ)知直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 ?1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? +1?=x0+ +2.
2

? x0

?

x0

设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, 故 m=

x0-1 . y0

设 B(x1,y1). 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由于 y0≠0,可得 x=- y+2+x0,

y0

y0

8 2 代入抛物线方程得 y + y-8-4x0=0.

y0

8 所以 y0+y1=- ,

y0

8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4.

y0

x0

所以点 B 到直线 AE 的距离为

d=

? 4 +x +4+m?y0+ 8 ?-1? ? ?x0 0 y0? ? ? ? ? ?
1+m
2



1 ? 4(x0+1) ? =4? x0+ ?.

x0

?

x0?

1 ?? 1 1 ? x0+ +2? 则△ABE 的面积 S= ?4? x0+ ≥16, ? ? x0 ? 2 ? ? x0 ? ? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成立.

x0

所以△ABE 的面积的最小值为 16.

x2 y2 13.(2013?新课标全国Ⅱ,20)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦 a b
1 点的直线 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.
10



(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 2+ 2=1, 2+ 2=1,

x2 y2 1 1 a b

x2 y2 2 2 a b

y1-y2 =-1, x1-x2
由此可得

b2(x1+x2) y2-y1 =- =1. 2 a (y1+y2) x2-x1

1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 所以 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,

y0 1 1 = .所以 y0= x0, x0 2 2
1 即 y1+y2= (x1+x2). 2 所以可以解得 a =2b ,又由题意知,
2 2

M 的右焦点为( 3,0),故 a2-b2=3.
所以 a =6,b =3. 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)将 x+y- 3=0 代入 + =1, 6 3 4 3 ? ?x= 3 , ?x=0, 4 6 解得? 或? 所以可得|AB|= ; 3 3 ?y= 3. ? ?y=- 3 由题意可设直线 CD 方程为 y=x+m, 所以设 C(x3,y3),D(x4,y4), 将 y=x+m 代入 + =1 得 6 3 3x +4mx+2m -6=0, 则|CD|= 2 (x3+x4) -4x3x4 = 4 2 9-m , 3
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

x2 y2

x2 y2

又因为 Δ =16m -12(2m -6)>0,即-3<m<3, 所以当 m=0 时,|CD|取得最大值 4, 1 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|?|CD|= . 2 3 考点二 轨迹与轨迹方程

11

x2 y2 2 1.(2015?四川,20)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 ,过点 P(0,1)的动 a b 2
直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长 为 2 2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使 得 |QA| |PA| = 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请 |QB| |PB|

说明理由. 解 (1)由已知,点( 2,1)在椭圆 E 上, 2 1
2 2

+ =1, a b ? ? 因此?a -b =c ,解得 a=2,b= c 2 ? ?a= 2 ,
2 2 2

2,

所以椭圆 E 方程为 + =1. 4 2 (2)当直线 l 与 x 轴平行时, 设直线 l 与椭圆相交于 C、 D 两点, 如果存在定点 Q 满足条件, |QC| |PC| 则有 = =1,即|QC|=|QD|, |QD| |PD| 所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为(0,y0), 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点, 则 M,N 的坐标分别为(0, 2),(0,- 2), 由 |QM| |PM| |y0- 2| 2-1 = ,有 = ,解得 y0=1,或 y0=2, |QN| |PN| |y0+ 2| 2+1

x 2 y2

所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点坐标只可能为(0,2), |QA| |PA| 下面证明:对任意直线 l,均有 = , |QB| |PB| 当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立, 当直线 l 的斜率存在时, 可设直线 l 的方程为 y=kx+1, A、 B 的坐标分别为(x1, y1), (x2,

y2), x y ? ? + =1, 2 2 联立? 4 2 得(2k +1)x +4kx-2=0, ? ?y=kx+1,
其判别式Δ =(4k) +8(2k +1)>0,
12
2 2 2 2

4k 所以 x1+x2=- 2 , 2k +1

x1x2=-

2 , 2k +1
2

1 1 x1+x2 因此 + = =2k,

x1 x2

x1x2

易知,点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(-x2,y2),

又 kQA=

y1-2 kx1-1 1 = =k- , x1 x1 x1

y2-2 kx2-1 1 1 kQB′= = =-k+ =k- , -x2 -x2 x2 x1
所以 kQA=kQB′,即 Q,A,B′三点共线, |QA| |QA| |x1| |PA| 所以 = = = , |QB| |QB′| |x2| |PB| |QA| |PA| 故存在与 P 不同的定点 Q(0,2),使得 = 恒成立. |QB| |PB| 2.(2014?广东,20)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 解 (1)由题意知 c= 5,e= =
2 2 2

x2 y2 a b

5 . 3

c a

5 , 3

∴a=3,b =a -c =4, 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 9 4 (2)设两切线为 l1,l2, ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时,l2∥x 轴或 l2⊥x 轴, 可知 P(±3,±2); ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设 l1 的斜率为 k,则 k≠0,则 l2 的斜率为- 1

x2 y2

k



13

x2 y2 l1 的方程为 y-y0=k(x-x0),与 + =1 联立,
9 4 整理得(9k +4)x +18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0) -36=0, ∵直线与椭圆相切,∴Δ =0,得 9(y0-kx0) k -(9k +4)[(y0-kx0) -4]=0, ∴-36k +4[(y0-kx0) -4]=0, ∴(x0-9)k -2x0y0k+y0-4=0, ∴k 是方程(x0-9)x -2x0y0x+y0-4=0 的一个根, 1 2 2 2 同理- 是方程(x0-9)x -2x0y0x+y0-4=0 的另一个根,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

k

2 ? 1? y0-4 2 2 ∴k??- ?= 2 ,得 x0+y0=13,其中 x0≠±3, ? k? x0-9

∴点 P 的轨迹方程为 x +y =13(x≠±3), 检验 P(±3,±2)满足上式. 综上:点 P 的轨迹方程为 x +y =13. 3.(2014?湖北,21)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距 离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 解 (1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x-1) +y =|x|+1,
2 2 2 2 2

2

2

化简整理得 y =2(|x|+x). 故点 M 的轨迹 C 的方程为

y2=?

?4x,x≥0, ? ? ?0,x<0.
2

(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组?
2

? ?y-1=k(x+2), ?y =4x, ?
2

可得 ky -4y+4(2k+1)=0.① 1 (a)当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4

?1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ,1?. ?4 ?
14

(b)当 k≠0 时,方程①的判别式为 Δ =-16(2k +k-1).② 2k+1 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .③
2

k

? ?Δ <0, 1 (ⅰ)若? 由②③解得 k<-1,或 k> . 2 ?x0<0, ?

?1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点, ?2 ?
故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
?Δ =0, ? ?Δ >0, ? 1? ? ? 1 ? (ⅱ)若? 或? ,由②③解得 k∈?-1, ?,或 k∈?- ,0?. 2? ? 2 ? ? ? ? ?x0<0, ?x0≥0 ? 1? 即当 k∈?-1, ?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2? ?

? 1 ? 当 k∈?- ,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ? 2 ?
1? ? 1 ? ? 故当 k∈?- ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2? ? 2 ? ?
?Δ >0, ? 1 1 (ⅲ)若? 由②③解得-1<k<- ,或 0<k< . 2 2 ? x <0 , ? 0

1? ? 1? ? 即当 k∈?-1,- ?∪?0, ?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 2? ? 2? ? 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.

?1 ? 综合(1)(2)可知,当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个 2 ? ?
1? ? 1 ? ? 公 共 点 ;当 k∈ ?- ,0? ∪ ?-1, ? 时 , 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好有 两 个 公共 点 ;当 2? ? 2 ? ?

k∈?-1,- ?∪?0, ?,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 2 2

? ?

1?

? ? ?

1?

?

4.(2013?辽宁,20)如图,抛物线 C1:x =4y,C2:x =-2py(p>0).点

2

2

M(x0,y0)在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时, A,B 重合于 O).
1 当 x0=1- 2时,切线 MA 的斜率为- . 2 (1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点为 O). 解 (1)因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y′= ,且切线 AM 的斜 2
15
2

x

1 率为- . 2 1? ? ∴切点 A?-1, ?, 4? ? 1 1 切线 AM:y=- (x+1)+ . 2 4 因为点 M(1- 2,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是

y0=- (2- 2)+ =-
2

1 2

1 4

3-2 2 ,① 4

(1- 2) 3-2 2 y0=- =- .② 2p 2p 由①②得 p=2. (2)设 N(x,y),A?x1, ?,B?x2, ?,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点知 4? ? 4? ?

?

x2 1?

?

x2 2?

x1+x2 x= ,③
2

y=

x +x2 2
8

2 1

.④

切线 MA、MB 的方程为

x1 x2 1 y= (x-x1)+ ,⑤
2 2 4 4

x2 x2 2 y= (x-x2)+ .⑥
由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0= 因为点 M(x0,y0)在 C2 上, 即 x0=-4y0, 所以 x1x2=-
2 x2 1+x2 2

x1+x2
2

,y0=

x1x2
4

.

6

,⑦

4 2 由③④⑦得 x = y,x≠0. 3 4 2 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x = y. 3 4 2 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x = y. 3

x2 y2 5.(2012?辽宁,20)如图椭圆 C0: 2+ 2=1(a>b>0,a,b 为常数), a b
动圆 C1:x +y =t1,b<t1<a.点 A1,A2 分别为 C0 的左,右顶点,
2 2 2

C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点.
(1)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程;

16

(2)设动圆 C2:x +y =t2与 C0 相交于 A′,B′,C′,D′四点,其中 b<t2<a,t1≠t2.若 矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,证明:t1+t2为定值. (1)解 设 A(x1,y1),B(x1,-y1),又知 A1(-a,0),A2(a,0),则直线 A1A 的方程为 y =
2 2

2

2

2

y1

x1+a

(x+a),① -y1 (x-a).② x1-a
2

直线 A2B 的方程为 y=
2

-y1 2 2 由①?②得,y = 2 (x -a )③ x1-a2 由点 A(x1,y1)在椭圆 C0 上, 故 2+ 2=1. 从而 y1=b (1- 2),代入③得
2 2

x2 y2 1 1 a b

x2 1 a

x2 y2 - =1(x<-a,y<0). a2 b2
即交点 M 的轨迹方程是

x2 y2 - =1(x<-a,y<0). a2 b2
(2)证明 设 A′(x2,y2),由矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′的面积相等,得 4|x1||y1|= 4|x2||y2|,故 x1y1=x2y2.因为点 A,A′均在椭圆上,所以 b x1(1- 2)=b x2(1- 2). 由 t1≠t2,知 x1≠x2, 所以 x1+x2=a , 从而 y1+y2=b , 因此 t1+t2=a +b 为定值. 考点三 圆锥曲线的综合问题 1.(2014?福建,9)设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P,Q 两 10 点间的最大距离是( A.5 2 ) C.7+ 2 D.6 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 1 a

2 2

x2 2 a

x2

2

B. 46+ 2

解析 设圆的圆心为 C,则 C(0,6),半径为 r= 2,点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α , sin α )的距离|CQ| = ( 10cos α ) +(sin α -6) = 46-9sin α -12sin α
2 2 2

17



2 2 50-9(sin α + ) ≤ 50=5 2, 3

2 当且仅当 sin α =- 时取等号,所以|PQ|≤|CQ|+r=5 2+ 2=6 2,即 P,Q 两点间 3 的最大距离是 6 2,故选 D. 答案 D 2.(2014?湖北,9)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠

F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(
A. 4 3 3 B. 2 3 3 C.3

π 3

) D.2

解析 假定焦点在 x 轴上,点 P 在第一象限,F1,F2 分别在左、右焦点.设椭圆的方程为

x2 y2 x2 y2 2+ 2=1(a>b>0),双曲线的方程为 2- 2=1(m>0,n>0),它们的离心率分别为 e1,e2, a b m n
则|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在△PF1F2 中,4c =(a+m) +(a-m) -2(a+m)(a-m)cos 2 2 π ?a? ?m? 2 2 2 ? a +3m =4c ? ? ? +3? ? =4, 3 ?c? ?c?
2 2 2

? a?2 ?m?2?? 1? ?a m?2 1 1 a m 4 3 1+ ?≥? + ? ? + = + ≤ 则?? ,当且仅当 a=3m 时,等号成立 , ? ? +3? ? ?? ? 3? ?c c? e1 e2 c c 3 ??c? ?c? ?
故选 A. 答案 A 3.(2014?四川,10)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两 → → 侧,OA?OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 B.3 C. 17 2 8 D. 10 )
2

解析 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设 y1>0,y2<0),直线 AB 的方程为 x=ty+m,且 直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0).由? → →
?x=ty+m ? ?y =x ?
2

消去 x,得 y -ty-m=0,所以 y1y2=-

2

m.又OA?OB=2,所以 x1x2+y1y2=2,(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点 A、B 在抛物线上且位
1 1 于 x 轴的两侧,所以 y1y2=-2,故 m=2.又 F( ,0),于是 S△ABO+S△AFO= ?2?(y1-y2) 4 2 1 1 9 2 + ? ?y1= y1+ ≥2 2 4 8 y1 9 2 9 2 4 y1? =3, 当且仅当 y1= , 即 y1= 时取“=”, 所以△ABO 8 y1 8 y1 3

与△AFO 面积之和的最小值是 3.

18

答案 B 4.(2015?山东,20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 为 3 ,左、右焦点分别是 F1,F2.以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的 2

x2 y2 a b

圆相交,且交点在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (2)设椭圆 E: 2+ 2=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 4a 4b A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.
|OQ| (ⅰ)求 的值; |OP| (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. 解 (1)由题意知 2a=4,则 a=2,

又 =

c a

3 2 2 2 ,a -c =b , 2

可得 b=1,所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 + =1. 16 4

x2

2

x2

y2

|OQ| (ⅰ)设 P(x0,y0), =λ ,由题意知 Q(-λ x0,-λ y0). |OP| 因为 +y0=1, 4 (-λ x0) (-λ y0) 又 + =1, 16 4 λ ?x0 2? 即 ? +y0?=1, 4 ?4 ? |OQ| 所以 λ =2,即 =2. |OP| (ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m -16=0, 由 Δ >0,可得 m <4+16k ,① 8km 4m -16 则有 x1+x2=- 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k 4 16k +4-m 所以|x1-x2|= . 2 1+4k 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 0

2

19

1 所以△OAB 的面积 S= |m||x1-x2| 2 = = 2 16k +4-m |m| 2 1+4k 2 (16k +4-m )m 2 1+4k
2 2 2 2 2 2

=2 设

?4- m 2? m . ? 1+4k ?1+4k2 ? ?
m2
2

2

1+4k

=t,

将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, 由 Δ ≥0,可得 m ≤1+4k .② 由①②可知 0<t≤1, 因此 S=2 (4-t)t=2 -t +4t, 故 S≤2 3, 当且仅当 t=1,即 m =1+4k 时取得最大值 2 3. 由(ⅰ)知,△ABQ 面积为 3S, 所在△ABQ 面积的最大值为 6 3. 5.(2015?湖南,20)已知抛物线 C1:x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b >0)的 一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6. (1)求 C2 的方程; → → (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,且AC与BD同向. ①若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率; ②设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, △MFD 总是钝角三角形. 解 (1)由 C1:x =4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2 x2 a b

a2-b2=1.①
又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x =4y,由此易 3? 9 6 ? 知 C1 与 C2 的公共点的坐标为?± 6, ?,所以 2+ 2=1.② 2? 4a b ? 联立①,②得 a =9,b =8.
2 2 2

20

故 C2 的方程为 + =1. 9 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). → → → → ①因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4, 于是(x1+x2) -4x1x2=(x3+x4) -4x3x4.③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 由?
? ?y=kx+1, ?x =4y ?
2 2 2

y2 x2

得 x -4kx-4=0.

2

而 x1,x2 是这个方程的两根, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.④

y=kx+1, ? ? 2 2 2 2 由?x y 得(9+8k )x +16kx-64=0. + =1 ? ?8 9
而 x3,x4 是这个方程的两根, 16k 所以 x3+x4=- 2, 9+8k

x3x4=-

64 2,⑤ 9+8k
2 2 2

16 k 4?64 将④,⑤代入③,得 16(k +1)= 2 2+ 2,即 (9+8k ) 9+8k 16 ?9(k +1) 2 16(k +1)= , 2 2 (9+8k ) 所以(9+8k ) =16?9, 解得 k=± 6 , 4 6 . 4
2 2 2 2

即直线 l 的斜率为±
2

(ⅱ)由 x =4y 得 y′= ,所以 C1 在点 A 处的切线方程为 2

x

x1 x1x x2 1 y-y1= (x-x1),即 y= - .
2 2 4 令 y=0 得 x= ,即 M? ,0?, 2 ?2 ?
21

x1

?x1

?

→ ?x1 ? 所以|FM|=? ,-1?. ?2 ?

x1 → → → x1 而|FA|=(x1,y1-1),于是FA?FM= -y1+1= +1>0, 2 4
因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM 是钝角. 故直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 6.(2014?安徽,19)如图,已知两条抛物线 E1:y =2p1x(p1>0)和 E2:
2

2

2

y2=2p2x(p2>0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1,E2 分别交于 B1,B2 两点.
(1)证明:A1B1∥A2B2; (2)过 O 作直线 l(异于 l1, l2)与 E1, E2 分别交于 C1, C2 两点. 记△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求 的值. (1)证明 设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则 由?
? ?y=k1x,
2

S1 S2

?2p1 2p1? 得 A1? 2 , ?, ? k1 k1 ? ?y =2p1x, ?
?y=k1x, ?
2

由?

?2p2 2p2? 得 A2? 2 , ?. ? k1 k1 ? ? ?y =2p2x,
2p1? 1 ?2p ?2p2 2p2? ,B2? 2 , ?. 2 , ? ? k2 k2 ? ? k2 k2 ?

同理可得 B1?

→ ?2p1 2p1 2p1 2p1? 所以A1B1=? 2 - 2 , - ?

? k2

k1

k2

k1 ?

?1 1 1 1? =2p1? 2- 2, - ?, ?k2 k1 k2 k1?
A2B2=?
→ 2p2 2p2 2p2? 2 ?2p - ? 2 - 2 , ? k2 k1 k2 k1 ?

?1 1 1 1? =2p2? 2- 2, - ?. ?k2 k1 k2 k1?
p2
→ p1 → 故A1B1= A2B2,所以 A1B1∥A2B2. (2)解 由(1)知 A1B1∥A2B2,同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2. → S1 |A1B1| 2 因此 =( ). S2 → |A2B2|

22

→ 2 → p1 → |A1B1| p1 S1 p1 又由(1)中的A1B1= A2B2知 = .故 = 2. p2 → p2 S2 p2 |A2B2| 7.(2014?四川,20)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴 的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. (ⅰ)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| (ⅱ)当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

x2 y2 a b

? a2+b2=2b, 解 (1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a =6,b =2, 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)(ⅰ)证明 由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m),
2 2

x2 y2

m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2)
1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= ,直线 PQ 的方程是 x=my-2.

m

当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,

x=my-2, ? ? 2 2 得?x y ? 6 + 2 =1, ?
消去 x,得(m +3)y -4my-2=0, 其判别式 Δ =16m +8(m +3)>0. 所以 y1+y2= 4m -2 ,y1y2= 2 , m2+3 m +3 -12
2 2 2 2

x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3
所以 PQ 的中点 M 的坐标为 6 2m ? ?- ?m2+3,m2+3?, ? ?

23

所以直线 OM 的斜率 kOM=- . 3 又直线 OT 的斜率 kOT=- ,所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ. 3 (ⅱ)由(ⅰ)可得, |TF|= m +1, |PQ|= (x1-x2) +(y1-y2)
2 2 2 2 2

m

m

= (m +1)[(y1+y2) -4y1y2] = (m +1)?? ?
2

? 4m ? 2 -2 ? -4? 2 ? 2 ? m +3? ??m +3?



24(m +1) m2+3 1 (m +3) ? 24 m2+1
2 2

2

|TF| 所以 = |PQ| = ≥

4 1 ? 2 ? ??m +1+ 2 +4? m + 1 ? 24 ? 1 3 ?(4+4)= . 24 3
2

当且仅当 m +1=

4 |TF| ,即 m=±1 时,等号成立,此时 取得最小值. m +1 |PQ|
2

|TF| 所以当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| 8.(2013?安徽,18)设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上. a 1-a2 (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别为椭圆 E 的左,右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴 于点 Q,并且 F1P⊥F1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 解 1 5 2 2 (1)因为焦距为 1,所以 2a -1= ,解得 a = . 4 8
2 2

x2

y2

8x 8y 故椭圆 E 的方程为 + =1. 5 3 (2)设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0), 其中 c= 2a -1. 由题设知 x0≠c,则直线 F1P 的斜率 kF1P= 直线 F2P 的斜率 kF2P=
2

y0 , x0+c

y0 . x0-c y0 x0-c
(x-c).
24

故直线 F2P 的方程为 y=

当 x=0 时,y=

cy0 , c-x0

即点 Q 的坐标为?0,

? ?

cy0 ? . c-x0? ? y0 c-x0
.

因此,直线 F1Q 的斜率为 kF1Q= 由于 F1P⊥F1Q, 所以 kF1P?kF1Q=
2 2

y0 y0 ? =-1. x0+c c-x0
2

化简得 y0=x0-(2a -1)① 将①代入椭圆 E 的方程, 由于点 P(x0,y0)在第一象限, 解得 x0=a ,y0=1-a , 即点 P 在定直线 x+y=1 上.
2 2

25



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