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圆的有关概念与性质



圆的有关概念与性质 【学习目标】 知识与技能. 掌握圆的概念,运用圆的知识解决问题。 数学思考: 探索并圆的有关性质, 并能运用这些知识进行有关的证 明和计算; 问题解决. 学生培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力; 情感态度价值观:丰富从事数学活动的经验和体验,进一步培养合 情推理能力; 从而体会事物之间总是互相联系又是互相区别的, 进 一步培养辩证唯物主义观点。

/>【重点难点】 重点:几种与圆有关的位置关系。 难点:灵活能运用这些知识进行有关的证明和计算; 【学习方法】互动交流法 【学习过程】 【预习交流】 1.如图, AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,则 ?ACB 的度数为( A. 30? B. 45? C. 60? D. 90?
156 ) A. ?



2.如图, 已知圆心角 ?BOC ? 78? , 则圆周角 ?BAC 的度数是 ( B. 78? C. 39? D. 12?

3.如图所示,圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC.则四边形 OACB 是( A.正方形 B.长方形 C.菱形 D.以上答案都不对



A

C B O

第1题

第2题

第3题

第4题

4.如图, AB 是⊙O 的弦, OC ? AB 于点 C ,若 AB ? 8cm , OC ? 3cm ,则⊙O 的半径为 cm.
1

5.如图,半圆的直径 AB=___



-2

B -1

0

1 A

2

第5题

【合作探究、展示拔高】 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 ; 圆又 是 对称图形, 是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分 , 并且平分 ; 平分弦 (不 是直径)的 垂直于弦,并且平分 . 4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个 圆周角中有一组量 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ,90°所对的弦是 . 【巩固拓展】 例1 ⌒ ⌒ 如图:AC =CB , D,E 分别是半径 OA 和 OB 的中点,CD 与 CE 的大 小有什么关系?为什么?
A D O E C B

例 2 已知: 如图,?PAC ? 30? , 在射线 AC 上顺次截取 AD =3cm, =10cm, DB 以 DB 为直径作⊙O 交射线 AP 于 E、F 两点,求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长.

P F E A D O B C

【中考演练、达标测评】 1.下列命题中,正确的是( ) ① 顶点在圆周上的角是圆周角; ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一 半; ③ 90? 的圆周角所对的弦是直径; ④ 不在同一条直线上的三个点确定一 个圆; ⑤ 同弧所对的圆周角相等 A.①②③ B.③④⑤ C.①②⑤ D.②④⑤ 2. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知 AB=16m, 半径 OA=10 m,高度 CD 为_ ____m. 3. 如图,⊙O 中 OA ? BC , ?CDA ? 25? ,则 ?AOB 的度数为
C A
D



B

O 第2题 第3题

4.如图, 射线 AM 交一圆于点 B、 射线 AN 交该圆于点 D、 且BC =DE . C, E, ⌒ ⌒ (1)求证:AC = AE;

(2)利用尺规作图,分别作线段 CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线,两 线交于点 F(保留作图痕迹,不写作法) ,求证:EF 平分∠CEN.
A

B

D

C

E

M

N

⌒ ﹡5. 如图, △ ABC 是⊙O 的内接三角形, AC ? BC , D 为⊙O 的AB 上一点, 延长 DA 至点 E ,使 CE ? CD . (1)求证: AE ? BD ; (2)若 AC ? BC ,求证: AD ? BD ? 2CD .
C E O A D B

学生学习体会: 教师教后反思:

与圆有关的位置关系 【学习目标】 知识与技能. 掌握与圆有关的几种位置关系,运用知识解决问题。 数学思考:能运用这些知识进行有关的证明和计算; 问题解决.培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力; 情感态度价值观:进一步培养合情推理能力;从而体会事物之间总是互相联 系又是互相区别的,进一步培养辩证唯物主义观点。 【重点难点】 重点:相切的性质及运用。 难点:能运用这些知识进行有关的证明和计算; 【学习方法】互动交流法 【学习过程】 【预习交流】 1.⊙O 的半径为 5 ,圆心 O 到直线 l 的距离为 3 ,则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 ) B.外离、相交 D.外离、内切 ) D.内切
A O B

C. 相离

D. 无法确定

2.如图,国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成,在这个图案中反映 出 的两圆位置关系有( A.内切、相交 C.外切、外离

3. 两圆半径分别为 3 和 4,圆心距为 7,则这两个圆( A.外切 B.相交 C.相离 4. 如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线
PA,PB ,切点分别为 A,B .如果 ?APB ? 60 ,
?

PA ? 8 ,那么弦 AB 的长是(

P

) D. 8 3

A.4

B.8

C. 4 3

5. 已知⊙O的半径是3,圆心O到直线AB的距离是3,则直线AB与⊙O的位置 关系是 . ;

【合作探究展示拔高】 1. 点与圆的位置关系共有三种: ① , ② , ③ 对应的点到圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为: ①d r,②d r,③d r. 2. 直线与圆的位置关系共有三种:① ,② ,③ 对应的圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系分别为: ①d r,②d r,③d r.

.

3. 圆与圆的位置关系共有五种:① ,② ,③ ,④ , ⑤ ;两圆的圆心距 d 和两圆的半径 R、r(R≥r)之间的数量关系分 别为:①d R-r,②d R-r,③ R-r d R+r,④d R +r,⑤d R+r. 4. 圆的切线 过切点的半径;经过 的一端,并且 这 条 的直线是圆的切线. 5. 从圆外一点可以向圆引 条切线, 相等, 相等. 6. 三角形的三个顶点确定 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形 的外接圆的圆心叫 心,是三角形 的交点. 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ,内切圆的圆心是三角形 的交点,叫做三角形的 . 【巩固拓展】 例 1 如图,线段 AB 经过圆心 O ,交⊙O 于点 A,C ,点 D 在⊙O 上,连接
AD,BD , ?A ? ?B ? 30? . BD 是⊙O 的切线吗?请说明理由.

例 2 如图所示, ⊙O 的直径 AB=4, P 是 AB 延长线上的一点, P 点作⊙O 点 过 的切线,切点为 C,连结 AC. (1)若∠CPA=30°求 PC 的长; , (2)若点 P 在 AB 的延长线上运动,∠CPA 的平分线交 AC 于点 M. 你 认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变 化,求∠CMP 的大小.

C
M

A

O

B

P

例 3 如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦, 延长 BD 到点 C , D ?D 使 C B 连结 AC ,过点 D 作 DE ? AC ,垂足为 E . A (1)求证: AB ? AC ; (2)求证: DE 为⊙O 的切线;
O



(3)若⊙O 的半径为 5, ?BAC ? 60 ,求 DE 的长. E
?

C

D

B

【中考演练达标测评】 1. 如图, 为⊙O 外一点, 切⊙O 于点 A, OP=5, P PA 且 PA=4, sin∠APO 则 等于( ) A. 4
5

B. 3
5

A P · O

C. 4 3

D. 3 4

2. 如图,⊙O1,⊙O2,⊙O3 两两相外切,⊙O1 的半径 r1 ? 1 ,⊙O2 的半 径 r2 ? 2 ,⊙O3 的半径 r3 ? 3 ,则 △O1O2O3 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 )
O3 O2

O1

3. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,⊙O 的半径 R=2,sinB= 长为 .

3 ,则弦 AC 的 4

4. 已知,⊙ O1 的半径为 5 ,⊙ O2 的半径为 9 ,且⊙ O1 与⊙ O2 相切,则这两圆 的圆心距为___________.
△ ? 5. 如图所示, ABC 是直角三角形, ABC ? 90? , AB 为直径的⊙O 交 AC 以

于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连结 DE . (1)求证: DE 与⊙O 相切; (2)若⊙O 的半径为 3 , DE ? 3 ,求 AE .

A O B E C

D

﹡6. 如图,点 A,B 在直线 MN 上,AB=11 厘米,⊙A,⊙B 的半径均为 1 厘米.⊙A 以每秒 2 厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B 的半径也 不断增大, 其半径 r(厘米)与时间 t(秒)之间的关系式为 r=1+t(t≥0) . (1)试写出点 A,B 之间的距离 d(厘米) 与时间 t(秒)之间的函数表达式; (2)问点 A 出发后多少秒两圆相切? M A

B

N

学生学习体会: 教师教后反思:

.与圆有关的计算

【学习目标】 知识与技能.运用与圆有关的知识解决问题。 数学思考:探索并掌握几种与圆有关的位置关系 问题解决.培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力; 情感态度价值观:进一步培养辩证唯物主义观点。 【重点难点】 重点:圆的性质及应用。 难点:能运用知识进行有关的证明和计算; 【学习方法】互动交流法
【学习过程】 【预习交流合作探究】 ⌒ 1. 如图,在⊙O 中, ?AOB ? 60? , AB ? 3cm , 则劣弧AB 的长 为 cm. ⌒ 2. 翔宇学中的铅球场如图所示,已知扇形 AOB 的面积是 36 米 2,AB 的 长度为 9 米,那么半径 OA =
O

米.
O

A 第1题

B 第2题 第3题 第5题

3. 如图,已知扇形的半径为 3cm,圆心角为 120°,则扇形的面积 为__________ cm2 .(结果保留 ? )
4 4. 已知扇形的半径为 2cm,面积是 ? cm 2 ,则扇形的弧长是 cm, 3 扇形的圆心角为 °. 5. 如图,正六边形内接于圆 O ,圆 O 的半径为 10,则圆中阴影部分的 面积为 .

【展示拔高】 1. 圆的周长为 心角所对 的弧长为 2. 圆的面积为

,1°的圆心角所对的弧长为 ,弧长公式为 ,1°的圆心角所在的扇形面积为
? ?R 2 =

,n°的圆 . ,n° = 的半径, l 为 . 的

的圆心角所在的扇形面积为 S=

3. 圆柱的侧面积公式:S= 2? rl .(其中 r 为 高) 4. 圆锥的侧面积公式: ? rl .(其中 r 为 S=

的半径,l 为

的长)

【巩固拓展】 例1 如图,CD切⊙O于点D,连结OC,交⊙O于点B,过点B作弦AB⊥OD, 点E为垂足,已知⊙O的半径为10,sin∠COD = CD的长; (3)劣弧AB的长.(结果保留三个有效数字, sin53.13? ≈ 0.8 , π ≈3.142)
4 .(1)求弦AB的长; (2) 5

例2

如图, AB 为⊙O的直径, CD ? AB 于点 E ,交⊙O于点 D ,
OF ? AC 于点 F .

(1)请写出三条与 BC 有关的正确结论; (2)当 ?D ? 30? , BC ? 1 时,求圆中阴影部分的面积.
C F A O E D B

例3

如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C ,连结 OA 、 OB , OB 交⊙O 于点 D, 已知 OA ? OB ? 6cm , AB ? 6 3cm . 求(1)⊙O 的半径; (2)图中阴影部分的面积.

O
D

A

C

B

【达标测评】 1. Rt△ ABC 中, ?C ? 90? , AC ? 8 , BC ? 6 ,两等圆⊙A,⊙B 外切,那么 图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( ) 25 25 25 25 A. ? B. ? C. ? D. ? 4 8 16 32 2. 如图,在矩形空地上铺 4 块扇形草地.若扇形的半径均为 r 米,圆心角均 为 90? ,则铺上的草地共有 平方米.

B

C

A

3. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,且 AB ? 13 , BC ? 5 . (1)求 sin ?BAC 的值; C (2)如果 OD ? AC ,垂足为 D ,求 AD 的长; (3)求图中阴影部分的面积(精确到 0.1) . D
A O B

﹡4. 如图,从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90? 的扇形. (1)求这个扇形的面积(结果保留 ? ) ; (2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与 此扇形围成一个圆锥?请说明理由. (3)当⊙O 的半径 R( R ? 0) 为任意值时, (2)中的结论是否仍然成立?请 A 说明理由. ① ②
B


O

C

学生学习体会: 教师教后反思:



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