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江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析7:数列的综合考查


启东中学高考数学复习之:数列的综合
一、方法技巧 1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ①若 ②若 = +(n-1)d= +(n-k)d ,则 ?an ? 为等差数列; ,则 ?an ? 为等比数列。

(3)中项公式法:验证中项公式成立。 2. 在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

? am ? 0 的项数 m 使得 Sm 取最大值. ?am?1 ? 0 ? am ? 0 的项数 m 使得 ?am?1 ? 0
取最小值。

(2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 二、注意事项 1.证明数列 ?an ? 是等差或等比数列常用定义,即通过证明 an?1 ? an ? an ? an?1 或

an?1 a ? n 而得。 an a n?1

2.注意 sn 与 an 之间关系的转化。如: an = ? 三.典型考例

?

S1 ? 0

? Sn ? Sn ?1 ? 0

n ?1 , n?2

an = a1 ? ? (ak ? ak ?1 ) .
k ?2

n

例 1、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1?(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的 各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn 解: (Ⅰ)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公比为 d 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1

由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9

故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d

1

由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0

2

解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∴ Tn ? 3n ?

∴d ? 2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

1.设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式 2.(上海卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? Sn ? 4096 。 (1)求数列 {an } 的通项公式? (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 ?Tn ? ,从第几项起 Tn ? ?509 ? .解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048. 当 n≥2 时, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴

an 1 = a n ?1 2

an=2048(

1 n-1 ) . 2

(2) ∵log2an=log2[2048(

1 n-1 ) ]=12-n, 2

∴Tn=

1 2 (-n +23n). 2
∴从第 46 项起 Tn<-509.

由 Tn<-509,解得 n>

23 ? 4601 ,而 n 是正整数,于是,n≥46. 2

3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

1 , 前 n 项和为 S n , 且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 (Ⅰ) 求 ?an ? 2

解: (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 . 因为 an ? 0 ,所以 2 q
10 10

? 1, 解得 q ?

1 1 n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. ,因而 a n ? a1 q 2 2

(Ⅱ)因为 {an } 是首项 a1 ?

1 1 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
则数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ?

1 2

2 n ? ? ? n ), 2 2 2

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2
前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2
2

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2



Tn ?

n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2

[例](上海卷)已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的前 n 项和为 S n ,且 a n ?1 = ,其中常数 a >1. (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) (1)求证:数列 { an } 是等比数列; (2)若 a =2 2k ) ,求数列 { bn } 的通项公式; (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - (1) [证明] 当 n=1 时,a2=2a,则
2 2 k ?1

,数列 { bn } 满足 bn =

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅, n

3 3 3 3 |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - |≤4,求 k 的值. 2 2 2 2

a2 =a; a1

2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴

a n ?1 =a, ∴数列{an}是等比数列. an
1? 2 ??? ( n ?1)

(2) 解:由(1) 得 an=2a

n ?1

, ∴a1a2…an=2 n a

=2 n a

n ( n ?1) 2

=2

n?

n ( n ?1) 2 k ?1

,

n(n ? 1) n ?1 ]? ? 1 (n=1,2,…,2k). 2k ? 1 2k ? 1 3 1 3 (3)设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ; 2 2 2 3 当 n≥k+1 时, bn> . 2 3 3 3 3 3 原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1- )+…+(b2k- ) 2 2 2 2 2
bn= [n ?

1 n

=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)

1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k k2 =[ 2 . ? k] ? [ 2 ? k] = 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
k2 当 ≤4,得 k2-8k+4≤0, 2k ? 1
∴当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 4 . [ 例 ] , 已 知 数 列 ?an ? 中 , S n 是 其 前 n 项 和 , 并 且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴ 设 数 列 求证: 数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ? bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) , 4-2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,

an , (n ? 1,2, ??) , 求证: 数列 ?cn ? 2n
3

是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 解:(1)由 S n?1 =4a n ?2 ,S n ? 2 =4a n?1 +2,两式相减,得 S n ? 2 -S n?1 =4(a n?1 -a n ),即 a n ? 2 =4a n?1 -4a n .(根据 b n 的构 造,如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练) a n ? 2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n ① ②
n ?1

已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3 由①和②得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2



当 n≥2 时,S n =4a n?1 +2=2

n ?1

(3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适合上式.
n ?1

综上可知,所求的求和公式为 S n =2

(3n-4)+2.
'

例 3(2006 湖北卷)已知二次函数 y = f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) = 6x - 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n? N* )均在函数 y = f ( x) 的图像上。 (Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、设

bn =

m 1 * , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn < 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20 an an+ 1
解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3× 12-2=6× 1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
4

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ). ? ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以满足要 2 6n ? 1 20 2 20

求的最小正整数 m 为 10.

5.设 f1 ( x) ?

f (0) ? 1 2 ,定义 f n ?1 ( x) ? f1 [ f n ( x)],a n ? n ,其中 n∈N*. 1? x f n (0) ? 2

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n , , 解: (1) f 1 (0) =2, a1 ?

2 ?1 1 2 ? , f n?1 (0) ? f1[ f n (0)] ? , 2?2 4 1 ? f n (0)

∴ a n ?1

2 ?1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? f n (0) 1 ? f n (0) 1 f (0) ? 1 1 ? ? ? ?? ? n ? ? an 2 f n ?1 (0) ? 2 4 ? 2 f n (0) 2 f n (0) ? 2 2 ?2 1 ? f n (0)



a n ?1 1 1 1 1 1 ? ? ,∴数列{an}上首项为 ,公比为 ? 的等比数列, a n ? (? ) n ?1 4 2 4 2 an 2

(2) T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n ,

1 1 1 1 1 ? T2 n ? (? )a1 ? (? )2a 2 ? (? )3a3 ? ? ? (? )2na 2 n , 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) 2 n ] 1 3n ? 1 3 1 1 2 两式相减得: T2 n ? 4 ? n ? (? ) 2 n ?1 , T2 n ? (1 ? 2 n ) 1 9 2 2 4 2 1? 2 6. (湖北卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=3x-2 的图像上。
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 都成立的最小正整数 m。 本小题主要是考查等差数列、 数列求和、 不等式等基础知识和基本的运算技能, 考查分析问题能力和推理能力。 解: (I)依题意得,

m 3 ? ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 20 a n a n ?1

S
n
n

n

? 3n ? 2, 即 S n ? 3n2 ? 2n 。
n ?1

当 n≥2 时,a

a ? s ?s
n

? (3n2 ? 2n) ? ?3 ? n ? 1? ? 2(n ? 1) ? ? 6n ? 5 ; ? ?
2

5

当 n=1 时, 所以

a ? s ? 3 ×1 -2×1-1-6×1-5
2

1

1

a ? 6 ? 5(n ? N ?) 。
n n

(II)由(I)得 bn ?

3 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5) ?6( n ?1) ?5 ? 2 ? 6 n ?5 6 n ?1 ?

因此,使得

1 m 1? 1 ? m ?1 ? ? ﹤ 20 ? n ? N ?? 成立的 m 必须满足 2 ≤ 20 ,即 m≥10,故满足要求的最小整数 m 为 10。 2 ? 6n ? 1 ?

例 3 .在直角坐标平面上有一点列 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ?, P n ( xn , y n ) ? ,对一切正整数 n ,点 P n 位于函数

y ? 3x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? . 4 2

⑴求点 Pn 的坐标;子⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶 点为 Pn ,且过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 k n ,求: 解: (1) x n ? ?

1 1 1 . ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n

5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2

? yn ? 3 ? xn ?

13 5 3 5 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4 2n ? 3 2 12 n ? 5 ) ? , 2 4

(2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为: y ? a ( x ?

把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1 。

k n ? y ' | x?0 ? 2n ? 3 ,?
?
=

1 k n?1k n

?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ??? 7 9 2n ? 1 2n ? 3 k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6

点评:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大。 (1) 、 (2)两问运用几何知识算出 kn .

1 的直线交 2 1 1 抛物线于点 P 的直线交抛物线于点 P 2 ,再过 P 2 作斜率为 3 , ? ,如此继续,一般地,过点 P n 作斜率为 n 的直 4 2
7.已知抛物线 x ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点 P1 作斜率为
2

线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P n ( xn , yn ) . (Ⅰ)令 bn ? x2n?1 ? x2 n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列.并求数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn 解: (1)因为 P n ( xn , yn ) 、 P n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) 在抛物线上,故 xn ? 4 yn , ① xn?1 ? 4 yn?1 ②,又因为直线 P nP n?1 的斜
6
2 2

率为

y ? yn 1 1 ,即 n ?1 ? ,①②代入可得 n 2 xn ?1 ? xn 2

1 x2n?1 ? x2n 1 1 ? n ? xn?1 ? xn ? n?2 ?bn ? x2n?1 ? x2n?1 ? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( x2n ? x2n?1 ) 4 xn?1 ? xn 2 2
? 1 2
2n?2

?

1 2
2 n ?3

??

1 2
2 n?2





bn ?1 1 1 ? ? {bn } 是以 4 bn 4

4 1 3 1 (1 ? n ) ? Sn ? 1 ? n , 3 4 4 4 1 2 ? 10.(安徽卷)数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 = , S n = n an - n (n - 1), n = 1, 2, 鬃 2
为公比的等比数列; S n ? ? (Ⅰ)写出 Sn 与 Sn- 1 的递推关系式 (n ? 2),并求 Sn 关于 n 的表达式;

S n n+ 1 x , bn = f n/ ( p )( p ? R ) ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn 。 n 2 解:由 Sn = n an - n(n - 1) (n ? 2)得: Sn = n2 (Sn - Sn- 1 ) - n(n - 1) ,即 (n2 - 1)Sn - n2 Sn- 1 = n(n - 1) ,
(Ⅱ)设 f n ( x) = 所以

n+ 1 n Sn Sn- 1 = 1 ,对 n ? 2 成立。 n n- 1 n+ 1 n n n- 1 3 2 Sn Sn- 1 = 1 , Sn- 1 Sn- 2 = 1 ,…, S2 - S1 = 1 相加得: n n- 1 n- 1 n- 2 2 1



n+ 1 1 n2 S n - 2 S1 = n - 1 ,又 S1 = a1 = ,所以 S n = ,当 n = 1 时,也成立。 n 2 n+ 1
(Ⅱ)由 f n ( x ) =

S n n+ 1 n n+ 1 x = x ,得 bn = fn/ ( p) = npn 。 n n+ 1

而 Tn = p + 2 p2 + 3 p3 + ?+ (n - 1) pn- 1 + npn ,

pTn = p2 + 2 p3 + 3 p4 + ?+ (n - 1) pn + npn+ 1 ,
(1- P)Tn = p + p 2 + p3 + ? + p n- 1 + p n - np n+ 1 =
1

p(1- p n ) - np n+ 1 1- p

11.(福建卷)已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+ a n 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数列,如当 a=1 时,得

3 5 1 1 到无穷数列: 1,2, , , ?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2
(Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ)设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1= 一个数,都可以得到一个有穷数列{an}; (I)解法一:? a1 ? a, a n ?1 ? 1 ?

1 (n ? N ? ) ,求证 a 取数列{bn}中的任 bn ? 1

1 , an

\ a2 = 1+

1 1 a+ 1 1 2a + 1 1 3a + 2 2 = 1+ = , a3 = 1+ = a4 = 1+ = .故当a = - 时a4 = 0. a1 a a a2 a+ 1 a3 2a + 1 3
7

解法二 : ? a4 = 0, \ 1 +

1 1 1 1 2 2 = 0, \ a3 = - 1.? a3 = 1 + , \ a2 = .? a2 = 1 + , \ a = - .故当a = - 时a4 = 0. a3 a2 2 a 3 3 b 1 , \ bn = + 1.a取数列{bn }中的任一个数不妨设a = bn . bn - 1 bn+ 1


( II )解法一 : ? b1 = - 1, bn+ 1 =

1 1 1 1 ? a = bn , \ a2 = 1 + = 1 + = bn- 1. \ a3 = 1 + = 1+ = bn- 2 .?? a1 bn a2 bn- 1 \ an = 1 + 1 an- 1 = 1+ 1 = b1 = - 1. b2 \ an+ 1 = 0.

a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an} 12. (全国卷 III) 在等差数列 {an } 中,公差 d ? 0, a2是a1与a4 的等比中项. 已知数列 a1 , a3 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?成等比数列,求数列 {k n } 的通项 k n .
2 解:由题意得: a2 ? a1a4 ……………1 分

即 (a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 3d ) …………3 分 又 d ? 0, ? a1 ? d …………4 分 又 a1 , a3 , ak1 , ak2 ,?, akn ,?成等比数列, ∴该数列的公比为 q ? 所以 akn ? a1 ? 3
n?1

a3 3d ? ? 3 ,………6 分 a1 d

………8 分

又 akn ? a1 ? (k n ? 1)d ? k n a1 ……………………………………10 分

? k n ? 3n?1 所以数列 {k n } 的通项为 k n ? 3n?1 ……………………………12 分
课后训练: 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.如果-1,a, b,c,-9 成等比数列,那么 A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9

2.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于 A.40 B.42 C.43 D.45

3. (06 广东卷)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2

4.若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? A.4 B.2 C.-2 D.-4
8

5. (06 江西卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB =a1 OA +a 200 OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线 不过原点 O) ,则 S200=( A.100 ) C.200 D.201

??? ?

????

??? ?

B. 101

6.(文科做)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于 A. 2
n ?1

?2

B. 3n

C. 2 n

D. 3n ? 1 ( )

7.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a2007 =
3 2

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

S3 1 S6 8. (06 全国 II)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = S6 3 S12

A.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9 ) D.45

9.已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于( A.18 B.27 C.36

10 . ( 06 天津卷)已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于( a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) A.55 B.70 C.85 D.100 )

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14,S10- S7 =30,则 S9= 12.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. 13. 已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值范围是________ _
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14. 等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项为_________ 15.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 三、解答题(共 4 小题,每小题 4 分,共 24 分) 16
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已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an ? 5an ? 6, 且 a1 , a2 , a15 成等比数列,求数列 ?an ? 的通项
2

an .
17.(文科做) (06 福建)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

9

(II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数 18. (山东卷)已知数列{ an }中, a1 ?

1 、点(n、 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. 2

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 ?bn ?是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ?的通项; (Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、 试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? Sn ? ?Tn ? ? 为等差数列?若存在, ? n ?

答案与点拨: 1 B 解:由等比数列的性质可得 ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同,故 b=-3,选 B 2 B 解:在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, ∴ d=3,a5=14, a4 ? a5 ? a6 =3a5=42,选 B. 3 D 解: ? 4

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30

D 解:由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设 a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得 b=2,所以 a=2

-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得 d=6,所以 a=-4,选 D 5 A 解:依题意,a1+a200=1,故选 A 6 (文)C 解:因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 ? 也是等比数列, 则

(an ?1 ? 1) 2 ? (an ? 1)(an ? 2 ? 1) ? an ?12 ? 2an ?1 ? an an ? 2 ? an ? an ? 2 ? an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q ) ? 0 ? q ? 1

即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。 7 .A 提示:由 a1=0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N ? ). 得 a2=- 3, a3 ? 3, a4 ? 0,? ? ? ? ? ?

由此可知:数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=- 3. 故选 A 8 A 解:由等差数列的求和公式可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3

所以

S6 6a ? 15d 27d 3 ? 1 ? ? ,故选 A S12 12a1 ? 66d 90d 10

点评:本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般 9 C 解:在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴ a1 ? a9 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S9=

9(a1 ? a9 ) =36,选 C 2
10

10 C 解:数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , a1 , b1 ? N * .设

cn ? abn ( n ? N * ), 则 数 列 {cn } 的 前 10 项 和 等 于 ab1 ? ab2 ? ? ? ab1 = ab1 ? ab1 ?1 ? ? ? ab1 ?9 , 0
ab1 ? a1 ? (b1 ?1) ? 4 ,∴ ab1 ? ab1 ?1 ? ? ? ab1 ?9
= 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 13 ? 85 ,选 C. 11.(文)解:设等差数列 ?an ? 的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4a1 ?

4(4 ? 1) d ? 14, 2 10(10 ? 1) 7(7 ? 1) 9(9 ? 1) [10 a1 ? d ] ? [7a1 ? d ] ? 30 ,联立解得 a1=2,d=1,所以 S9= 9 ? 2 ? ? 1 ? 54 2 2 2
n ?1

12. 2

? 3 解 :在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) ,即 { an ? 3 }
n ?1

是以 a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以该数列的通项 an ? 2 13 14
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?3.

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(-∞,8) a11=29

提示 提示
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解出 a、b,解对数不等式即可 利用 S 奇/S 偶=

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(-∞,8)

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n ?1 得解 n

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第 11 项 a11=29

15.-2

提示:由题意可知 q≠1,∴可得 2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即 q2+q-2=0,解得 q=-2 或 q=1(不合题意,舍去),

∴q=-2.

16 解:13

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∵10Sn=an2+5an+6, ①

∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3.

又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 17.(I)证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an , ? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ),? a1 ? 1, a2 ? 3,?

an? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2 (n ? N ), ?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
n *

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ?1(n ? N * ).
(III)证明:? 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn ,
① ②
11

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.

②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,

即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0.



nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

④ 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
1 、点(n、 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. 2

18. (山东卷)已知数列{ an }中, a1 ?

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 (Ⅱ)求数列 ?an ? ?bn ?是等比数列; 的通项; (Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、 试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? Sn ? ?Tn ? ? 为等差数列?若存在, ? n ?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2 3 3 1 3 ? a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4
解: (I)由已知得

a1 ?

又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ? 1,

an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? bn ?1 an ?1 ? an ? 1 1 2 2 ? 2 ? ? ? ? . bn an ? 2 ? an ?1 ? 1 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2
1 3 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 2 4 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2
(III)解法一: 存在 ? ? 2 ,使数列 {

? an ?

3 ? n ? 2. 2n

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

12

? Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3(

1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 1 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 2 2 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3(1 ? 1 ) ? n ? 3n ? ? 3 ? n ? 3n ? 3. ? 3? 2 1 2n 2 2n 2 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n n
即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn,

3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? 3 ? ? (? ? n?1 ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) 又 Sn ? ?Tn ? ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

? 当且仅当 1 ?
解法二:

?
2

? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 {

S n ? ?Tn } 为等差数列. n

存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2 ? S n ? 2T ?

n(n ? 1) ? 2n 2

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 2 ? ? Tn 2 n n 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 又 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2 S ? ?Tn } 是等差数列. ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n n Sn ? ?Tn ? n

13


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