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均值不等式学案用1



3.2 一、学习目标:

均值不等式(一)

1.掌握均值定理的推导 2.培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.

二、重点难点:
重点:均值定理的推导极其应用 难点:均值定理在实际问题中的应用

三、学习过程: (一)自学教材,填空
⒈正数 a、b 的算术平均数为 ;几何

平均数为 . ⒉均值不等式是 。其中前者是 ,后者是 如何给出几何解释? ⒊在均值不等式中 a、b 既可以表示数,又可以表示代数式,但都必须保证 等号成立的条件是 . . ;另外

(二) 【情境导学】 在学习等差数列和等比数列时,我们知道两个正数 a,b 的等差中项和等比中项 a+b 分别为 、 ab,那么这两个中项有什么大小关系哪?能不能相等?什么条件 2 下相等?本节我们就来研究这个问题. 【探究点一】 思考: 重要不等式 a2+b2≥2ab

如何证明不等式 a2+b2 ≥2ab?

【探究点二】

基本不等式

a+b ≥ ab 2

思考 1 如果 a>0,b>0,用 a, b分别代替 a2+b2≥2ab 中的 a,b 会得到怎样 的不等式?

思考 2

如何证明不等式

a+b ≥ ab (a>0,b>0)? 2

思考 3

a+b 对任意两个正实数 a, b, 数 叫做 a, b 的算术平均值, 数 ab叫做 a, 2

b 的几何平均值.那么均值定理如何用它们表述?

1

思考 4

a+b 如果把 ab看作是正数 a, b 的等比中项, 看作是正数 a,b 的等差 2

中项,该定理如何叙述?

思考 5 么?

不等式 a2+b2≥2ab 与 ab≤

a+b 成立的条件相同吗?如果不同各是什 2

例1

b a 已知 ab>0,求证: + ≥2,并推导出式中等号成立的条件. a b

跟踪训练 (1) 已知 a, b, c 为不全相等的正数, 求证: a+b+c> ab+ bc+ ca.

1 1 (2)已知 a, b ? R? , 求证: (a ? )(b ? ) ? 4. a b

【探究点三】

均值不等式 ab≤

a+b 的几何解释 2

思考 如图,以长为 a+b 的线段为直径作圆 O,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a, CB=b,过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′.能否借助该几何图形解释均值不等式 的几何意义?

2

例2

1 1 1 已知 a,b,c 都是正实数,且 a+b+c=1,求证: + + ≥9. a b c

跟踪训练 2

已知 a、b、c 都是正实数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

四、总结反思(本节课我们学到了哪些知识?)

五.巩固练习 1.若 0<a<b,则下列不等式一定成立的是( ) a+b a+b A.a> > ab>b B.b> ab> >a 2 2 a+b a+b C.b> > ab>a D.b>a> > ab 2 2 1 2.设 b>a>0,且 a+b=1,则此 四个数 ,2ab,a2+b2,b 中最大的是( 2 1 A.b B .a2+b2 C.2ab D. 2 3.若 a,b∈R,且 ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a2+b2>2ab B.a+ b≥2 ab 1 1 2 C. + > a b ab b a D. + ≥2 a b )

)

4.若 x>0,y>0,且 x+y=4,则下列不等式中恒成立的是( 1 1 1 1 1 A. < B. + ≥1 C. xy≥2 D. ≥1 x+y 4 x y xy

5.设 a>0,b>0,给出下列不等式: 1?? 1? ? ?1 1? ①a2+1>a;②?a+ ??b+ ?≥4;③(a+b)? + ?≥4;④a2+9>6a. a?? b? ? ?a b? 其中恒成立的是________.(填序号)

3

6 判断下列不等式的证明过程中的正误,并指出错因。 (1)若 a、b∈R,则


b a b a + ≥2 ? =2( a b a b



(2)若 x、y∈R ,则 lgx+lgy≥2 lg x ? lg y (




(3)x∈R ,则 x+
x

4 4 ≥-2 x ? =-4( x x
?x

) )

(4)若 x∈R,则 2 + 2

≥2 2 x ? 2 ? x =2(

bc ca ab 7.设 a、b、c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c. a b c

x2+y2 8.已知 x>y>0,xy=1,求证: ≥2 2. x-y

4



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