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用“时间最少原理”巧解物理竞赛题



用“时间最少原理”巧解物理竞赛题
福建南平三中郑书光 法国数学家费尔马 1657 年提出了光在介质中传播时所走的路程取极值的“费尔马原理”,当光线从 介质 1 中的 A 点经界面 M 折射后经过介质 2 中的 B 点,如图 1 所示,这 是同学们很熟悉的光的折射现象, 即光不是沿着最短路径而是沿着经历 时间最少的路径进行,我们把它叫做“时间最少原理”.设光在介质 1 和

介质 2 中速度分别为 v1 和 v2, N Nˊ是法线, O 点是入射点, 入射角为α , 折射角为β ,根据光的折射定律有: n1 sin ? ? n2 sin ? ,由光学知识知 道, n1 ?

c c sin ? v1 , n2 ? ,将 n1 和 n2 代人折射定律可得到: ? . v1 v2 sin ? v2

图1

所以,光从 A 到 B 的最小时间必须满足的条件是:

sin ? v1 ? . “时间最少原理”在数学和物理解题 sin ? v2

中会经常用到,下面以 2010 年上海市第 24 届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试题第 34 题为例加以 说明. 题目 图 2(a)所示的是代号为“黑鸟 SR-71”的战略侦察机.该侦察机以两倍音速在距离地面高度 为 L 的高空水平飞行,某人站在地面上 A 点,当侦察机经过 D 点时,其正下方恰好是 A 点,如图 2(b) 所示.人最先听到的轰鸣声是侦察机飞到距离 A 点_________处所发出的,当人听到该声音时,侦察机

图3 图2 离 A 点的距离为________. 解析 设侦察机飞到 O 点发出的轰鸣声最先传到 A 点, 如图 3 所示.OB 直线上方看成一种介质, 速 0 度是 v 飞.OB 直线下方看成另一种介质,速度是 v 声.入射角为α =90 ,折射角为β ,依题意 v 飞=2v 声.根 据“时间最少原理”的条件有:

1 sin ? v飞 sin 900 2v声 0 ? ,即 ,sin ? ? ,β =30 .由图 3 可知, ? 2 sin ? v声 sin ? v声

O 到 A 的距离是 s OA ?

L L 2L ? ? 3. 0 cos? cos30 3

轰鸣声从 O 点传到 A 经历的时间是 t ?

s OA 2L ? 3 ,人听到该声音时,侦察机飞到 B 点,O 到 v声 3v声

B 的距离是 s OB ? v飞t ? 2v声 ?

2L 3v声

3?

2L 1 L 4L 3? ? 3, 3 , s OD ? s OA ? sin? ? 3 2 3 3

s DB ? s OB ? s OD ?

4L L 3? 3 ? L 3 , s BA ? s 2 AD ? s 2 DB ? L2 ? ( L 3 ) 2 ? 2 L . 3 3
s 2 OA ? 2s OA s OB ? cos 60 0 ? s 2 OB ? 2 L .

或用余弦定理有: s BA ?

所以,人最先听到的轰鸣声是侦察机飞到距离 A 点 机离 A 点的距离为 2L.

2L 3 处所发出的,当人听到该声音时,侦察 3



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