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8.4 双曲线的简单几何性质 (二)



2015年12月14日星期
1

复习回顾
双曲线的简单几何性质:

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
B2

y

y
F2
2 B1

F1(-

c,0) 方程 范围
2 2

F1

A1 A2
O

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

F (0,c) x F1(0,-c)

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b x ? a 或 x ? ?a,y ? R
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b y ? a 或 y ? ?a,x ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

A1(0,-a),A2(0,a)

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

例题解析
y 例1.求下列双曲线的渐近线方程,并画出图像:
x2 y2 1). ? ?1 9 4
x2 y2 2). ? ? ?1 9 4

2 2 ? a ? 9 , b 解:1)

? a ? 3,

2 ? 渐近线方程是y= ? x 3 2 y x2 ? ?1 2)把方程化为标准方程 4 9

?4 b?2

0

x

? a ? 4, b 2 ? 9 ? a ? 2,
2

2 ? 渐近线方程是y= ? x. 3

b?3

问题:反过来,已知渐近线方程,能否求出双曲线的方程呢? y y
1 y? x

0

x

o

x

一条双曲线有两条确定的渐近线,而两条渐近 线对应有许多条双曲线

问题:怎样才能求出双曲线?

例2.已知双曲线的渐近线是 x ? 2 y ? 0 ,并且 双曲线过点 M (4, 3 ) 求双曲线方程。 1 解 : 过M 点作直线x=4与渐近线y= x的交于Q (4, 2)

?2 ?

2 1 x轴上, 3 ? M 点在直线y= 2 x的下方,即双曲线焦点在 x2 y 2 y 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 a b
Q M
? 双曲线经过点(4, 3),把(4, 3 )代
2 2 4 ( 3) 1) 入上式, 得到 ? ? 1 a2 b2 1 b 1 又 ? 渐近线是y= ? x ? ? 2) 2 a 2

o

4

x

由1), 2)解得 a 2 ? 4, b2 ? 1 x2 ? 双曲线方程为 -y 2=1 4

例3.已知双曲线的渐近线是 x ? 2 y ? 0 ,并且 双曲线过点 N (4, 5 ) 求双曲线方程。 1 (4,2) 解 : 过N点作直线x=4与渐近线y= x的交于Q

?2 ? 5

y

2 1 ? N点在直线y= x的上方,即双曲线焦点在y轴上, 2 2 2
设双曲线方程为
Q

N

y x ? ?1 2 2 a b ? 双曲线经过点(4, 5),把(4, 5 )代

o

2 2 4 ( 5) 1) 入上式, 得到 ? 2 ?1 2 a b a 1 1 x 2) 又 ? 渐近线是y= ? x ? ? b 2 2

2 x 双曲线方程为 y 2- = 1 4

由1),2)解得a ? 1, b ? 4
2 2

双曲线方程与其渐近线方程之间有什么规律?
x2 y 2 双曲线方程 ? ? 1 9 4
y 2 x2 双曲线方程 ? ?1 4 9
x2 双曲线方程 -y 2= 1 4
2 x 双曲线方程 y 2- = 1 4

2 渐近线方程是y= ? x 3 x y 渐近线方程是 ? ? 0. 3 2 2 渐近线方程是y= ? x. 3 x y 渐近线方程是 ? ? 0. 3 2

渐近线方程x ? 2 y ? 0

渐近线方程2 y ? x ? 0

能不能直接由双曲线方程得出它的渐近线方程? x2 y2 x y x y ? 2 ?0 ( ? )( ? ) ? 0 2 a b a b a b b
x y x y ? ? 0或 ? ? 0. a b a b
2 2

y= ?

b x ?a y ? 0
2 2

(bx ? ay)(bx ? ay) ? 0

a

x

结论:

bx ? ay ? 0或 bx ? ay ? 0

b y= ? x a

x2 y2 x2 y2 x y 1)双曲线 2 ? 2 ? ?的渐近线方程是 2 ? 2 ? 0,即 ? ? 0. a b a b2 a b 2 x y x y 2)渐近线方程为 ? ? 0的双曲线方程是 2 ? 2 ? ?..(? ? 0) a b a b

王新敞
奎屯

新疆

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A(3 3,?3) 例4、 求与双曲线 16 9 的双曲线的方程.
2 2 x y 分析:因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线,故可 解:设与 2 ? 2 ? 1共渐近线且过 A(3 3,?3) 的双曲线 先设出双曲线系,再把已知点代入,求得 λ的值即可 4 3

的方程为

x2 y2 ? 2 ?? 2 4 3

11 (3 3 ) 2 (?3) 2 ? ? ? 2 ? ? ,从而有 则 2 16 4 3 x 2 16 y 2 所求双曲线的方程为 ? ?1 11 99

例5.已知双曲线的渐近线是
y

x ? 2 y ? 0 ,并且双

曲线过点 1).M (4, 3 ) 2).N (4, 5 ) 求双曲线方程
Q M o 4 x

解:1)设双曲线方程为 x ? 4y ? ?
2 2

把坐标(4, 3 )代入上式 解得?=4.
2 2

?双曲线方程为 x -4 y =4. x2 即 -y 2=1 4

例5.已知双曲线的渐近线是

x ? 2 y ? 0 ,并且双
2

曲线过点 1).M (4, 3 ) 2).N (4, 5 ) 求双曲线方程

解: 2). 设双曲线方程为x ? 4 y ? ?
2

把坐标(4, 5 )代入上式
2 2

解得?= ? 4.

2 x ?双曲线方程为 x ? 4 y =? 4. 即 y 2- =1 4 2 2 x y 在双曲线 2 ? 2 ? ? 中, a b 若求得? ? 0, 则双曲线的焦点在x轴上;

若? ? 0, 则焦点在y轴上。

1、等轴双曲线
a=b即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴 双曲线
说明:a=b时,双曲线方程变成 x2 ? y 2 ? a2 (或b2 ) 它的实轴和都等于2a(2b),这时直线围成正方形 渐近线方程为 y ? ? x 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成 的角 离心率e=

2

1、定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴 双曲线。 2、等轴双曲线的标准方程:

? 1?

x - y =a
2 2

2

2

2

? 2 ? x ? y ? ?a 2 2 ? 3? x ? y ? ? ? ? ? 0? (不明确焦点的情况下设)
2

3、性质:离心率e ? 2 渐近线方程:y ? ? x

2.共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为: b kb y ? ? x ? ? x(k ? 0) a ka x2 y2 那么此双曲线方程就一定是: ? ? ?1(k ? 0) 2 2 (ka) (kb)

x y 或写成: 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b

2

2

x y ?1?与双曲线 2 ? 2 ? 1?m ? 0,n ? 0 ? m n 共渐近线的双曲线方程 可设为:

2

2

x y - 2 = λ ? λ ? 0? 2 m n n ?2 ?以直线y ? ? x渐近线的双曲线
m 方程可设为 :

2

2

x y - 2 = λ?λ ≠ 0? 2 m n

2

2

3.共轭双曲线

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

y 2 x2 ? 2 ?1 2 b a

具有相同的渐进线和焦距
思考:共轭双曲线与共渐近线双曲线的联系与区别? 共轭双曲线为共渐近线的双曲线; 共渐近线的双曲线不一定是共轭的双曲线.

例6、以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线 叫原双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
Y
F1
B2

X
A2

F’1

A1

o
B1

F’2

F2

例6、以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的 双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;
x2 y2 ? 2 ?1 证明:(1)设已知双曲线的方程是: 2 a b

x y ?0 渐近线为: ? a b y2 x2 则它的共轭双曲线方程是: 2 ? 2 ? 1 b a y x x y ? ? 0 ? ? ?0 渐近线为: b a a b 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线

例6、以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的 双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(2)双曲线 和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. (2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’),

?c ? a ? b
2

2

c? ? a ? b
2

2

∴ c=c'

所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆

x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 上.
问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗?


1).x ? 8 y ? 32 2 2 2).9 x ? y ? 81
2 2
2 2


2 (y ? ? x) 4

1.求下列双曲线的渐近线方程:

( y ? ?3x)

3).x ? y ? ?4 ( y ? ? x) 5 x2 y2 4). ? ? ?1 ( y ? ? x) 49 25 7
2.求与x ? 4 y ? 1有相同渐近线,且过点
2 2

M (4, 3)的双曲线方程。

3.求与x ? 4 y ? 1有相同渐近线,且焦点为
2 2

(? 5, 0)的双曲线方程。
1 4.求渐近线为y ? ? x,且一条准线方程是 2 4 5 y? 的双曲线方程。 5 2 1 y 2 5.求渐近线为y ? ? x,且以椭圆x ? ? 1的焦点 2 5 为顶点的双曲线方程。


知识要点:
2 2



x y b 1. 2 ? 2 ? 1的渐近线是y= ? x. a b a x2 y 2 b a 2. 2 ? 2 ? 1的渐近线是x= ? y.即y= ? x b a a b
技法要点:
x2 y2 x2 y 2 x y 3.双曲线 2 ? 2 ? ?的渐近线方程是 2 ? 2 ? 0,即 ? ? 0. a b a b a b

x y x2 y2 4.渐近线方程为 ? ? 0的双曲线方程是 2 ? 2 ? ?. a b a b



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