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3.3等差数列前n项和公式


等差数列的 前n项和

复习数列的有关概念 的第n项 如果数列 {an } 的第 项 a n 与n之间的关系可以用 之间的关系可以用
公式来表示 公式就叫做这个数列的通项公式。 一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式 一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

S n = a1 + a2 + a3 + L + an ?1 + an 项和。 叫做数列 {an } 的前n项和。 项和
? S1 (n = 1) an = ? ?S n ? S n ?1 (n ≥ 2)

复习等差数列的有关概念
定义:如果一个数列从第2项起 项起, 定义:如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差
等于同一个常数(指与 无关的数),这个数列就叫做等差数列 无关的数),这个数列就叫做等差数列, 等于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示 表示。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 表示。

an+1-an=d(常数 常数) 常数
等差数列

{an}是等差数列
当d≠0时,这是关于n的 时 这是关于 的 一个一次函数。 一个一次函数。

an = a1 + (n ? 1)d

{an} 的通项公式为

如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数A, 成等差数列, 如果在 与b中间插入一个数 ,使a,A,b成等差数列, , , 成等差数列 那么A叫做 叫做a与 的等差中项 的等差中项。 那么 叫做 与b的等差中项。 a+b

A=

2

高斯求和的故事
等差数列 1,2,…50,51,…100的和 的和

Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101

100 ? 101 Sn= 2
=5050

等差数列的前n项和公式的推导 等差数列的前 项和公式的推导
等差数列 a 1 , a 2 , a 3 ,

…,

an,

的前n项和 的前 …, 项和

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1 644444 7444444 4n个 8 2S n = a1 + an ) + a1 + an ) + L + a1 + an ) ( ( (

= n(a1 + an )
n(a1 + an ) Sn = 2

等差数列的前n项和公式的其它形式 等差数列的前 项和公式的其它形式
n(n ? 1) d ?? ? ? → S n = na1 + ? 2 n(n ? 1) a1 = an ? ( n ?1) d d ?? ? ? → S n = nan ? ? 2
an = a1 + ( n ?1) d

n(a1 + an ) Sn = 2

等差数列的前n项和例题 等差数列的前 项和例题1 项和例题
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放 支铅笔, 形架的最下面一层放1支铅笔 例1 一个堆放铅笔的 形架的最下面一层放 支铅笔,往上 每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个 每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放 支 这个V 形架上共放着多少支铅笔? 形架上共放着多少支铅笔? 形架上共放着120层铅笔 层铅笔, 解:由题意可知,这个V形架上共放着 层铅笔, 由题意可知,这个 形架上共放着 且自下而上各层的铅笔数组成等差数 列,记为 a

Q a1 = 1, a120 = 120, n = 120
∴ S120 120 × (1 + 120) = = 7260. 2

{ n}

n(a1 + an ) Sn = 2

形架上共放着7260支铅笔 支铅笔. 答:V形架上共放着 形架上共放着 支铅笔

例2 求集合 M = m | m = 7n, n ∈ N , 且m < 100 的元素个数,并求这些元素的和. 的元素个数,并求这些元素的和

{

}

100 解:Q 7 n < 100 ∴ n < 7
所以集合M中的元素共有 个 所以集合 中的元素共有14个. 中的元素共有

2 = 14 7

将它们从小到大列出, 将它们从小到大列出,得

7 , 2×7, 3×7, 4×7,


L,

14 × 7,
n(a1 + an ) Sn = 2

7,14,21,28,…,98 , , , , , 这个数列是成等差数列, 这个数列是成等差数列,记为 {an }

Q a1 = 7, a14 = 98, n = 14
14 × (7 + 98) ∴ S14 = = 735. 2

共有14个元素 答:集合M共有 个元素,它们的和等于 集合 共有 个元素,它们的和等于735.

等差数列的前n项和练习 等差数列的前 项和练习1 项和练习 {a } 1. 根据下列条件,求相应的等差数列 n 的 S n 根据下列条件,
(1) a 1 = 5 , a n = 95 , n = 10 ;
∴ S 10 10 × ( 5 + 95 ) = = 500 . 2

n(a1 + an ) Sn = 2

( 2 ) a 1 = 100 , d = ? 2 , n = 50 ;
S 50

( 50 50 ? 1) = 50 × 100 + × ( ? 2 ) = 2550 2

n(n ?1) Sn = na1 + d 2

等差数列的前n项和练习 等差数列的前 项和练习1 项和练习 1. 根据下列条件,求相应的等差数列 {an } 的 S n 根据下列条件,
2 3 (3) a1 = ,an = ? , n = 14 ; 3 2 ∴ S 14 14 × [ 2 / 3 + ( ? 3 / 2 )] 35 = =? . 2 6

n(a1 + an ) Sn = 2

( 4 ) a 1 = 14 . 5 , d = 0 . 7 , a n = 32 .
32 ? 14.5 n= + 1 = 26, ∴ 0. 7

an = a1 + (n ? 1)d

S 26

26 × (14 . 5 + 32 ) = = 604 . 5 . 2

等差数列的作业

作业

P122 1(1),(2)

,

2, 3

祝同学们学习愉快, 人人成绩优异!

等差数列的前n项和练习
1. 求自然数中前 个数的和. 求自然数中前n个数的和 个数的和

n(a1 + an ) S n = n( a + a ) Sn = 2 1 n n × (1 + n) n(n + 1) ∴ Sn = = . 2
2 2

2. 求自然数中前 个偶数的和. 求自然数中前n个偶数的和 个偶数的和

n × ( 2 + 2n ) = n(n + 1). ∴ Sn = 2

等差数列的前n项和练习
3 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列, 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列, 求证它们的比是3: : 求证它们的比是 :4:5.
证明: 将成等差数列的三条边的长从小到大排列, 证明: 将成等差数列的三条边的长从小到大排列, 这里a-d>0,d>0) 这里 它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里 由勾股定理, 由勾股定理,得到

(a ? d ) + a = (a + d )
2 2

2

解得

a = 4d
3d, 4d, 5d,

从而这三边的长是

因此,这三条边的长的比是 : : 因此,这三条边的长的比是3:4:5

4.在等差数列中 已知 6+a9+a12+a15=34,求前 项的和 在等差数列中,已知 求前20项的和 在等差数列中 已知a 求前 项的和.

5.在等差数列{an}中: (1) 若a1=1,an= - 512,Sn= - 1022,求公差d 及项数n; (2) 若Sn – a1=48, Sn – an=36, Sn – a1 – a2– an-1 – an =21,求这个数列的所 有项.

已知一个等差数列的前10项的和是 例4.已知一个等差数列的前 项的和是 已知一个等差数列的前 项的和是310,前20项的和是 前 项的和是 1220,求前 项和公式 以及前 项的和 求前n 以及前30项的和 求前 项和公式.以及前 项的和. 10.已知数列 n}是等差数列 n是其前 项的和 求证 6, 已知数列{a 是等差数列 是其前n项的和 求证:S 是等差数列,S 项的和,求证 已知数列 S12-S6, S18-S12 成等差数列 成等差数列. 求证:S 成等差数列. 设k∈N*,求证 k, S2k-Sk, S3k-S2k 成等差数列 ∈ 求证

C组: 在等列前多少项和最大 组 在等列前多少项和最大?

数列{an}的前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}的前n项和.


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