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高中数学复习讲义 第五章 数列


高中数学复习
【知识图解】

数列

一、基础知识回顾 1、从函数的角度看,数列可以看做是一个函数,定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集,函数表达 式就是数列的通项公式. 2、对于数列{an},把 Sn=a1+a2+?+an 叫做数列{an}的前 n 项和,则有 a n ? ? 3.等差数列与等比数列 A.等差数列 1)定义: a n ?1 ? a n ? d (常量)或a n ?1 ?

(n ? 1), ? S1 ?S n ? S n ?1 (n ? 2).

an ? an? 2 . (2)通项公式:an=a1+(n-1)d . 2

(3)前 n 项和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) a ? an?2 n(n ? 1) ? na1 ? d . (4)等差中项: a n ?1 ? n . 2 2 2

(5)任意两项:an=am+(n-m)d. 等差数列 ?an ? 的性质 a.若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? ap ? aq 即:首尾颠倒相加,则和相等

b 等差数列中连续 m 项的和,组成的新数列是等差数列。即: sm , s2m ? sm , s3m ? s2m , ??? 也是等差数列; c、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) d、 ?an ? ,?bn ? 等差,则 ?a2n ? , ?a2n?1? , ?kan ? b? , ? pan ? qbn ? 也等差。

1

e、等差数列 ?an ? 的通项公式是 n 的一次函数,即: an ? dn ? c ( d ? 0 ); 等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是一个没有常数项的 n 的二次函数,即: Sn ? An2 ? Bn ( d ? 0 ); f、项数为奇数 2n ? 1 的等差数列有:

s奇 n ; s奇 ? s偶 ? an ? a中 ; ? s偶 n ? 1

s2n?1 ? (2n ?1)an ;

项数为偶数 2n 的等差数列有:

s奇 a ? n , s偶 ? s奇 ? nd s偶 an?1

, s2n ? n(an ? an?1 )

B.等比数列 (1)定义:

a n?1 a a ? q(常量),或 n ? 2 ? n?1 (2)通项公式:an=a1qn-1. (3)任意两项:an=amqn-m. an an ?1 an

(q ? 1). ?na1 ? (4)前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (5)等比中项: an?1 ? ? an an? 2 . ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1). ?
等比数列的性质 a、 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 即:首尾颠倒相乘,则积相等;

b 等比数列中连续项的和,组成的新数列是等比数列。即: sm , s2m ? sm , s3m ? s2m , ??? 也是等比数列 c、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。 d、 ?an ? ,?bn ? 等比,则 ?a2n ? , ?a2n?1? , ?kan ? ,{an·bn}也等比。其中 k ? 0 e、等比数列的通项公式类似于 n 的指数函数,即: an ? cqn ,其中 c ?

a1 q

等比数列的前 n 项和公式是一个平移加振幅的 n 的指数函数,即: sn ? cqn ? c(q ? 1) f、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。 求数列通项公式的几种方法 1、 定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
2 例等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S5 ? a5 .求数列 ?an ? 的通项公式.

2、公式法(要注意对 n 的分类讨论,能合则合,不能合则分段表示。 ) 若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解。 ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2
?1? ? 为等差数列。 ? Sn ?

2S n 例.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 an ? , n ? 1 ,a1=1. 2S n ? 1
2

2

(1)求证:数列 ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式。

练习:1、设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1=1,an+1= S n (n≥1),求数列 ?an ? 的通项公式。

1 3

3、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有 时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型 1 递推公式为 an?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例、已知数列 ?an ? 中, an ? 3n?1 ? an?1 (n≥2),且 a1=1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

练习:1、 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

2、已知数列 ?an ? 满足 a1=2, nan?1 ? (n ? 1)an ? 1(n ? 1) . 求数列 ?an ? 的通项公式。

类型 2 (1)递推公式为 an?1 ? f (n)an 解法:把原递推公式转化为

an?1 (或用叠(迭)代法。 ) ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

例、已知数列{an},满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项

?1 an ? ? ? ___

n ?1 n?2
2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

练习:1、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2、设一次函数 f(x)的图像关于直线 y=x 的对称图像为 C,且 f(-1)=0,若点(n+1, 且 a1=a2=1.(1)求曲线 C 的方程。 (2)求数列 ?an ? 的通项公式。
3

a n ?1 )(n≥1)在曲线 C 上, an

类型 3 递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。 解法:把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p
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例、在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 练习:1、 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1,求 an .

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2、数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

4、构造法 已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题常较难,往往使用构造法。 构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是 一种行之有效的构造方法. 例: 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,都有等式: an ? 2an ? 4Sn 成立,
2

求 ?an ?的通项 an. 数列 ?an ?中前 n 项的和 S n ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an .

练习:

2 2 例: 设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 an ? an?1 ? nan ? nan?1 ? 0 , (n∈N*) ,求数列的通项公式 an.

例: 数列 ?an ?中, a1 ?

1 ,前 n 项的和 Sn ? n 2 an ,求 a n ?1 . 2

例: 已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 ,n≥2 时

an ?

7a n ?1 ,求通项公式. 3a n ?1 ? 1

4

数列求和的常见方法有: (1)公式法:⑴ 等差数列的求和公式,⑵ 等比数列的求和公式 (2)分组求和法:在直接运用公式求和有困难时常,将“和式”中的“同类项”先合并在一起,再运用公 式法求和(如:通项中含 因式,周期数列等等)

(3)倒序相加法:如果一个数列{a },与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写 和与倒着写和的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。特征: an+a1=an-1+a2 (4)错项相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成,此时求和 可采用错位相减法。 (5)裂项相消法:把一个数列的各项拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前 n 项之和变成 首尾若干少数项之和。 典型题例: 一、由规律求数列的通项公式:(周期特征的数列,通用公式型数列,定义型数列,递推型数列,构造法求 数列) 1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则,则 a 20 =




2.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ?

a1 (3n ? 1) (n ? N * ) ,且 a4 ? 54 ,则 a1 ? ______. 3.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2
4.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ?

n(5n ? 1) ,则其通项 an ? 2



5.已知数列{a n }满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 4 1
b ?1 b2 ?1

4

...4bn ?1 ? (an ?1)bn .(n ? N * ) ,证明: {bn } 是等差数列;

6.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 ? 3, a3 ? 4 ? 5 ? 6, a4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10, 则 a10 ?


n

7.已知数列{an}是等差数列,且 a2=8,a8=26,从{an}中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项?,第 3 项,按原来 的顺序构成一个新的数列{bn}, 则 bn=__ ___
5

二、两类特殊数列的应用:(关注定义与性质) 1.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? 2.公差不为 0 的等差数列{an}中,a2,a3,a6 依次成等比数列,则公比等于 。 项。 。

3.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有 4.设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 。 5.(1)已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ????? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n?1 ? a n

6.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.则公差 d 的取值范围为

。 。

三、数列的求和
1.已知公差不为 0 的正项等差数列{an}中,Sn 为前 n 项之和,lga1、lga2、 lga4 成等差数列,若 a5=10, 则 S5 = 2.若数列 。 满足: 2,3?.则 .

3.数列 {an } 前 n 项之和 Sn 满足: t ? (Sn?1 ? 1) ? (2t ? 1)Sn (n ? N * , t ? 0) (1) 求证:数列 {an } 是等比数列 (n ? 2) ; (2) 若数列 {an } 的公比为 f (t ) ,数列 {bn } 满足: b1 ? 1, bn ?1 ? f (

1 ) ,求数列 {bn } 的通项公式; bn

(3) 定义数列 {cn } 为 cn ?

1 ,求数列 {cn } 的前 n 项之和 Tn 。 , bnbn ?1

6

4.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 an?1 , an ? (n ? 2, n ? N ) . n 4 ?? 1? an?1 ? 2
(Ⅱ)设 bn ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅲ)设 c n ? a n sin

1 an
2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

(2n ? 1)? 4 ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N , Tn ? . 2 7

5.已知数列

的前 项和为

,且
*

,则数列

的通项公式为 an ?
2



7.数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N 都有 an>0, 且(n+1)an 又知数列{bn}的通项为 bn=2
n-1

+an·an+1-nan+12=0,

+1.

(1)求数列{an}的通项 an 及它的前 n 项和 Sn;

(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn;

8.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; (3)设 bn=

*

1 m * * * (n∈N ),Tn=b1+b2+??+bn(n∈N ),是否存在最大的整数 m, 使得对任意 n∈N 均有 Tn> n (12 ? a n ) 32

成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

7

四、数列的应用:
1.若数列 ?an ?中, a1 ?

1 ,且对任意的正整数 p 、 q 都有 a p ? q ? a p aq ,则 a n ? 3

. 。

2.设等比数列 ?an ?的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为 3.已知等差数列 ?an ?的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ?
2 4.已知正数组成的两个数列 {an },{bn } ,若 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2bn x ? an bn bn?1 ? 0 的两根

(1)求证: {bn } 为等差数列; (2)已知 a1 ? 2, a2 ? 6, 分别求数列 {an },{bn } 的通项公式; (3)求数 {

bn }的前n项和s n 。 2n

5. 已知数列 {an }为等差数列 S n为其前n项和, 且a2 ? 3,4S 2 ? S 4 . , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证数列 {2 n } 是等比数列; (3)求使得 S n?2 ? 2S n的成立的 的集合. n
a

6.已知数列 证明:

的各项均为正数, 是等比数列;

为其前 项和,对于任意

,满足关系

.

8


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