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北京市2014-2015朝阳高三二模数学理科试题及答案



北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试(理工类)
2015.5 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符

合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? x x 2 ? 1 ,集合 B ? ?x x( x ? 2) ? 0? , 则 A A. ?x 1 ? x ? 2? C. B. D.

?

?

B?

?x x ? 2? ?x x ? 1,或 x ? 2?

?x 0 ? x ? 2?

2. 执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值是 开始 S=1,n=1 n=n+3 S=S+n2 S>100?
是 否

输出 n 结束

A. 7

B. 10

C. 66

D. 166

3. 设 i 为虚数单位, m ? R , “复数 m(m - 1) + i 是纯虚数”是“ m = 1 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

1

4.已知平面上三点 A, B, C 满足 AB =6 , AC =8 , BC =10 , 则 AB 鬃 BC +BC CA+CA AB = A. 48 5.已知函数 f ( x) ? 2sin( B. - 48 C. 100 D. - 100

uu u r

uuu r

uuu r

uu u r uuu r uuu r uu r uu r uu u r

? ? x ? ) .若对任意的实数 x ,总有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ,则 2 5

x1 ? x2 的最小值是
A. 2 B. 4 C. π D. 2 π

x2 y 2 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 4 x 有一个公共的焦点 F , 且两曲线的 a b
一个交点为 P .若 PF ?

5 ,则双曲线的渐近线方程为 2
B. y ? ?2 x C.

A. y ? ?

1 x 2

y ? ? 3x

D. y ? ?

3 x 3

π e x - e- x 7.已知函数 f ( x) = ,x ? R , 若对任意 q ? (0, ] , 都有 f (m sin q) + f (1 - m) > 0 2 2
成立,则实数 m 的取值范围是 A.

(0,1)

B.

(0, 2)

C. (-

,1)

D. (-

,1]

8. 如图,将一张边长为 1 的正方形纸 ABCD 折叠,使得点 B 始终落在边 AD 上,则折起的 部分的面积最小值为 A B1(B) D C1(C)

1 A. 4 2 C. 5

3 B. 8 1 D. 2

B

C

2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. (1 -

1 4 ) 展开式中含 x- 3 项的系数是 3x

.

10.已知圆 C 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,且和两条直线 x ? y ? 0 和 x ? y ? 12 ? 0 都相切, 则圆 C 的标准方程是 .

11. 如图, 已知圆 B 的半径为 5 , AMN 与 ADC 为圆 B 的两条割线,且割线 AMN 过圆心 B .若 AM = 2 ,

C D A M B N

? CBD

60o ,则 AD =

.

12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积为______.

3

3
正视图

3

1

1
侧视图

俯视图

13.已知点 A1 (a1 ,1) , A2 (a2 , 2) ,?, An (an , n) ( n ? N* )都在函数 y = log 1 x 的图象上.
3

则数列 {an }的通项公式为

;设 O 为坐标原点,点 M n (an ,0) ( n ? N* ) ,则 D OA1M1 , .

D OA2 M 2 ,…, D OAn M n 中,面积的最大值是

14 . 设 集 合 A = (m1 , m2 , m3 ) mi ? 为

{

{ 2, 0, 2}, i = 1, 2,3} , 集 合 A
m2 + m3

中所有元素的个数 .

;集合 A 中满足条件“ 2 ? m1

5 ”的元素个数为

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在梯形 ABCD 中 , AB P CD , CD = 2 ,
D C

? ADC

120o , cos ? CAD

5 7 . 14
A B

(Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求梯形 ABCD 的高.

16. (本小题满分 13 分) 某学科测试中要求考生从 A, B, C 三道题中任选一题作答,考试结束后,统计数据显示共 有 600 名学生参加测试.选择 A, B, C 三题答卷数如下表: 题 答卷数

A
180

B
300

C
120

(Ⅰ) 某教师为了解参加测试的学生答卷情况, 现用分层抽样的方法从 600 份答卷中抽出若 干份答卷, 其中从选择 A 题的答卷中抽出了 3 份, 则应分别从选择 B, C 题的答卷中抽 出多少份? (Ⅱ)若在(Ⅰ)问中被抽出的答卷中, A, B, C 三题答卷得优的份数都是 2 .从被抽出的

A, B, C 三题答卷中再各抽出 1 份,求这 3 份答卷恰有 1 份得优的概率;
(Ⅲ)测试后的统计数据显示, B 题的答卷得优的有 100 份,若以频率作为概率,在(Ⅰ) 问中被抽出的选择 B 题作答的答卷中,记其中得优的份数为 X ,求 X 的分布列及其 数学期望 EX .

4

17. (本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , ?DAB ? 90? , AD ? DC ?

1 AB ? 1 .直 2

角梯形 ABEF 可以通过直角梯形 ABCD 以直线 AB 为轴旋转得到,且平面 ABEF ⊥平面

ABCD .
(Ⅰ)求证: FA ? BC ; (Ⅱ)求直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值; (Ⅲ)设 H 为 BD 的中点, M , N 分别为线段 FD, AD 上的点(都不与点 D 重合).若直 线 FD ^ 平面 MNH ,求 MH 的长. F E

A M N D C H

B

18. (本小题满分 13 分) 已知点 M 为椭圆 C : 3x2 ? 4 y 2 ? 12 的右顶点,点 A, B 是椭圆 C 上不同的两点(均异于点

M) ,满足直线 MA 与直线 MB 斜率之积为 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率及焦点坐标; (Ⅱ)试判断直线 AB 是否过定点?若是,求出定点坐标;若否,说明理由.

1 4

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? a)e x , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若在区间 (1, 2) 上存在不相等的实数 m, n ,使 f (m) = f (n) 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,求证: f ( x1 ) f ( x2 ) ? 4e?2 .

5

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 An : a1 , a2 ,?, an (n 澄2, n

N* ) 是正整数 1,2,3,?, n 的一个全排列.若对每个

k ??2,3, , n? ,都有 ak ? ak ?1 ? 2 或 3 ,则称 An 为 H 数列.
(Ⅰ)写出满足 a5 ? 5 的所有 H 数列 A5 ; (Ⅱ)写出一个满足 a5k ? 5k (k ? 1,2,?,403 ) 的 H 数列 A2015 的通项公式; (Ⅲ)在 H 数列 A2015 中,记 bk ? a5k (k ? 1, 2, 求证: d ? 5 或 ? 5 .
, 403) .若数列 {bk } 是公差为 d 的等差数列,

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷答案(理工类)
2015.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 题号 答案 (1) A (2) B (3) B (4) D (5) A (6) C (7) D ( 8) B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 题号 (9) (10) (11) (12) (13) (14)
n

4 答案 27

? x ? 3?

2

? ( y ? 3) 2 ? 18

3

2 39

骣 1÷ 1 an = ? ÷; . ? ? 桫 3÷ 6

27 ; 18

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在 D ACD 中, 因为 cos ? CAD 由正弦定理得,

5 7 ,所以 sin ? CAD 14

21 , 14

AC CD = , sin 行 ADC sin CAD

CD 仔 sin ADC = 即 AC = sin ?CAD

2?

3 2 = 2 7 . ??????????????6 分 21 14

(Ⅱ)在 D ACD 中, 由余弦定理得, AC 2 ? AD2 ? 4 ? 2 ? 2 ? AD cos120 , 整理得 AD2 ? 2 AD ? 24 ? 0 ,解得 AD ? 4 (舍负).

6

过点 D 作 DE ? AB 于 E ,则 DE 为梯形 ABCD 的高. 因为 AB P CD , ? ADC

120o ,所以 ? BAD
o

60o .

在直角 D ADE 中, DE = AD sin 60 = 2 3 . 即梯形 ABCD 的高为 2 3 . ????????????????????13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可得: 题 答卷数 抽取的答卷数

A
180 3

B
300 5

C
120 2

应分别从 B, C 题的答卷中抽取 5 份,2 份.???????????????4 分 (Ⅱ)记事件 M :被抽取的 A, B, C 三种答卷中分别再各任取 1 份,这 3 份答卷恰有 1 份 得优,可知只能 C 题答卷为优.

1 3 1 ? ?1 ? .??????????????????8 分 3 5 5 1 (Ⅲ) 由题意可知,B 题答卷得优的概率是 . 显然被抽取的 B 题的答卷中得优的份数 X 3 1 的可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 ,且 X : B (5, ) . 3 1 2 32 80 1 1 1 2 4 P ( X ? 0) ? C50 ( ) 0 ( )5 ? ; P( X ? 1) ? C5 ( ) ( ) ? ; 3 3 243 3 3 243 1 2 80 40 3 1 3 2 2 P ( X ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 ? ; P ( X ? 3) ? C5 ( ) ( ) ? ; 3 3 243 3 3 243
依题意 P( M ) ?

1 2 10 1 5 1 5 2 0 P( X ? 4) ? C54 ( ) 4 ( )1 ? ; P ( X ? 5) ? C5 ( ) ( ) ? . 3 3 243 3 3 243
随机变量 X 的分布列为

X

0

1

2

3

4

5

P

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

7

所以 EX ? 0 ?

32 80 80 40 10 1 5 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? . 243 243 243 243 243 243 3
??????????????????????13 分

(17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)由已知得 ?FAB ? 90? , 所以 FA ? AB , 因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , 且平面 ABEF 平面 ABCD ? AB , M D 所以 FA ? 平面 ABCD , 由于 BC ? 平面 ABCD , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 FA ? 平面 ABCD , 所以 FA ? AB, FA ? AD , 由已知 DA ? AB , 所以 AD, AB, AF 两两垂直. 以 A 为原点建立空间直角坐标系 (如图) .

N F

E

A H C

B

所以 FA ? BC .???????????????????????????4 分

z F

E

1 因为 AD ? DC ? AB ? 1 , 2
则 B(0, 2,0), C (1,1,0), D(1,0,0), E(0,1,1) , 所以 BC ? (1, ?1,0), BE ? (0, ?1,1) , 设平面 BCE 的一个法向量为 n = ( x, y,z ) . 所以 ? x

A M N D C H

B y

?n ? BC ? 0, ? ? ? n ? BE ? 0,

即?

? x ? y ? 0, ?? y ? z ? 0.

令 x ? 1 ,则 n = (1,1,1) .

8

设直线 BD 和平面 BCE 所成角为 ? , 因为 BD ? (1, ?2,0) ,

所以 sin ? ? cos? n, BD? ?

n ? BD n ? BD

?

1 15 ? . 3 ? 5 15
15 .????????????9 分 15

所以直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值为 (Ⅲ)在 A 为原点的空间直角坐标系 A - xyz 中,

1 A(0, 0, 0) , D(1, 0, 0) , F (0, 0,1) , B(0, 2, 0) , H ( ,1, 0) . 2 DM = k (0 < k 1) , 设 DF uuu u r uuu r 即 DM = k DF .
uuuu r DM = (- k , 0, k ) ,则 M (1- k ,0, k ) ,

uuur uuu r 1 MH = (k - ,1, - k ) , FD = (1,0, - 1) . 2 若 FD ^ 平面 MNH ,则 FD ^ MH . uuu r uuur 即 FD ?MH 0 . k1 1 + k = 0 ,解得 k = . 2 4 uuur 1 1 uuur 3 2 ,1, - ) , MH = .???????????????????14 分 4 4 4

则 MH = (-

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程可化为 故离心率为
x2 y 2 ? ? 1 ,则 a ? 2 , b ? 3 , c ? 1 . 4 3

1 ,焦点坐标为 (?1, 0), (1, 0) . ??????????????4 分 2

(Ⅱ) 由题意, 直线 AB 斜率存在.可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m .
? y ? kx ? m, 由? 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12 ?

判别式 D =64k 2 m2 - 4(3 + 4k 2 )(4m2 - 12) = 48(4k 2 - m2 + 3) > 0 .
9

?8km 4m2 ? 12 x x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 1 因为直线 MA 与直线 MB 斜率之积为 , 4 y1 y2 1 ? ? , 所以 x1 ? 2 x2 ? 2 4

所以 x1 ? x2 ?

所以 4(kx1 ? m)(kx2 ? m) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) . 化简得 (4k 2 ? 1) x1 x2 ? (4km ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4m2 ? 4 ? 0 ,
4m2 ? 12 (?8km) ? (4km ? 2) ? 4m2 ? 4 ? 0 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 化简得 m2 ? 2km ? 8k 2 ? 0 ,即 m ? 4k 或 m ? ?2k . 当 m ? 4k 时,直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 4) ,过定点 (?4,0) .

所以 (4k 2 ? 1)

m ? 4k 代入判别式大于零中,解得 -

1 1 < k< . 2 2

当 m ? ?2k 时,直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 2) ,过定点 M (2, 0) ,不符合题意舍去. 故直线 AB 过定点 (?4,0) .?????????????????????13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x2e x , f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x) . 由 ex ( x2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 0 , x ? ?2 . 当 x ? (??, ?2) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x ? (?2, 0) 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 当 x ? (0, ??) 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. 所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?2) , (0, ??) ,单调减区间为 (?2, 0) .????4 分 (Ⅱ)依题意即求使函数 f ( x) ? e x ( x2 ? a) 在 (1, 2) 上不为单调函数的 a 的取值范围.

f ?( x) ? ex ( x2 ? 2x ? a) .设 g ( x) ? x2 ? 2x ? a ,则 g (1) = 3 - a , g (2) = 8 - a .
因为函数 g ( x) 在 (1, 2) 上为增函数, 当? í

ì g (1) = 3 - a < 0 ? ,即当 3 < a < 8 时,函数 g ( x) 在 (1, 2) 上有且只有一个零点,设 ? g (2) = 8 a > 0 ? ?

为 x0 . 当 x ? (1, x0 ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ? ( x) < 0 , f ( x) 为减函数;
10

当 x ? ( x0 , 2) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ? ( x) > 0 , f ( x) 为增函数,满足在 (1, 2) 上不为单调 函数. 当 a ? 3 时, g (1) ? 0 , g (2) > 0 ,所以在 (1, 2) 上 g ( x) > 0 成立(因 g ( x) 在 (1, 2) 上 为增函数) ,所以在 (1, 2) 上 f ?( x) ? 0 成立,即 f ( x ) 在 (1, 2) 上为增函数,不合题意. 同理 a ? 8 时,可判断 f ( x ) 在 (1, 2) 上为减函数,不合题意. 综上 3 < a < 8 . (Ⅲ) f ?( x) ? e x ( x 2 ? 2 x ? a) . 因 为 函 数 f ( x) 有 两 个 不 同 的 极 值 点 , 即 f ? ( x) 有 两 个 不 同 的 零 点 , 即 方 程 ??????????????????????9 分

x 2 + 2 x - a = 0 的判别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? ?1 .
由 x ? 2 x ? a ? 0 ,解得 x1 ? ?1 ? a ? 1, x2 ? ?1 ? a ? 1 .
2

此时 x1 ? x2 ? ?2 , x1 x2 ? ?a . 随着 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x )
f ( x)

(?? , x1 )
+ ↗

x1
0
极大值

( x1 , x2 )
- ↘

x2
0 极小值

( x2 , ??)
+ ↗

所以 x1 是函数

f ( x) 的极大值点, x2 是函数 f ( x) 的极小值点.

所以 f ( x1 ) 为极大值, f ( x2 ) 为极小值.
2 2 所以 f ( x1 ) f ( x2 ) ? e 1 ( x1 ? a) ? e 2 ( x2 ? a) x x
2 2 =e x1 ? x2 [ x12 x2 ? a( x12 ? x2 ) ? a2 ]

2 =e x1 ? x2 ? x12 x2 ? a[( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ] ? a 2 ?

=e?2 [a 2 ? a(4 ? 2a) ? a2 ] = ? 4ae?2 .
因为 a ? ?1 ,所以 ?4ae
?2

? 4e?2 .

所以 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 4e?2 .???????????????????????? 14 分

11

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)满足条件的数列有两个:3,1,4,2,5;与 2,4,1,3,5.?? 3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 A5 :2,4,1,3,5 满足 a5 ? 5 ,把其各项分别加 5 后,所得各数

k ??2,3, 依次排在后, 因为 | a6 ? a5 |? 2 , 所得数列 A10 显然满足 ak ? ak ?1 ? 2 或 3 ,

,10? ,

即得 H 数列 A10 :2,4,1,3,5,7,9,6,8,10.其中 a5 ? 5, a10 ? 10 .如此下去,即

) 的 H 数列 A2015 为 可得一个满足 a5k ? 5k (k ? 1,2,?,403
?n ? 1, n ? 5k ? 4 ? ?n ? 2, n ? 5k ? 3 a n ? ?n ? 2, n ? 5k ? 2 , (其中 k ? 1,2,3,?,403 ) ?n ? 1, n ? 5k ? 1 ? ?n, n ? 5k
?n ? 2, n ? 5k ? 4 ? ?n ? 1, n ? 5k ? 3 a ? )) ?n ? 1, n ? 5k ? 2 (其中 k ? 1,2,3,?,403 n (写出此通项也可以: ?n ? 2, n ? 5k ? 1 ? ?n, n ? 5k

?? 8 分 (Ⅲ)不妨设 d ? 0 . (1)若 d ? 6 ,则 a2015 ? b403 ? b1 ? 402d ? 1 ? 402 ? 6 ? 2413 ,与 a2015 ? 2015矛盾. (2)若 1 ? d ? 4 . (i)若 b1 ? 100,则 bk ? b1 ? (k ? 1)d ? 100 ? 402 ? 4 ? 1708 , k ? 1,2,? ? ?.403. 不妨设 a5l0 ?i ? 2015 ,其中 l0 ?{1,2, ???,403}, i ?{1,2,3,4} . 于是 | a5l0 ? a5l0 ?i |?| a5l0 ? a5l0 ?1 | ???? ? | a5l0 ?(i ?1) ? a5l0 ?i |? 3i ? 12. 即 | a5l0 ? 2015 |? 12 ,可得 bl0 ? a5l0 ? 2003,与 bl0 ? 1708矛盾. (ii)若 b1 ? 101,则 bk ? b1 ? 101, k ? 1,2,? ? ?,403. 不妨设 a5l0 ?i ? 1 ,其中 l0 ?{1,2, ???,403}, i ?{1,2,3,4} . 于是 | a5l0 ? a5l0 ?i |?| a5l0 ? a5l0 ?1 | ???? ? | a5l0 ?(i ?1) ? a5l0 ?i |? 3i ? 12 即 | a5l0 ? 1|? 12 ,可得 bl0 ? a5l0 ? 13 ,与 bl0 ? 101矛盾. 因为 d 为整数,所以综上可得 d ? 5 . 由(Ⅱ)可知存在使 bk ? a5k ? 5k (其中 k ? 1,2,? ? ?,403)的 H 数列 A2015 . 把上述 H 数列 A2015 倒序排列,即有 d ? ?5 .

所以 d ? 5 或 ? 5 .

?? 13 分

12



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