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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数与方程学案 理


"吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 函数 与方程学案 理 "
知识梳理: (阅读教材必修 1 第 85 页—第 94 页) 1、 方程的根与函数的零点 (1) 零点:

(2) 函数的零点存在性定理:

(3) 零点存在唯一性定理: (4) 零点的存在定理说明: ①求在闭间内连续,满足条件时,在开区间内函数有零点; ②条件的函数在区间(a,b)内的零点至少一个; ③间[a,b]上连续函数,不满足 点,因此在区间[a,b]上连续函数, 不必要条件。 2、 用二分法求方程的近似解 (1) 、二分法定义:对于区间[a,b]连续不断且 的函数 通过不断 ,这个函数在(a,b)内也有可能有零 是函数在(a,b)内有零点的充分

把区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法。 (2) 、给定精确度( )用二分法求函数 的零点近似值步骤如下:

1

① ② ③

④ 则函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解,由于计算量 较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的程序,借助计算器或 者计算机来完成计算。 一、 题型探究

[探究一]:考察零点的定义及求零点 例 1:已知函数 (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴只有一个公共点?(1 或 1/3) (2) 如果函数的一个零点为 2,则 m 的值及函数的另一个零点。 (m=3,x=10)

[探究二]:判断零点的个数及确定零点所在区间 例 2:证明函数 在(0,+ )上恰有两个零点。

2

[探究三]:有二分法求方程的近似解 例 3:已知图象连续不断的函数 在区间(a,b) (b-a=0.1)上有唯一零点 ,如

果用“二分法”求个零点(精确度 0.0001)的近似值,那么将区间等分的次数至少是 (D) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10

例 4:下列图象不能用二分法示这个函数的零点的是(3、5)
y y y

o

X

o

X

o

X

(1)

(2)

(3)

y

y

o

X

o

X

(4)

(5)

二、

方法提升

1、 根据根的存在定量理, 判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题, 这类问 题只需将区间的两个端点的值 代入计算即可判断出来。 、 2、 判断函数零点的个数问题常数形结合的方法,一般将题止听等 式化为两个函数图

3

象的交点问题。 3、 在导数问题中, 经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题, 要确定函数 具体的零点的个数需逐个判断, 在符合根的存在定量的条件下, 还需辅以函数的单 调性才能准确判断出零点的个数。 三、 反思感悟:

。 五、课时作业: 1.函数 y ? 2 x2 ? 4 x ? 3 的零点个数( ). A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 不能确定 2.若函数 y ? ax ? 1 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是( ). A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? 1 D. a ? 1 x 3.函数 f ( x) ? 2 ? 3 的零点所在区间为( ) A. ( ? 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 4.方程 lgx+x=0 在下列的哪个区间内有实数解( ). A. [-10,-0.1] B. [0.1,1] C. [1,10] D. (??,0] 5.函数 y ? f ( x) 的图象是在 R 上连续不断的曲线,且 f (1)?f (2) ? 0 ,则 y ? f ( x) 在区 间 [1, 2] 上( ). A. 没有零点 B. 有 2 个零点 C. 零点个数偶数个 D. 零点个数为 k,
k?N

? 1 (x ? 1) , ? 6 、设 f ( x) ? ?? x ? 1 ? 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有三个不同的实数解 ? 1 (x ? 1). ?
2 2 ? x3 x1,x2,x3 ,则 x12 ? x2 等于(



A.5

B. 2 ?

2 b2

C.13

D. 3 ?

1 c2

7、 f ( x) 是定义在 [?c, c] 上的奇函数,其图象如下图所示,

4

令 g ( x) ? af ( x) ? b ,则下列关于 g ( x) 的叙述正确的是( A.若 a ? 0 ,则函数 g ( x) 的图象关于原点对称; B.若 a ? ?1,?2 ? b ? 0 ,则方程 g ( x) =0 有大于 2 的实根 C.若 a ? 0, b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有两个实根 D.若 a ? 1, , b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有三个实根



8、已知 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,那么在区间 [?1,3] 内, 关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k ? 1 (其中 k 走为不等于 l 的实数) 有四个不同的实根, 则 k 的取值范围是( ) A. (?1, 0) B. (?

1 , 0) 2

C. (? , 0)

1 3

D. (?

1 , 0) 4

9、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方 程 f ( x) ? 0 在闭区间 ? T , T 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为( ) A.0 B.1 C.3 D.5

?

?

10、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,其图象关于 x ? 1 对称且 f ? ? ? 0 ,则方程

?1? ?2?

f ?x ? ? 0 在 ? 0,5? 内解的个数的最小值是 (
A. 4 B. 5 C. 6

) D. 7

11 、已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ?

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] , 其中 m ? 0 ? 若方程 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
)

3 f ( x ) ? x恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(
A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)
5

4 3

12、方程 2 A.(0,1)

x ?1

? x ? 5 的解所在的区间为(
B.(1,2)

) C.(2,3) ) D.(3,4)

13、函数 f ? x ? ? Inx ? A

1 的零点所在的区间是( x
B ?1, e ? C

? 0,1?

? e,3?

D

?3, ???

14、若方程 ln( x ? 1) ? A. ? 1 B.1

2 的根在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上,则 k 的值为( x
D. ? 1 或 2

C. ? 1 或 1

15、设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) ( ) 3
B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点?

A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点?

1 e

1 e

C. 在区间 ( ,1) 内有零点 , 在区间 (1, e) 内无零点 ? D. 在区间 ( ,1) 内无零点 , 在区间

1 e

1 e

(1, e) 内有零点?
16、设方程 2 A x1 x2 ? 0 17、已知 f ( x) ? ? A.0 B.1
2

?x

? lg x 的两个根为 x1 , x 2 ,则 (
B x1 x2 ? 1 C x1 x2 ? 1

) D 0 ? x1 x2 ? 1 )

31? x
2

( x ? 0),
C.2

x ? 4 x ? 3( x ? 0),

则方程 f(x)=2 的实数根的个数是( D.3

18 、已知函数 f ? x? ? x ? 2 ax ? a 在区间 ? ??,1? 上有最小值 , 则函数

f ? x? 在区间 x
C. 无 零 点

?1, ??? 上 是 (

)

A. 有 两 个 零 点

B. 有 一 个 零 点

6

D.无法确定 19、已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)(x ? b)(a ? b), m, n 是 f ( x) 的零点,且 m ? n ,则实数 a、

b、m、n 的大小关系是(
A. m ? a ? b ? n

) D. m ? a ? n ? b

B. a ? m ? n ? b C. a ? m ? b ? n

2 2 2 20、关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不 同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不 同的实根; 其中假 命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 . 21 、 条 件 p : a ? ?2 ; 条 件 q : 函 数 f ( x) ? ax? 3在 区 间 ? ?1, 2 ? 上 存 在 x0 , 使 得

f ( x0 ) ? 0成立,则 ? p 是 q 的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 ) C.a≤1 D.0<a≤1 或 a<0

22、ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是( A.0<a≤1
3

B.a<1

23、已知函数 y ? x ? ax( x ? R) 在(1,2)有一个零点则实数 a 的值范围是 ( ) A. 1 ? a ? 4 二、填空题 24.函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 6 的零点是
x

B. ?1 ? a ? 4

C. a ? 1 或 a ? 4

D. ?4 ? a ? 4

.

25、若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是_ ___. 26、若函数 f(x)=e -2x-a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是_ 27.函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x ? 1 零点的个数为 和 y ? g ?x ? 的图像如图所示,给出下列四个命 题: .
x

_

28、定义域和值域均为 ?? a, a? (常数 a ? 0 )的函数 y ? f ?x ?

7

(1)方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (2)方程 g ? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (4)方程 g ?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是_ _ 。 (3)方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解;

三、解答题 29.已知二次方程 (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ? 0 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 m 的取值 范围. 30.已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点;

(2)如果函数两个零点在原点左右两侧,求实数 m 的取值范围.

31、设关于 x 的函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? b(b ? R) , (1)若函数有零点,求实数 b 的取值范围; (2)当函数有零点时,讨论零点的个数,并求出函数的零点.

32、已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上 有零点,求实数 a 的取值范围。

补充练习:[重点班]

8

1、已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x—1),且 x∈[—1,1]时,f(x)=x ,则 y=f(x)与 y=log5x 的图象的交点个数为 2、 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间

2

(0, 6) 内解的个数的最小值是( )
2

A.2

B.3

C.4

D.5 )

3、函数 f ( x ) ? mx ? x ? 1在 (0,1) 内恰有一个零点,则实数 m 的取值范围是(

A. (??, ?2]

B. (??, ?2)

C. [2, ??)

D. (2, ??)
).

4、函数 f ( x) ? 2 x ? 6 ? ln x 的零点一定位于下列哪个区间( A. (1, 2) B. (2,3) C. ? 3, 4 ? ) D.

? 4,5?

5、在区间[3,5]上有零点的函数是 ( A. f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 D. f ( x) ? ?

B. f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5

C. f ( x) ? 2 x ? 4

1 ?2 x 1 2
x

6、函数 f ( x) ? ( ) ? sin x 在区间[0, 2? ]上的零点个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个

) D.4 个 ( )

7、设函数 f ( x ) ? ( x ? 2008)( x ? 2009) ? A.在定义域内无零点;

1 ,有 2010

)、 B.存在两个零点,且分别在 (??,2008

(2009 ,??) 内; ) 、 (2007 ,??) 内;D.存在两个零点,都在 C.存在两个零点,且分别在 (??,?2007 (2008 ,2009) 内。
8、已知 a 是使表达式 2 x ?1 ? 42 ? x 成立的最小整数,则方程 1? | 2x ?1 |? a x ?1 实数根的

9

个数为( ) (A)0 (B)1
x

(C)2

(D)3 )

9、已知函数 f ? x ? ? e ?

1 x ? 3 ( e 为自然对数的底) ,下列判断中正确的是( 2

A. 函数 f ?x ? 无零点; 内;

B. 函数 f ?x ? 有且只有一个零点, 且该零点在区间 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C.函数 f ?x ? 有两个零点,其中一个为正数,另一个为负数; D.函数 f ?x ? 有且只有一个零点,且该零点在区间 ?1,2? 内。 10、若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则
x

f ? x ? 可以是( )
A.

f ? x ? ? 4x ?1

B.

f ? x ? ? ( x ?1)2

C.

f ? x ? ? e x ?1

D.

1? ? f ? x ? ? In ? x ? ? 2? ?

?1? 11、 已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x , 若实数 x? 是方程 f ? x ? ? 0 的解, 且 0 ? x1 ? x? , ? 3?
则 f ? x1 ? 的值为( ) A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

x

? 1 , ( x ? 2) ? 2 12、定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? x ? 2 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 ?1, ( x ? 2) ?

恰有 5 个不同的实数解 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,则 f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? (



10

A.

1 4

B.

1 8

C.

1 12

D.

1 16

13、方程 2 x ? 4 ? ax ? b ? 0 恰 有两个不相等实根的充要条件是 14、 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行, 且 y ? g ( x ) 在 x ? ?1 处取得极小值 m ? 1(m ? 0) .设 f ( x ) ?

g ( x) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 15、设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 1,f( 1 )) (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。

11

补充练习答案解析:

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2x ? m , f ? x ? ?

g ? x? m ? x? ?2 , x x
m 2 ) x0

2 2 设 P xo , yo ,则 | PQ | 2 ? x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? x0 ? ( x0 ?

?

?

m2 ? 2 x ? 2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m x0
2 0

当且仅当 2 x0 ?
2

m2 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 2 x0
2 2
解得 m ?

当 m ? 0 时, ( 2 2 ? 2) m ? 当 m ? 0 时, (?2 2 ? 2)m ?

2 ?1

解得 m ? ? 2 ? 1

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

m ? 2 ? 0 ( x ? 0 ),得 ?1 ? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 x

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 ,k ? 1?

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ,即 m 2(1 ? k )

12

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) 1 ; 若 m ? 0 , k ? 1? , 函 数 y ? f ? x ? ? kx 有 两 个 零 点 m k ?1

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) ,即 x ? ; k ?1 2(1 ? k )
k ? 1? 1 , m

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,

函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 ? ?m k ?1
m ; 2

综上,当 k ? 1 时, 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ?

当 k ? 1?

1 1 ( m ? 0 ),或 k ? 1 ? ( m ? 0 )时, m m

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1

当 k ? 1?

1 1 ? ?m . 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? m k ?1 1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 3

15、 【解析】解:当 m ? 1时, f ( x) ?

所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1 ,f( 1 )) (2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,令 f ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
' 2 2 '

因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

13

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0

(1 ? m,??)
+

极小值

极大值

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 m ? m2 ? 3 3

函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ?

(3)解:由题设, f ( x) ? x(?

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

所以方程 ?

1 2 x ? x ? m 2 ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ,故 x1 ? x2 ? 3 ,且 3
, 解 得

4 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 3

1 1 m ? ? (舍),m ? 2 2

因 ,



x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? 1 3

3 ?1 2

若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 若 1 ? x1 ? x2 , 则 对 任 意 的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 则

1 f ( x) ?? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最 3

14

15


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